2.1 圆的标准方程
课时目标
1.会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径.
2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系.
1.圆的标准方程
圆的图示
圆的几何特征 圆上任一点到________的距离等于定长
圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程为____________________.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 dr (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 dr (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点M在圆内 dr (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
(3)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.( )
(4)若圆的标准方程是(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a.( )
2.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为( )
A.(－1,5)， B.(1，－5)，
C.(－1,5)，3 D.(1，－5)，3
3.已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1,6)在( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.不确定
4.已知圆心为(－2,1)的圆过点(0,1)，则该圆的标准方程是( )
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
D.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
题型(一) 点与圆的位置关系
[例1] 已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
听课记录：
[例2] 已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝______；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_________.
听课记录：
[方法技巧] 判断点与圆的位置关系的两种方法
几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断
代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断
[针对训练]
1.点P(3，m)与圆(x＋1)2＋y2＝9的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.不确定
2.若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是________.
题型(二) 圆的标准方程
方法1 直接法求圆的标准方程
[例3] 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
听课记录：
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
方法2 待定系数法求圆的标准方程
[例4] 已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，则△ABC外接圆的方程为________________.
听课记录：
待定系数法求圆的标准方程的策略
设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题目给出的已知条件找到参数a，b，r的关系，列出方程组并求出a，b，r.此方法的计算量较大，应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是同一常数，两式相减后可简化运算.
方法3 几何性质法求圆的标准方程
[例5] 过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
听课记录：
几何法求圆的标准方程的两种思路
(1)根据题意设出圆心坐标、半径，然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值，由此确定圆心坐标和半径；
(2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程，与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标，再由两点间距离公式求得半径.
[针对训练]
3.已知点A(1，－1)和点B(－1,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－4)2＝5
B.(x＋2)2＋(y－4)2＝20
C.x2＋(y－1)2＝5
D.x2＋(y－1)2＝20
4.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x－2y－1＝0的距离与半径长相等.求圆C的方程.
2.1 圆的标准方程
课前环节
1.圆心 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 2.＝ ＞ ＜
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.B
3.选C 圆心为(－1,3)，半径为＝2，因为＝>2，所以点A(1，6)在圆外，故选C.
4.选A ∵圆过点(0,1)，即点(0,1)在圆上，∴该圆的半径为圆心(－2,1)与点(0,1)两点之间的距离r＝＝2，
∴该圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选A 由题意，得a＋b＝1，ab＝－，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
∴点P在圆C内.
[例2] 解析：由题意，当点P在圆C上时，由2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或a＝－6.
当点P在圆C外时，由2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2.
答案：－2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞)
[针对训练]
1.选B 将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9，则点在圆外，故选B.
2.解析：因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，所以(a－3)2＋(a－3)2>2，解得a>4或a<2.
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
[题型(二)]
[例3] 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8).又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
[例4] 解析：设△ABC外接圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，
所以有
解得因此△ABC外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
答案：(x－1)2＋(y－3)2＝5
[例5] 选C 法一 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点.由得
即圆心坐标为(1,1)，
圆的半径为＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二 设点C为圆心.
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a).
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴
＝ ，解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
[针对训练]
3.选C 法一 因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，所以AB的中点M，即M(0,1)为圆心，由|AB|＝＝2，则圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.
法二 由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5.
4.解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2 ①.
而r＝，代入①，
得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或
(x＋7)2＋(y－6)2＝80.(共75张PPT)
2.1
圆的标准方程
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径．
2．会用待定系数法和几何法求圆的标准方程．会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．圆的标准方程
圆的图示
圆的几何特征 圆上任一点到______的距离等于定长
圆的标准方程 圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程为____________________.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
圆心
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 D____r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点M在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
＝
＞
＜
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． ( )
(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． ( )
(3)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上． ( )
(4)若圆的标准方程是(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a. ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
√
3．已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1,6)在( )
A．圆内 B．圆上
C．圆外 D．不确定
√
4．已知圆心坐标为(－2,1)的圆过点(0,1)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
√
解析：∵圆过点(0,1)，即点(0,1)在圆上，
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 点与圆的位置关系
√
－2或－6
(－∞，－6)∪(－2，＋∞)
解析：由题意，当点P在圆C上时，
解得a＝－2或a＝－6.
当点P在圆C外时，
判断点与圆的位置关系的两种方法
方法技巧
几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断
代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断
1．点P(3，m)与圆(x＋1)2＋y2＝9的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
解析：将点P(3，m)代入圆的方程得(3＋1)2＋m2＝16＋m2>9，
则点在圆外，故选B.
针对训练
√
2．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是_________________________．
解析：因为点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，
所以(a－3)2＋(a－3)2>2，
解得a>4或a<2.
(－∞，2)∪(4，＋∞)
方法1 直接法求圆的标准方程
[例3] 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心坐标是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
题型(二) 圆的标准方程
解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心坐标为(0,0)或(0，－8)．
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
方法技巧
方法2 待定系数法求圆的标准方程
[例4] 已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，则△ABC外接圆的方程为_________________________．
(x－1)2＋(y－3)2＝5
解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，
待定系数法求圆的标准方程的策略
设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题目给出的已知条件找到参数a，b，r的关系，列出方程组并求出a，b，r.此方法的计算量较大，应注意运算的技巧性．方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是同一常数，两式相减后可简化运算．
方法技巧
方法3 几何性质法求圆的标准方程
[例5] 过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
√
即圆心坐标为(1,1)，
法二 设点C为圆心．
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|.
