2.3.2 直线与圆的综合问题
课时目标
进一步理解直线与圆的位置关系，能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法.
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
[例1] 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为( )
A.1 h B.2 h
C.3 h D.4 h
听课记录：
建立平面直角坐标系求解直线与圆有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程)，建立平面直角坐标系；
(2)根据题意写出直线与圆的方程；
(3)根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.
[针对训练]
1.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.5米
C.3.6米 D.2米
2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________ h.
题型(二) 与圆有关的最值问题
题点1 过圆内一点的最长弦、最短弦
[例2] 已知圆P经过A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)三点，则圆P截直线x＋ay＋2＝0所得弦长的最小值为( )
A.2 B.4
C. D.2
听课记录：
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程，判断点是在圆内还是在圆外；
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直.最长弦长为直径，可直接得出，最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得.
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
听课记录：
(1)ax＋by型的最大值转化为直线ax＋by＝c的截距的最大值；
(2)型的最大值和最小值转化为过点(x，y)和(a，b)的直线斜率的最大值和最小值；
(3)(x－a)2＋(y－b)2型的最大值和最小值转化为(x，y)和(a，b)的距离的最大值和最小值的平方.
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
听课记录：
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，
(1)当直线与圆相离时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r，如图①；
(2)当直线与圆相切时(d＝r)，圆上一点到直线的距离的最大值为2r，最小值为0，如图②；
(3)当直线与圆相交时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为0，劣弧上的点到直线的距离的最大值为r－d，如图③.
[针对训练]
3.从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为( )
A.－1 B.1
C.2 D.0
4.已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________.
5.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝.
(1)求x2＋y2的最值；
(2)试求点P(3,3)到圆的最远距离.
直线与圆的综合问题
[题型(一)]
[例1] 选B 如图，根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴建立平面直角坐标系，所以A(40,0)，B(0，30)，圆O：x2＋y2＝676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以lAB：＋＝1，即lAB：3x＋4y－120＝0，因为O到lAB：3x＋4y－120＝0的距离为|OO′|＝＝24，所以|MN|＝2＝20，所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为＝2 h.
[针对训练]
1.选B 由题意，以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系，易知半圆的方程为x2＋y2＝12.96(y≥0)，令x＝0.8，解得y≈3.5.
2.解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得|MN|＝2＝20，
所以城市B处于危险区的时间为＝1 h.
答案：1
[题型(二)]
[例2] 选B 因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心为P(m，－2).又r2＝AP2＝BP2，即(m－1)2＋52＝(m－4)2＋42，解得m＝1，所以P(1，－2).所以r＝5，圆P的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.又直线x＋ay＋2＝0过定点Q(－2,0)，|PQ|＝＝，当直线PQ与直线x＋ay＋2＝0垂直时，弦长最短，则由垂径定理，得弦长l＝2＝2＝4.所以直线x＋ay＋2＝0被圆截得的弦长的最小值为4.
[例3] 解：(1)方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆，设＝k，即kx－y＝0，当直线kx－y＝0与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当x－y＋b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
[例4] 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值S＝1＝r|PB|min＝|PB|min，则|PB|min＝2，
因为|PB|＝＝，所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.
答案：2
[针对训练]
3.选B x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝，即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短.
4.解析：根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0，2)，AO所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1.
答案：1
5.解：(1)由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.易知圆(x＋1)2＋y2＝的圆心的坐标为(－1,0)，半径为，所以原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离d＝1.故圆上的点到坐标原点的最远距离为1＋＝，最近距离为1－＝，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
(2)由(1)知圆心的坐标为(－1,0)，半径为，则点P到圆心的距离为＝5，所以点P(3,3)到圆的最远距离为5＋＝.(共74张PPT)
直线与圆的综合问题
(深化课—题型研究式教学)
2.3.2
课时目标
进一步理解直线与圆的位置关系，能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题．掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与圆的方程的实际应用
题型(二) 与圆有关的最值问题
课时跟踪检测
题型(一) 直线与圆的方程的
实际应用
01
[例1] 一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h，这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为( )
A．1 h B．2 h C．3 h D．4 h
√
建立平面直角坐标系求解直线与圆有关问题的思路
(1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程)，建立平面直角坐标系；
(2)根据题意写出直线与圆的方程；
(3)根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解．
方法技巧
1．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米
解析：由题意，以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系，易知半圆的方程为x2＋y2＝12.96(y≥0)，
令x＝0.8，
解得y≈3.5.
针对训练
√
2．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________ h.
1
题型(二) 与圆有关的最值问题
02
√
解析：因为圆心在弦AC的中垂线上，
所以设圆心为P(m，－2)．
又r2＝AP2＝BP2，
即(m－1)2＋52＝(m－4)2＋42，
解得m＝1，
所以P(1，－2)．
所以r＝5，
圆P的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.
最长弦和最短弦问题的解法
(1)求出圆的标准方程，判断点是在圆内还是在圆外；
(2)过圆内一点的最长弦为圆的直径，此时直线过圆心；最短弦与圆心和该点的连线垂直．最长弦长为直径，可直接得出，最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得．
方法技巧
题点2 与圆有关的斜率、距离的最值问题
[例3] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，
方法技巧
题点3 圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题
[例4] 已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小．
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，
即为圆心C(0,1)到直线的距离，
解得k＝±2，
因为k>0，
所以k＝2.
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，
(1)当直线与圆相离时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为d－r，如图①；
(2)当直线与圆相切时(d＝r)，圆上一点到直线的距离的最大值为2r，最小值为0，如图②；
方法技巧
(3)当直线与圆相交时，圆上一点到直线的距离的最大值为d＋r，最小值为0，劣弧上的点到直线的距离的最大值为r－d，如图③.
