课件12张PPT。尺 规 作 图 华师大版八年级上册尺规作图：在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.其中,直尺是没有刻度的;基本作图最基本,最常用的尺规作图,叫基本作图.一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、作已知角的平分线
4、作已知线段的垂直平分线
5、过一点作已知直线的垂线五种基本作图：作法：(1) 作射线A’C’ ；A’ C’(3) 以点A’为圆心，以AB的长
为半径画弧，
交射线A’C’
于点B’， B’则线段A’B’ 就是所求作的线段。基本作图1：作一线段等于已知线段（2）用圆规量出线段AB的长；思考：探究与合作
你们会做一条线段等于所给线段的和、差或倍数吗？ab总结：求作线段的和与差或倍数，都可以先画一条射线，然后在这条射线上顺次截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从线段中截去。练习1.已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.练习2.完成下面画图，并写出画法.
画一条线段，使其等于AB－2CD.
已知： ∠AOB。求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。(2) 以点O为圆心，任意长为半径
画弧，
交OA于点C，交OB于 点D; (3) 以点O’为圆心，同样(OC)长为半径画弧，交O’A’于点C’;
CDC’(4) 以点C’为圆心，CD长为半径画弧， D’(5) 过点D’作射线O’B’.注意：几何作图要保留作图痕迹！基本作图2：作一个角等于已知角则∠A’O’B’为所求的角。 (1) 作射线O’A’; 已知： ∠AOB。求作： ∠A’O’B’
使∠A’O’B’=2∠AOB.独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。∠A’O’B’为所求.练习1.如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A＋∠B.练习2.完成下面画图，并写出画法.
画一个角，使其等于∠A－2∠B.课后作业：1.任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD2.任意画出两个角∠1和∠2，使∠1 > ∠2，再作一个角，使它等于∠1—∠2课件16张PPT。三角形全等的判定条件知识回顾①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F 1、什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。2、 全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等。 怎样的两个三角形会全等？2、三条边、三个角分别对应相等的两个三角形全等。1、能够完全重合的两个三角形全等。如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，△ABD和△ACD全等吗？试根据等腰三角形的有关知识说明理由。所以AB=AC， BD=CD ，AD=AD；
∠B=∠C ∠BAD=∠CAD ∠ADB=∠ADC。
所以△ABD ≌ △ACD解：因为等腰三角形是轴对称图形： 如果两个三角形只有一个相等的部分（边或角），那么有几种可能的情况？这两个三角形一定全等吗？探究新知（一）1.只有一条边2.只有一个角3cm3cm（1）若两个三角形只有一条边对应相等，那么这两个三角形是否全等？（2）若两个三角形只有一个角对应相等，那么这两个三角形是否全等？45°45°当两个三角形只有一个相等的部分时，这两个三角形不全等如果两个三角形只有两个相等的部分（边或角），那么有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？探究新知（二）1.只有两条边2.只有两个角3.只有一条边和一个角6cm4cm4cm（1）若两个三角形只有两条边对应相等（2）若两个三角形有两个角对应相等30°45°3cm3cm30°30°（3）若两个三角形只有一条边和一个角分别对应相等小结：两个三角形只有两个相等的部分（边或角），这两个三角形 。不全等如果两个三角形只有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？探究新知（三） 1.只有两边一角2.只有两角一边3.只有三边4.只有三角如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？边－角－边边－边－角ＡＡＡ'
Ａ'ＢＢ'
ＢＢ'
ＣＣＣ'
Ｃ'
做一做9cm12cm画法：1.画∠MAN= 45°2.在射线AM上截取AB= 12cm3.在射线AN上截取AC=9cm4.连接BC∴△ABC就是所求的三角形把你所画的三角形剪下来与其他同学所画的三角形进行比较，我们能发现什么?45 °画一个三角形，使它的一个内角为45° ,夹这个角的一条边为9厘米，另一条边长为12厘米.如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为SAS
（或边角边）．三角形全等的判定方法（1）：几何语言：在△ABC与△A’B’C’中AB=A’B’∠B=∠B’BC=B’C’∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）∵这是一个公理。练一练1.题中的两个三角形是否全等?△ABC≌△DEF 根据“SAS”练一练2、根据题目条件,判断下面的三角形是否全等.(全等)(全等)(1)(2) （1） AC=DF, ∠C= ∠F, BC=E
（2） BC=BD, ∠ABC= ∠ABD (1)(2)E例：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证：△ABD≌△ACD．证明: ∴ ∠BAD＝∠CAD AD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∵ AD平分∠BAC在△ABD与△ACD中∵AB＝AC（已知）∠BAD＝∠CAD（已证）课件22张PPT。两角一边三角形全等的判定如果两个三角形只有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？ 1.只有两边一角2.只有两角一边3.只有三边4.只有三角如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？这时应该有两种不同的情况：（1）两个角及两角的夹边；（2）两个角及其中一角的对边如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.把你画的三角形与其他同学画的进行比较，这些三角形全等吗？全等三角形的判定方法2:如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.在△ABC和△ A'B'C'中∠A= ∠A'AB= A'B'∠B= ∠B'｛(ASA)∵例1：如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC ≌△DCB.证明：∴△ABD ≌△ACD.（A.S.A.）在△ABC ≌△DCB中∵∠ABC＝∠DCB(已知)∠ACB＝∠DBC（已知）BC=BC（公共边）思考:如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否全等?如图:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对
