1.6.2 距离公式的综合应用
课时目标
1.进一步掌握距离公式的应用，初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题.
2.能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题.
题型(一) 坐标法及应用
[例1] 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
听课记录：
用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
[针对训练]
1.求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
题型(二) 与平面图形有关的距离问题
[例2] 已知 ABCD，A(1,2)，B(2,4)，C，求：
(1)点D的坐标及点A到直线CD的距离；
(2)平行四边形ABCD的面积.
听课记录：
与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下，善于发现、利用几何特征，并借助直线方程、距离公式进行解决.
[针对训练]
2.如图，已知 ABCD的面积为8，A为原点，点B的坐标为(2，－1)，点C，D在第一象限.
(1)求直线CD的方程；
(2)若|BC|＝，求点D的横坐标.
题型(三) 平行直线间距离的最值问题
[例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
听课记录：
应用数形结合思想求最值
(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
[针对训练]
3.已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________.
距离公式的综合应用
[题型(一)]
[例1] 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，
设A(0,0)，B(a,0)，
C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
[针对训练]
1.证明：如图，以Rt△CAB的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0).
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，BC的中点为D.因为D是斜边BC的中点，故点D的坐标为，即D.由两点间距离公式得|BC|＝＝，|AD|＝＝ ，所以|AD|＝|BC|，因此直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为，依题意，线段AC的中点坐标为，由平行四边形性质知解得x0＝－，y0＝3，所以点D的坐标为.直线CD的斜率k＝＝2，直线CD的方程为y－5＝2，即2x－y＋4＝0，
所以点A(1，2)到直线CD的距离
d＝＝.
(2)由(1)知，线段CD的长
|CD|＝ ＝，
所以平行四边形ABCD的面积
S＝|CD|·d＝×＝4.
[针对训练]
2.解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，所以kCD＝kAB＝－.
设直线CD的方程为y＝－x＋m(m>0)，
即x＋2y－2m＝0.
因为 ABCD的面积为8，|AB|＝，
所以AB与CD的距离为.
易知直线AB的方程为x＋2y＝0，
于是＝，解得m＝±4.
又m>0，所以m＝4，
故直线CD的方程为x＋2y－8＝0.
(2)设点D的坐标为(a，b).
因为|BC|＝，所以|AD|＝.
所以解得或
故点D的横坐标为或2.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)如图，显然有0
|AB|＝
＝3.故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
[针对训练]
3.解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0(共69张PPT)
距离公式的综合应用
(深化课—题型研究式教学)
1.6.2
课时目标
1．进一步掌握距离公式的应用，初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题.
2．能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 坐标法及应用
题型(二) 与平面图形有关的
距离问题
题型(三) 平行直线间距离的
最值问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 坐标法及应用
01
[例1] 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．
方法技巧
1．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
针对训练
证明：如图，以Rt△CAB的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，BC的中点为D.
因为D是斜边BC的中点，
题型(二) 与平面图形有关的距离问题
02
解：(1)设点D(x0，y0)，
与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下，善于发现、利用几何特征，并借助直线方程、距离公式进行解决．
方法技巧
针对训练
解：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
解得m＝±4.
又m>0，
所以m＝4，
故直线CD的方程为x＋2y－8＝0.
(2)设点D的坐标为(a，b)．
题型(三) 平行直线间距离的最值问题
03
[例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
题型(三) 数列的递推公式及应用
解：(1)如图，显然有0(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值
(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
方法技巧
3．已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________．
针对训练
x＋2y－3＝0
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形
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所以|AB|＝|AC|≠|BC|，
且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，
故△ABC是等腰非等边三角形．
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2．已知直线l1：mx－y－2m＝0，直线l2与l1平行且经过点Q(－1,4)，则l1，l2之间距离的最大值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
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解析：因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，
解得a＝2.
所以线段AB的中点为P(0,5)．
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解析：根据题意，设点P的坐标为(x0,0)，
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解得x0＝4或x0＝－10，
即点P的坐标为(4,0)或(－10,0)．
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6.如图，在△ABC中，A(5，－2)，B(7,4)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则点C的坐标为_____________，|AC|＝_______.