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
几何法求圆的标准方程的两种思路
(1)根据题意设出圆心坐标、半径，然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值，由此确定圆心坐标和半径；
(2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程，与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标，再由两点间距离公式求得半径．
方法技巧
A．(x＋2)2＋(y－4)2＝5
B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20
C．x2＋(y－1)2＝5
D．x2＋(y－1)2＝20
3．已知点A(1，－1)和点B(－1,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
针对训练
√
解析：法一 因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径端点，
法二 由题意圆的方程可以为(x－1)(x＋1)＋(y＋1)(y－3)＝0，
即x2＋y2－2y－4＝0，即x2＋(y－1)2＝5.
4．已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x－2y－1＝0的距离与半径长相等．求圆C的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心坐标为(a,6)，半径为r，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2 ①.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
A级——综合提能
1．以(2，－1)为圆心坐标，4为半径的圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
2．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：∵12＋32＝10<24，
∴点P在圆内．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
3．[多选]已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M的圆心为(－4,3)
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心坐标为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，
得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：法一：待定系数法 根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，
则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
法二：几何法 因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心，且过点P(－1,1)的圆的标准方程为_______________________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：因为已知圆的圆心坐标为(2，－3)，
所以所求圆的圆心坐标为(2，－3)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为
______________________________．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：∵点P在圆外，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(x－2)2＋y2＝9
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，
解得a＝2，
∴C(2,0)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)，
解得a＝±1.
当圆心坐标为(3,1)时，
圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.
当圆心为(3，－1)时，
圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.如图，已知两点P1(4,9)和P2(6，3)，且圆以P1P2为直径．
(1)求圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解：(1)设圆心C(a，b)，半径r，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——应用创新
11．[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20
C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12．[多选]设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：由题意可知圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3,0)，故B正确；
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个，故C错误；
因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由甲、丙可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，A(3,3)满足上式，符合题意．综上所述，结论错误的同学是丁．故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆E的方程．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，
且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
故点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
所以点M为矩形ABCD外接圆圆心．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解：(1)∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
即圆心C为(－3，6)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2课时跟踪检测(十二) 圆的标准方程
A级——综合提能
1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
3.[多选]已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M的圆心为(－4,3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的弦长为6
4.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
5.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为 ( )
A.2＋y2＝ B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D.2＋y2＝
6.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心，且过点P(－1,1)的圆的标准方程为________________.
7.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为____________.
8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为______________.
9.根据下列条件，分别求相应圆的标准方程.
(1)圆心为C，半径r＝；
(2)圆心为C(，1)，过点A(－1，)；
(3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点，且半径等于.
10.如图，已知两点P1(4,9)和P2(6，3)，且圆以P1P2为直径.
(1)求圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
B级——应用创新
11.[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )
A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20
C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20
12.[多选]设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4
13.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点(3,3)；丙：该圆的圆心为(2,1)；丁：该圆经过点(7,0).如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
14.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆E的方程.
15.已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上.
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.
课时跟踪检测(十二)
1．C
2．选B ∵12＋32＝10<24，∴点P在圆内．
3．选ACD 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD.
4．选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式，得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
5．选C 法一：待定系数法 根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)．
由题意得解得
所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
法二：几何法 因为圆E经过点A(0,1)，B(2，0)，
所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.
则圆E的半径为|EB|＝ ＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.
6．解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的半径为＝5，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
7．解析：∵点P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，
∴a>或a＜－.
答案：∪
8．解析：设圆心C的坐标为(a,0)(a>0)，由题意知，＝，解得a＝2，∴C(2,0)，则圆C的半径为r＝|CM|＝ ＝3.∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
9．解：(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为2＋(y－3)2＝3.
(2)易知圆的半径为r＝|AC|＝ ＝，所以圆的方程为(x－)2＋(y－1)2＝6.
(3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)，由半径为可得r＝＝，解得a＝±1.当圆心为(3,1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.当圆心为(3，－1)时，圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝5.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
10．解：(1)设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(2)分别计算点到圆心的距离|CM|＝＝，
|CN|＝＝>，|CQ|＝＝3<.
因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．
11．选AD 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12．选AB 由题意可知圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r＝2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，故A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝(－6)2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3,0)，故B正确；令(2－k)2＋(2－k)2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝(－4)2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个，故C错误；因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误．
13．选D 设A(3,3)，B(2,1)，C(7,0)．假设甲错误，乙、丙、丁正确，|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AB|≠|BC|，矛盾，所以甲正确．
假设乙错误，甲、丙、丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，C(7,0)不满足上式，矛盾，所以乙正确．
假设丙错误，甲、乙、丁正确，由乙、丁得|AC|＝＝5>2，与半径为矛盾，所以丙正确．
假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由甲、丙可知圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，A(3,3)满足上式，符合题意．综上所述，结论错误的同学是丁．故选D.
14．解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又因为点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为
y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得故点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
所以点M为矩形ABCD外接圆圆心．
又因为|AM|＝＝2，
从而矩形ABCD外接圆E的方程为
(x－2)2＋y2＝8.
15．解：(1)∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.
联立解得
即圆心C为(－3，6)，
则半径r＝＝2.
∴圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)∵|AB|＝＝4，
∴圆心C到AB的距离
d＝＝4，
∴点P到AB的距离的最大值为
d＋r＝4＋2，
∴△PAB的面积的最大值为×4×(4＋2)＝16＋8.