边分别对应相等，这两个三角形是否一定全等？已知：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′求证： △ABC≌△A′B′C′证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°
（三角形的内角和等于180°）
又∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
∴ ∠C＝∠C′．
在△ABC和△A′B′C′中
∠A＝∠A′
AC＝A′C′
∠C＝∠C′
∴ △ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）
∵全等三角形的判定方法3:如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.在△ABC和△ A'B'C'中∠A= ∠A'BC= B'C'∠B= ∠B'(AAS)∵两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”（ASA）例2.如图，已知AB与CD 相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，说明△AOC与△DOB全等. 1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？答：全等，根据AAS答：全等，根据AAS或ASA例3.如图，△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由．
练习
如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，
求证：△ABD≌△ACE例4.如图，要证明△ACE≌△BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添加的条件填在横线上。∠AEC=∠BFDAC=BD∠A=∠B∠C=∠DAC=BD∠A=∠B已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’，AD、A’D’
分别是△ABC 和△A’B’C’的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说出你的发现。思考题:全等三角形对应边上的高也相等。1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和△ACD全等吗？为什么？试一试（ASA）∴ △ABE ≌△ACD（已知）AB=AC∠B=∠C∠A= ∠A（公共角）∵在△ABE与△ACD中说明:答:△ABE ≌△ACD(已知)2、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？（全等三角形对应边相等）∴ BE=CD（AAS）∴ △ABE ≌△ACD（已知） AE=AD∠B=∠C∠A= ∠A（公共角）在△ABE与△ACD中说明:答:BE =CD(已知)小结： 本节课我们主要学习了有关全等三角形的“两角一边”识别方法，有两种情况：
1. 两个角及两角的夹边；
2.两个角及其中一角的对边。（都能够用来识别三角形全等。）如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?议一议怎么办？可以帮帮我吗？练 习
1. 根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
2.要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？
（1） （2） 课件11张PPT。逆命题与逆定理回 顾1、命题的概念：判断一件事情的语句叫命题。2、命题都有两部分：条件和结论4、判断下列命题真假。
（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.3、命题分为：真命题和假命题观察上面2组命题,你发现了什么?1、两直线平行,内错角相等；3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2、内错角相等,两直线平行；5.说出下列命题的条件和结论：概括：一般来说，在两个命题中，如果第一个命
题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的
结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做
互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题。练习1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.2、等边三角形的每个角都等于60°条件：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.练习2、写出下列命题的逆命题，并判断其真假.1、同旁内角互补，两直线平行.2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.3、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假4、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.假讨论交流：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明。归纳：如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：不是所有的定理都有逆定理其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。练习3、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
1.既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
2.磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题。