(－5，－4)
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解析：设C(x，y)，
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7．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．
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解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.
所以λ＝±3，
即直线方程为x－1＝0或4x－3y＋5＝0，
所以所求直线的条数为2.
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15°或75°
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解析：由两条平行直线的距离公式，
即该直线与直线l1的夹角为30°，
又直线l1的倾斜角为45°，
则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
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9．已知△ABC的顶点坐标为A(0,5)，B(1，－2)，C(－5，4)．
(1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程；
(2)求直线AB的方程及△ABC的面积．
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解：(1)根据两点的斜率公式，
根据两条直线垂直时的斜率关系可知，
所求直线的斜率为1，
而高线经过点A(0,5)，
由直线斜截式方程得y－5＝x，
故所求直线的方程是x－y＋5＝0.
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(2)根据两点的斜率公式，
又因为经过点A(0,5)，
所以由直线斜截式方程得y－5＝－7x，
故直线AB的方程是7x＋y－5＝0，
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10.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：|AP|＝|PQ|.
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证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的正半轴建立平面直角坐标系．如图所示，
设正方形的边长为a，
则A(0，a)，C(a，0)，
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联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形全等求得点Q坐标)．
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解析：因为直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，使得|OP|＝1，
所以原点O到直线l的距离小于等于1，
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解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两条直线距离相等的直线上，
设该直线方程为x＋y＋c＝0，
即c＝－6，
∴点M在直线x＋y－6＝0上，
∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，
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14.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为________________．
x＋y－3＝0
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解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，
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所以b2＝9，b＝±3.
但b>1，
所以b＝3，从而得到直线l2的方程为x＋y－3＝0.
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(2)因为a>0，由(1)得a＝3，
所以l1：2x－y＋3＝0.设存在点P(m，n)(m>0，n>0)满足题意，
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解：(1)直线l1：mx＋y－m－2＝0，
即m(x－1)＋y－2＝0，
令x－1＝0，
解得x＝1，y＝2，
可得直线l1的定点P(1,2)．
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∴n＝3或n＝19，
故直线l2：3x＋4y－3＝0或3x＋4y－19＝0.
(2)由过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，设A(a,0)，B(0，b)，
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令t＝ab>0，
则有t2－8t≥0，
解得t<0(舍去)或t≥8，
∴t的最小值为8.课时跟踪检测(十) 距离公式的综合应用
A级——综合提能
1.以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形
2.已知直线l1：mx－y－2m＝0，直线l2与l1平行且经过点Q(－1,4)，则l1，l2之间距离的最大值是( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3.已知两条直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B.
C. D.
4.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为( )
A.11 B.10
C.9 D.8
5.已知点P为x轴上的点，A(－1,2)，B(0,3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为( )
A.(4,0)或(10,0) B.(4,0)或(－10,0)
C.(－4,0)或(10,0) D.(－4,0)或(11,0)
6.如图，在△ABC中，A(5，－2)，B(7,4)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则点C的坐标为________，|AC|＝________.
7.经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.
8.若某直线被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________.
9.已知△ABC的顶点坐标为A(0,5)，B(1，－2)，C(－5，4).
(1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程；
(2)求直线AB的方程及△ABC的面积.
10.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：|AP|＝|PQ|.
B级——应用创新
11.已知直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，满足|OP|＝1，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A.3 B.2
C. D.4
13.已知点A(－，0)，B(cos α，sin α)且|AB|＝2，则α的一个值为________.(写出符合题意的一个答案即可)
14.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为____________.
15.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且原点到直线l1的距离是.
(1)求a的值；
(2)若a>0，能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
16.已知直线l1：mx＋y－m－2＝0，l2：3x＋4y－n＝0.
(1)求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为；
(2)过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程.
课时跟踪检测(十)
1．选C 根据两点间的距离公式，得
|AB|＝＝，
|AC|＝ ＝，
|BC|＝＝3，
所以|AB|＝|AC|≠|BC|，
且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，
故△ABC是等腰非等边三角形．
2．选B 直线l1：mx－y－2m＝0，即y＝m(x－2)，恒过定点A(2,0)．显然若直线l2平行于l1且过点Q，则l1，l2之间距离的最大值为|AQ|＝＝5.