3．从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．0
针对训练
√
4．已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为________．
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解析：根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心坐标为(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0，2)，AO所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
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2．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是
( )
A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3]
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解析：如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小．
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当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．
如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心坐标(5,5)
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7．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为__________.
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8．点P(x，y)是直线l：kx＋y＋3＝0上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－4y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________．
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解析：由题意可知，圆心C(0,2)，半径r＝2.如图所示，
所以当|PC|最小时，四边形PACB的面积取最小值．
而|PC|的最小值即点C到直线l的距离d，
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9．某圆拱桥的水面跨度16 m，拱高4 m，现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，问这条船能否通过？
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解：以水面作为x轴建立平面直角坐标系如图，
且B(－8,0)，C(8，0)，E(－5,0)，F(5,0)，
令圆拱的半径为r，
则r2－(r－4)2＝64，
可得r＝10，
故圆心为(0，－6)，
所以圆拱所在圆为x2＋(y＋6)2＝100，
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解：(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
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A．观测点A，B之间的距离是280 m
B．圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0
C．小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x＋200
D．小汽车会进入安全预警区
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小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，故C错误；
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13．在平面直角坐标系中，以点(1,0)为圆心坐标且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．
(x－1)2＋y2＝2
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解析：∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
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14．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是
________．
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解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)．
即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，
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15．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值．
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解：(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
解得a＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
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(2)∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)，∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，
即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为圆心C到直线l的距离，由(1)知|PC|min＝3，
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2课时跟踪检测(十五) 直线与圆的综合问题
A级——综合提能
1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝25(y≥0)
C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D.随建立直角坐标系的变化而变化
2.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是( )
A.[3,7] B.[1,9]
C.[0,5] D.[0,3]
3.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是( )
A.[，＋∞)
B.(－∞，－]
C.(－∞，－]∪[，＋∞)
D.[－，]
4.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为( )
A.2 B.
C. D.1
5.[多选]已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3
D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
6.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________.
7.圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________.
8.点P(x，y)是直线l：kx＋y＋3＝0上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－4y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为________.
9.某圆拱桥的水面跨度16 m，拱高4 m，现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，问这条船能否通过？
10.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.
B级——应用创新
11.若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值为( )
A. B.3
C. D.2
12.[多选]某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200 m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则( )
A.观测点A，B之间的距离是280 m
B.圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0
C.小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x＋200
D.小汽车会进入安全预警区
13.在平面直角坐标系中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________.
14.(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________.
15.已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.
课时跟踪检测(十五)
1．D
2．选A x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7]．
3.选C 如图，将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(k2＋1)x2－4kx＋3＝0，则Δ＝16k2－4×3×(k2＋1)≥0，解得k≥或k≤－.
4．选D 如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小．因为|PC|min＝d＝＝2，所以()2＝22－r2，解得r＝1.
5．选ACD 由题意知直线AB：＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5,5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．
如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5,5)
到点B的距离为＝，则|PB|＝＝3；当切点在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝3.所以C、D项正确．故选ACD.
6．解析：从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
答案：－2
7．解析：由题设，圆心坐标为(0,0)，半径为4，∴圆心到直线x－y＝3的距离为＝，∴圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
答案：4＋
8．解析：由题意可知，圆心C(0,2)，半径r＝2.如图所示，S四边形PACB＝2S△PAC＝2×|PA|×
|AC|＝2|PA|＝
2
＝2，
所以当|PC|最小时，四边形PACB的面积取最小值．而|PC|的最小值即点C到直线l的距离d，又d＝＝，所以2＝2，解得d＝.即＝，解得k＝±2.所以k的值为±2.
答案：±2
9．解：以水面作为x轴建立平面直角坐标系如图，且B(－8,0)，C(8，0)，E(－5，0)，F(5,0)，令圆拱的半径为r，则r2－(r－4)2＝64，可得r＝10，故圆心为(0，－6)，所以圆拱所在圆为x2＋(y＋6)2＝100，当x＝5时，y＝±5－6，如图，要使宽10 m，水面以上高3 m的船能通过，只需y＝5－6≥3即可，则5≥9，即75≥81，显然不成立，故这条船不能通过．
10．解：(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，
又|QC|＝ ＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
11．选A 由圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8关于直线2ax＋by＋6＝0对称，得圆心(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，可得b＝a－3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为＝，当a＝2时，所求的切线长取得最小值为.
12．选BD 由题意，得A(40,40)，B(－240,0)，所以|AB|＝＝200，即观测点A，B之间的距离是200 m，故A错误；设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过O，A，B三点，
所以
解得所以圆C的方程为x2＋y2＋240x－320y＝0，故B正确；小汽车行驶路线所在直线的斜率为－1，又点P的坐标是(0，－200)，所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y＝－x－200，故C错误；圆C化成标准方程为(x＋120)2＋(y－160)2＝40 000，圆心为C(－120,160)，半径r＝200，圆心C到直线y＝－x－200的距离d＝＝12013．解析：∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，∴半径最大为，∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
14．解析：由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)．所以kA′B＝.所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.所以实数a的取值范围是.
答案：
15．解：(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，
得d＝＝3，解得a＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)∵PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)，∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，
|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为圆心C到直线l的距离，由(1)知|PC|min＝3，
∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝，
∴S四边形PECF＝2S△PCE＝2×|CE||PE|＝2××2×＝2，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