写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。(1)如果x=y,那么x2 =y2；(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；(3)如果a=b,那么a-b =0；(4)如果a>b,则ac2>bc2；(6)三角形的一条中线平分三角形的面积.(5)对顶角相等。课堂作业：课件19张PPT。全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等图形.全等图形:能够完全重合的两个三角形,叫做△ABC≌△DEF
互相重合的顶点叫对应顶点.互相重合的边叫对应边.互相重合的角叫对应角.全等三角形△ABC全等于△DEF可表示为：读作:△ABC全等于△DEF注意：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。ABCDEF≌?≌√注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应的位置上。×ADBCEF≌ 试一试： 根据图形所提供的条件和全等式：
（1）在图上标出所缺的字母；
（2）说出它们的对应边和对应角例1∴∠A=∠FDE, ∠CBA=∠E, ∠C=∠F.ABCDEF先写出全等式，∵△ABC≌△DEF∴AB=DE, BC=EF, AC=DF.例2解:再指出它们的对应边和对应角规律一：有公共边的，公共边是对应边ABCD先写出全等式，∵△ABC≌△ABD∴AB=AB,BC=BD,∴∠BAC=∠BAD,例3解:AC=AD.∠ABC=∠ABD, ∠C= ∠D.再指出它们的对应边和对应角先写出全等式，ACODB∵△AOC≌△BOD∴AO=BO,AC=BD,
OC=OD.∴∠A=∠B,∠C=∠D,
∠AOC= ∠BOD.规律二：有对顶角的，对顶角是对应角例4解:再指出它们的对应边和对应角规律三：有公共角的，公共角是对应角ABCDE先写出全等式，∵△ABC≌△ADE∴AB=AD,AC=AE,
BC=DE∴∠A=∠A,∠B=∠D,
∠ACB= ∠AED.解:例5再指出它们的对应边和对应角规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边ABCDE先写出全等式，∵△ABC≌△DEC∴AB=DE,AC=DC,
BC=EC∴∠A=∠D,
∠B=∠E,
∠ACB= ∠DCE.例6再指出它们的对应边和对应角解:规律五：一对最大的角是对应角
一对最小的角是对应角先写出全等式，∵△ABC≌△FDC∴AB=FD,AC=FC,
BC=DC∴∠A=∠F,
∠B=∠D,
∠ACB= ∠FCD.解:再指出它们的对应边和对应角例7如图： △ABC≌△DEF∵ ∴A B=D E，A C=D F，B C=EF（全等三角形对应边相等）全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等） 强调：在表示全等三角形边、角相等时对应顶点写在对应位置上 1.如图，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝，AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？ABCDE求一求O∠C＝25°CE＝6㎝AE＝4㎝2、已知△ABC≌△DEF，A与D、B与E分别是对应顶点，∠ A＝52°，∠B＝67°，BC ＝15㎝。
则∠F＝________ ，EF＝______㎝。求一求61°153、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。求一求544、如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,
BC=5cm,求DE的长.求一求ABCDE 5.如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△EAB≌ △EDB≌ △EDC，则∠C的度数是（ ）0
（A）15 （B）20 （C）25 （D）30求一求D如图,已知△ AOC ≌ △BOD
求证：AC∥BD能力提高3.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上1. 叫做全等三角形。对应顶点课 堂 小 结 能够重合的两个三角形2.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应角全等于≌ 其中：互相重合的顶点叫做 ＿＿ ＿ ＿ ;互相重合的边叫做＿＿＿＿;互相重合的角叫做＿＿＿ ＿.4.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等课件16张PPT。命题1正确理解命题的含义
2会区分命题的条件和结论，并能把一个命题写成“如果……,那么……”的形式
3能根据已有的知识去判断一个命题的真假问题1 请同学读出下列语句：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）三角形的内角和等于180°；
（3）连接A、B两点;
（4）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（5）直角都相等;
（6） 你多大了？你能说出这些句子中哪些是具有判断功能的吗？什么是命题？判断某一件事情的语句叫做命题.例如： “三角形的内角和等于180°”是判断一件事情的语句是命题。
“连接A、B两点”不是判断一件事的语句就不是命题。命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包含肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命题。1熊猫没有翅膀。2大象是红色的。 3同位角相等。5从3数到10。句子 是命题句子 不是命题 4请你吃饭。想一想12345 练习 判断下列语句是不是命题？
（1）你吃饭了吗？（ ）
（2）两点之间，线段最短。（ ）
（3）请画出两条互相平行的直线。（ ）
（4）过直线外一点作已知直线的垂线（ ）
（5）如果两个角的和是90o，那么这两个角互余。（ ）
（6）对顶角不相等。（ ）
（7）两直线平行，同位角相等。（ ）
√ √ √ √问题2 请同学们观察一组命题，并思考命题是由几部分组成的？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）如果两个角的和是90o，那么这两个角互余；
（4）等式两边都加同一个数， 结果仍是等式．
（5）两点之间，线段最短．命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。如果两个角的和是90o，那么这两个角互余。
题设结论 数学中的命题常可以写成
“如果…，那么…”的形式．
“如果”开始的部分是题设，