3．选C 直线3ax－y－2＝0经过定点A(0，－2)．(2a－1)x＋5ay－1＝0化为a(2x＋5y)－x－1＝0，令解得x＝－1，y＝，即直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B.则|AB|＝ ＝.
4．选B 因为直线2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，所以2×＝－1，解得a＝2.所以线段AB的中点为P(0,5)．设A(m,2m)，B，则
解得所以A(4,8)，B(－4,2)，
所以|AB|＝＝10.
5．选B 根据题意，设点P的坐标为(x0,0)，则kAB＝＝1，故直线AB为y－3＝x，即x－y＋3＝0，故P到直线AB的距离为d＝＝，又因为|AB|＝＝，所以S△ABC＝|AB|d＝××＝，解得x0＝4或x0＝－10，即点P的坐标为(4,0)或(－10,0)．
6．解析：设C(x，y)，由题意得解得所以点C的坐标是(－5，－4)，|AC|＝＝2.
答案：(－5，－4) 2
7．解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x－1＝0或4x－3y＋5＝0，所以所求直线的条数为2.
答案：2
8．解析：由两条平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝.又直线被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1的夹角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
答案：15°或75°
9．解：(1)根据两点的斜率公式，可得kBC＝＝－1，根据两条直线垂直时的斜率关系可知，所求直线的斜率为1，而高线经过点A(0,5)，由直线斜截式方程得y－5＝x，
故所求直线的方程是x－y＋5＝0.
(2)根据两点的斜率公式，可得kAB＝＝－7，又因为经过点A(0,5)，所以由直线斜截式方程得y－5＝－7x，故直线AB的方程是7x＋y－5＝0，由两点间距离公式可得|AB|＝＝5，由点到直线距离公式，可得点C到AB的距离是d＝＝，所以△ABC的面积是S△ABC＝×5×＝18.
10．证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的正半轴建立平面直角坐标系．如图所示，设正方形的边长为a，则A(0，a)，C(a，0)，设点P的坐标为(t,0)(0kAP＝－，lPQ：y＝(x－t) ①，
lCQ：y＝x－a ②.
联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形全等求得点Q坐标)．
∵|AP|＝ ，|PQ|＝ ，
∴|AP|＝|PQ|.
11．选C 因为直线l：y＝k(x－2)＋1(k∈R)上存在一点P，使得|OP|＝1，所以原点O到直线l的距离小于等于1，即≤1，解得0≤k≤，即实数k的取值范围是.
12．选A 由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两条直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
13．解析：根据两点间的距离公式，
得＝2，
即sin2α＋cos2α＋3＋2cos α＝4，
即cos α＝0，所以α可以为.
答案：(答案不唯一，符合＋kπ，k∈Z即可)
14．解析：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，所以AD＝，BC＝b，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.但b>1，所以b＝3，从而得到直线l2的方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
15．解：(1)因为原点到直线l1的距离是，即d＝＝，所以a＝±3.
(2)因为a>0，由(1)得a＝3，所以l1：2x－y＋3＝0.设存在点P(m，n)(m>0，n>0)满足题意，则点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍有＝2×，
即|4m－2n－1|＝4|2m－n＋3|
＝|8m－4n＋12|①，
点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶，＝ |2m－n＋3|
＝|m＋n－1|②，
m>0，n>0③，联立①②③解得m＝，n＝，故存在满足上述三个条件的点P.
16．解：(1)直线l1：mx＋y－m－2＝0，
即m(x－1)＋y－2＝0，令x－1＝0，解得x＝1，y＝2，可得直线l1的定点P(1,2)．
∵定点P(1,2)到直线l2：3x＋4y－n＝0的距离为＝，∴n＝3或n＝19，故直线l2：3x＋4y－3＝0或3x＋4y－19＝0.
(2)由过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，设A(a,0)，B(0，b)，则P，A，B三点共线，＝，∴ ab＝2a＋b≥2，
令t＝ab>0，则有t2－8t≥0，解得t<0(舍去)或t≥8，∴t的最小值为8.∴△AOB面积为ab最小值为4，此时a＝2，b＝4，直线l的斜率为－2，直线l的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0.