1.6.1 距离公式
课时目标
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式.会用两点间的距离公式解决一些相关问题.
2.经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程.掌握点到直线的距离公式.
3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离.
逐点清(一) 两点间的距离公式
[多维度理解]
条件 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)
结论 __________________________________
特例 点A(x，y)到原点O(0,0)的距离|OA|＝____________
[细微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点A(0，a)，点B(b,0)之间的距离为a－b.( )
(2)点A(a,0)，点B(b,0)之间的距离为a－b.( )
(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝|y2－y1|.( )
(4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.( )
2.A(2,1)，B(4,2)两点间的距离为( )
A.3 B.3
C. D.2
3.已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
4.已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3，－6)，C(5,2)，则BC边上中线的长为( )
A.2 B.
C.11 D.3
逐点清(二) 点到直线的距离公式
[多维度理解]
1.点到直线的距离
定义 点P到直线l的距离，就是点P到直线l的垂线段的长度
公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝______________(其中A，B不全为0)
微点助解
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
2.点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
[细微点练明]
1.点P(－1,1)到直线l：y＝－x的距离为( )
A. B.
C. D.1
2.已知点P(－1,2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C的值是( )
A.5或15 B.10
C.－5 D.15
3.已知过点P(1,2)的直线l，且点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A.4x－y－2＝0
B.4x－y＋2＝0
C.4x－y－2＝0或x＝1
D.4x－y＋2＝0或x＝1
4.已知直线l平行于向量a＝(1,2)，并且与原点的距离为3，求直线l的方程.
逐点清(三) 两条平行直线间的距离公式
[多维度理解]
两条平行直线间的距离 指夹在两条平行直线间的__________的长
两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝______________(其中A，B不全为0，且C1≠C2)
微点助解
(1)使用此公式的两个条件：
①直线方程都为一般式；
②x，y的系数对应相等.
(2)①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
[细微点练明]
1.已知直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋1＝0，则l1，l2间的距离为( )
A. B.
C. D.
2.若直线l1：x＋ay－2＝0与l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，则两条直线之间的距离为( )
A. B.1
C. D.2
3.与l：x－y＋1＝0距离为的直线方程为( )
A.x－y＋1＋＝0或x－y＋1－＝0
B.x－y＋2＝0或x－y＝0
C.x－y＋2＝0或x－y＋1－＝0
D.x－y＋1＋＝0或x－y＝0
4.若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：x＋ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A.0 B.1
C.－2 D.－1
距离公式
[逐点清(一)]
[多维度理解]
|AB|＝
[细微点练明]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.选C 由两点间距离公式得|AB|＝＝.
3.选A 由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2.
4.选A 设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，－2)，所以|AD|＝＝＝2.故选A.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 1.
[细微点练明]
1.选A 点P到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝.
2.选A 由点线距离公式有＝1，解得C＝15或C＝5.
3.选C 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，点A(2,3)与点B(0，－5)到x＝1的距离为1，符合题意.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则可设直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，由于点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则＝，解得k＝4，故直线l的方程为4x－y－2＝0，综上所述，直线l的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
4.解：因为直线l平行于向量a＝(1,2)，所以直线l的斜率k＝2，不妨设直线l的方程y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，则原点到直线l的距离d＝＝3，解得b＝±3，所以直线l的方程为y＝2x±3.
[逐点清(三)]
[多维度理解] 公垂线段
[细微点练明]
1.选C 将直线l1方程化为4x＋2y－2＝0，由平行直线的距离公式得d＝＝.
2.选C 依题意，由两条直线平行可知2a＝a2＋1，解得a＝1，所以两条直线分别为x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，可得两条直线之间的距离为＝，故选C.
3.选B 依题意，设所求直线方程为x－y＋m＝0，则两条平行直线间的距离d＝＝，解得m＝0或m＝2，所以所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y＝0.
4.选A 由题意两条直线平行，则＝，解得n＝－2，又d＝＝，而m>0，所以m＝2.所以m＋n＝0.(共60张PPT)
距离公式
(概念课—逐点理清式教学)
1.6.1
课时目标
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题．
2．经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程．掌握点到直线的距离公式．
3．理解两条平行线间距离公式的推导．会求两条平行直线的距离．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 两点间的距离公式
逐点清(二) 点到直线的距离公式
逐点清(三) 两条平行直线间的
距离公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 两点间的距离公式
01
多维度理解
细微点练明
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点A(0，a)，点B(b,0)之间的距离为a－b. ( )
(2)点A(a,0)，点B(b,0)之间的距离为a－b. ( )
(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝|y2－y1|.