“那么”开始的部分是结论．例2.下列命题中的条件是什么？结论是什么？2 如果a＞b，b＞c，那么a=c .题设是： 1如果两个角是邻补角，那么这两个角互补结论是：题设是：结论是：两个角是邻补角这两个角互补a＞b，b＞ca=c例3. 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式，并分别指出该命题的题设和结论。如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.题设是：1对顶角相等．结论是：题设是：结论是：2同位角相等.如果两个角是同位角，那么这两个角相等.两个角是对顶角这两个角相等两个角是同位角这两个角相等练习：请将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.并指出题设和结论。
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同角的补角相等.如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．下列题中哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）对顶角相等． √ √ √问题3：命题的真假如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题是真命题． 如果条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，这样的命题是假命题．正确的命题叫真命题． 错误的命题叫假命题． 例4.请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．
命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．命题2：一个锐角与一个钝角的和等于一个平角。假命题真命题可进行推理证明举反例如60°的角与170°的角5）若A=B，则2A = 2B（ ）9）同旁内角互补（ ）4）两点可以确定一条直线（ ）1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）2）一个角的补角大于这个角（ ）练习.判断下列命题的真假。真的用“√”，假的用“× 表示。7）两点之间线段最短（ ）3）相等的两个角是对顶角（ ）×√8）同角的余角相等（ ）6）锐角和钝角互为补角（ ）×√√×√√×1、命题：判断一件事情的语句叫命题。2.命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。3.命题的分类：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
课件19张PPT。定理与证明学习目标1.了解公理、定理与证明的概念。2.掌握证明的基本格式，会进行简单的逻辑推理证明。1.命题：复习2.构成：判断一件事情的语句.命题常写成“如果······那么······”的形式.3.分类：2)假命题：错误的命题.1)真命题：正确的命题；条件和结论 判断下列命题的真假：
1.过两点有且只有一条直线；
2.如果两个角是同位角，那么这两个
角相等；
3.两条直线被第三条直线所截，如果
同旁内角互补，那么这两条直线平
行；
4.如果两个角互补，那么它们是邻补
角；
5.垂直于同一条直线的两直线平行.√√√××过两点有且只有一条直线.2) 线段公理：两点之间，线段最短.4) 平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.5) 平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.1) 直线公理：3) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.公理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理。.数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。由“三角形的内角和等于180°”可以得到： 直角三角形的两个锐角互余。经 定理 ：如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据.
举例： 定理：同角或等角的补角相等.2) 余角的性质：同角或等角的余角相等.4) 垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5) 平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.1) 补角的性质：3) 对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.举例： 定理：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.6) 平行线的判定定理：7) 平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.公理、定理、命题的关系：命题真命题假命题公理（不需要证明）定理（通过推理证明） 证明：
根据已知条件、定义以及公理、定理等，通过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫证明。例1.已知：如图，a∥b, c是截线 .
求证：∠1=∠2123abc证明：∵a∥b ( )∴∠3=∠2
( )∵ ∠3=∠1 ( )∴∠1=∠2 ( )已知两直线平行，同位角相等对顶角相等等量代换例2.根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.1)垂直于同一直线的两直线平行； 已知：直线b⊥a , c⊥aabc 求证：b∥c2)内错角相等，两直线平行； 已知：如图，直线a、b被直线 c所截,
且∠1=∠2 求证：a∥babc213)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；已知：如图，OC是∠AOB的平分线，
EF⊥OA于F ,
EG⊥OB于G
求证：EF=EG4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH例3.证明：邻补角的平分线互相垂直.证明：∵OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC∵ ∠AOB+∠BOC=180°已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，
OE平分∠AOB， OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF又∠AOB、∠BOC互为邻补角∴ OE⊥OF∴∠1= ∠AOB， ∠2= ∠BOC∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°命题证明的步骤：
1.画出图形；
2.写出已知、求证；
3.写出证明过程.练习：
1.证明：内错角相等,两直线平行.2.证明：两条平行线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行。3. 证明：邻补角的平分线互相垂直．总 结1.证明命题的步骤：
根据题意作出图形.
(2) 写出已知和求证.
(3) 写出证明的过程.3.书写证明的过程必须步步有据,这个“据”指的是什么?“据”指的是: 已知条件、定义、公理、定理等.2.一般几何证明题证明的基本格式是什么?基本格式是: “ ∵ ┅ ∴ …”,
初学者要在每一步结论的后面用括号注明它成立的理由,理由必须是已知、定义、公理或定理等,不能主观臆造。课件9张PPT。尺规作图
综合作图1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、作已知角的平分线
4、作已知线段的垂直平分线
5、过一点作已知直线的垂线五种基本作图：已知：线段a，b，c. 求作：△ABC，使得三边为线段a,b,c.（1）.已知三边作三角形．
综合应用综合应用自主探究怎样过点C作一条直线平行于AB呢？生活离不开数学A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引两条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。1.已知:线段a，c，∠α求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ αacα课后作业：2、已知△ABC。
求作：
（1）底边上的中线
（2）高BE
（3）角平分线CE课件25张PPT。旧知回顾我们学过的判定三角形全等的方法：SSSSASASAAAS 三边对应相等的两个三角形全等。(简写成边 边 边“边边边”或“SSS”）边 角 边“边角边”或“SAS”） 两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成角 边 角“角边角”或“ASA”） 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成角 角 边 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）如图，△ABC中，∠C =90°，
直角边是_____、_____，斜边是______。我们把直角△ABC记作 Rt△ABC。ACBCAB思考：回
顾
与
思
考如图，AB BE于B，DE BE于E，⊥ ⊥ （1）若 ∠ A= ∠ D，AB=DE，
则 ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”） △△ 全等ASA根据2）若 ∠ A= ∠ D，BC=EF，
则 ABC与 DEF 根据 △ △AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，
则 ABC与 DEF 根据 △△ 全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则 ABC与 DEF 根据 △ △ 全等SSS判断一般三角形全等的方法对直角三角形同样适用想一想对于一般的三角形“S.S.A”可不可以证明三角形全等?ABCD但直角三角形作为特殊的三角形,
会不会有自身独特的判定方法呢 ?任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。B′A′按照下面的步骤画Rt△A′B′C′⑴ 作∠MC′N=90°;⑵ 在射线C′M上取B′C′=BC;⑶ 以B′为圆心,AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′;⑷ 连接A′B′.请你动手画一画再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′= 90°， B′C′=BC，A′B′= AB。 任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′= 90°， B′C′=BC，A′B′= AB。B′A′按照下面的步骤画一画⑴ 作∠MC′N=90°;⑵ 在射线C′M上取段B′C′=BC;⑶ 以B′为圆心,AB为半径画弧，交
射线C′N于点A′;⑷ 连接A′B′.请你动手画一画现象：两个直角三角形能重合。探索发现的规律是： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写为“斜边、直角边”或“HL”。几何语言：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中（HL）BC=B′C′RtRtRtRt想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形识别全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的识别方法——“HL”.例1已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,
求证： △ABC≌△BAD.练习1：已知△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,试说明AD平分∠BAC. BACD练习2：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：EB=DC. 3. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。4已知,如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC
求证：AD//BC.练习:例2 如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，
CE=BF. 求证：AE=DF.证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC
∴△ＡＢＥ和△ＤＣＦ都是直角三角形。又∵ＣＥ=ＢF ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ
即ＣＦ=ＢＥ。 在Ｒｔ△ＡＢＥ和Ｒｔ△ＤＣＦ中∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＤＣＦ（ＨＬ） ∴ＡＥ＝ＤＦＲｔＲｔ 例3：如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？CD 与CE 相等吗？证明： ∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL）∴ DA=EB在Rt△ACD和Rt△BCE中，又∵C是AB的中点，
∴AC=BC ∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC（全等三角形对应边相等）例4 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF例5. 已知：∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD
求证：CE=DE（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
AD=BC∠ DAB= ∠ CBABD=AC∠ DBA= ∠ CABHL HLAASAAS 已知∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，