( )
(4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用. ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
√
3．已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
√
√
解析：设BC的中点为D(x，y)，
逐点清(二) 点到直线的距离公式
02
多维度理解
1．点到直线的距离
微点助解
(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；
(2)分子含有绝对值；
(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
2．点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
细微点练明
√
2．已知点P(－1,2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C的值是( )
A．5或15 B．10
C．－5 D．15
√
√
3．已知过点P(1,2)的直线l，且点A(2,3)与点B(0，－5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A．4x－y－2＝0
B．4x－y＋2＝0
C．4x－y－2＝0或x＝1
D．4x－y＋2＝0或x＝1
4．已知直线l平行于向量a＝(1,2)，并且与原点的距离为3，求直线l的方程．
解：因为直线l平行于向量a＝(1,2)，
所以直线l的斜率k＝2，不妨设直线l的方程y＝2x＋b，
即2x－y＋b＝0，
逐点清(三) 两条平行直线间的距离公式
03
多维度理解
公垂线段
微点助解
(1)使用此公式的两个条件：①直线方程都为一般式；②x，y的系数对应相等．
(2)①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
细微点练明
√
√
√
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而m>0，
所以m＝2.所以m＋n＝0.
课时跟踪检测
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解得x＝4，y＝－5.
所以点M(4，－5)．
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解析：因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，
所以－2＋a＝0，
解得a＝2，
所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，
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8．已知直线l过原点，若A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＝0
B．x＋y＝0
C．x＋y＝0或x－y＝0
D．x＋y＋1＝0或x－y－1＝0
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－3或1
即|a＋1|＝2，
∴a＝－3或a＝1.
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12．已知过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
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13．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为________．
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14．已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0,2)，则△ABC的面积为________．
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解：由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，
令y＝0，
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16．已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离；
(2)求直线l3的方程．
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(2)由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8解得C＝5或C＝31(舍去)，
所以直线l3的方程为2x＋3y＋5＝0.
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16课时跟踪检测(九) 距离公式
1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A.x2－y2＝1 B.x2＋y2＝0
C.＝1 D.＝0
2.已知直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于( )
A.4 B.4
C.2 D.2
3.已知点A(6,0)，P在直线y＝－x上，|AP|＝3，则P点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知点(0,1)到直线mx＋3y－2＝0的距离是，那么m的值是( )
A.4 B.－3
C.4或－3 D.－4或4
5.已知点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为 ( )
A.41 B.
C. D.39
6.已知两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( )
A.a＝2，d＝ B.a＝2，d＝
C.a＝－2，d＝ D.a＝－2，d＝
7.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A.2 B.3
C. D.
8.已知直线l过原点，若A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为( )
A.x－y＝0
B.x＋y＝0
C.x＋y＝0或x－y＝0
D.x＋y＋1＝0或x－y－1＝0
9.设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：2x－y＝1的距离为( )
A. B.
C. D.
10.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
11.已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________.
12.已知过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
13.已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值为________.
14.已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0,2)，则△ABC的面积为________.
15.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值.
16.已知直线l1：2x＋3y＋18＝0，l2：2x＋3y－8＝0，在l1上任取点A，在l2上任取点B，过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2之间的距离；
(2)求直线l3的方程.
课时跟踪检测(九)
1．选C 由两点间的距离公式得 ＝1.
2．选B ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝＝4.
3．选B 因为点A(6,0)到直线y＝－x的距离为＝3＝|AP|，所以P点的个数是1.
4．选D 由题意，＝，解得m＝±4.
5．选B 设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则|OM|＝＝.故选B.
6．选B 因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.
7．选C 由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得|AD|＝＝.
8．选C 依题意，直线l过原点，A(1,0)，B(0,1)两点到直线l的距离相等，易知斜率存在，故直线l可设为y＝kx，则＝，解得k＝±1，即直线l的方程为x＋y＝0或x－y＝0.
9．选D 联立两条直线方程解得即P(1,2)，由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x－y＝1的距离为d＝＝.
10．选C 易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离，故d＝＝.
11．解析：由两平行直线间的距离公式得
d＝＝，即|a＋1|＝2，
∴a＝－3或a＝1.
答案：－3或1
12．解析：由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝.
答案：
13．解析：∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝＝＝＝，∴当a＝时，|AB|取得最小值．
答案：
14．解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB方程为＝ x－2y－4＝0，|AB|＝＝2，点C(0,2)到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为×2×＝8.
答案：8
15．解：由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为，∴ ＝，解得a＝±2.所以a的值为2或－2.
16．解：(1)易知l1与l2平行，所以两平行直线l1与l2间的距离为d＝＝2.
(2)由l3与l2平行可知，设l3的方程为2x＋3y＋C＝0(－8