还需一个什么条件？写出这些条件，并写出判定全等的理由。课件33张PPT。等腰三角形的性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 如图：在△ABC中,AB=AC，
它的各部分名称分别是什么？(1)相等的两条边都叫做腰(2)另一边叫底边。(3)两腰的夹角∠A叫顶角。(4)腰与底边夹角叫底角。则 △ABC就是等腰三角形 说出下列的等腰三角腰、底边、顶角和底角?在△BEF中，BE=BF.现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，
每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，
把纸片对折，让两腰 AB、AC重叠在一起，折痕
为AD，你能发现什么现象呢？
请大家尽可能多地写出结论！做一做结论：1、等腰三角形是轴对称图形2、∠ B =∠ C5、BD = CD 4、∠ADB = ∠ADC = 90°3、∠BAD = ∠CAD 问题1、结论（2）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳为什么语句？ BD=CD∠ADB=∠ADC =90∠BAD=∠CAD简称“三线合一”AD为顶角平分线AD为底边上的高线AD为底边上的中线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线互相重合底边上的高、1.等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角”2 .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合简称“三线合一”等腰三角形的两个性质已知：如图在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C证明：作∠BAC的平分线AD.在△ABD和△ACD中AB=AC（已知）∠1=∠2（已作）AD=AD（公共边）则∠1=∠2∴ △ABD≌△ACD (S.A.S.)∴ ∠B=∠C12D证明.等腰三角形两个底角相等。方法（2）作AD⊥BC与D. 方法（3）取BC的中点D,连结AD. D试一试你还有其它方法什么吗?D等腰三角形两个底角相等∴ ∠B＝∠C ∵ AB＝AC（等边对等角）（已知）几何语言：练习：判断正误（口答）(1) 如图，在△ABC中，∴ ∠B＝∠C. ∵ AB＝BC，CAB练习：判断正误（口答）(2) 如图，在△ABC中， ∵ AC＝BC，∴ ∠ADC＝∠BEC.CABDE∠A＝∠B.“等边对等角”只能在同一个三角形中用． 12D证明 .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠BAC的平分线，BC边的中线，BC边的高线互相重合。 文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）∵AB=AC
∴∠B=∠C∠1=∠2
AD⊥BC，
BD=CD小结在△ABC中，AB=AC2 .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合简称“三线合一”已知一个可以推出另外两个① ∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ =∠ ； =
（ ）② ∵AB=AC，BD=CD
∴——————— ； ——————
（ ）
③ ∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴
——————— ； ———————
（ ） 如图：BADCADBDCDBADCADADBC等腰三角形的三线合一等腰三角形的三线合一ADBCBD= CD⊥ ∠ =∠ ⊥等腰三角形的三线合一 ·→ 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、腰上的中线和高，看看它们是否重合？“三线合一”说的是等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高，这三条线重合。已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80。求∠C和∠A的度数．解:（已知）（等边对等角）（三角形内角和等于 ）∵AB=AC∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=80。求∠C和∠B的度数．解:80°??（已知）（等边对等角）∴∠B=∠C＝50°（三角形内角和等于 ）在等腰三角形中,已知一个角,可以求另外两个角∵AB=AC∵∠A+∠B+∠C=180° 50°,50°或80°,20°?等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角为 _______________________
（1）当80°的角是顶角时，则其余两个 角分别为________________________
（2）当80°的角是底角时，则其余两个
角分别为________________________50°,50°80°,20°分类讨论思想:等腰三角形的一个角可能指底角，
也可能指顶角，须分情况讨论，并利用三个角之
和等于180来求解角度°
50°80°50°2080°80° 30°,30°(3)等腰三角形一个角为120°,
它的另外两个角为_________________等腰三角形顶角可以是锐角、直角、钝角，
而底角只能是锐角例2：如图，在△ABC中，已知 AB = AC ，D是BC边上的中点，且∠B=30°，求（1）∠ADC的大小；（2） ∠1的大小.解: （1）∵AB=AC,D为BC中点∴AD⊥BC （等腰三角形的三线合一）∴∠ADC=∠ADB=90o（2）∵∠B=30o∴∠1=90o-∠B=60o练 习 1(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互
相重合（ ）
(2)等腰三角形的底角都是锐角 ( )
(3)钝角三角形不可能是等腰三角形（ ）× ×如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，AD=AE,∠1=60。求∠EDC解:∵ AB=AC，BD=DC （等腰三角形的三线合一）(已知)E∴ ∠ADC＝ ∠ADB= 90°∵ AD=AE∴ ∠ADE＝ ∠AED(等边对等角)∴ ∠EDC= ∠ADC -∠ADE=90 °-60 ° =30°练 习 2 在△ABC中，AB=BD=AC，AD=CD,
求∠ADB的度数BCDA练 习 3思考题:
在△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的高
（1）当∠A=30°时，求∠CBD的度数
（2）当 ∠A=α（0<α<90°) 时，求∠CBD的度数
ABCD1、什么是等腰三角形？2、等腰三角形有什么性质？从边看：从角看：回顾从对称性看：从重要线段看：等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形与等腰三角形有什么关系？等边三角形有哪些性质呢？ 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：1.从边看2.从角看4.从对称性看3.重要线段看等边三角形的性质2.等边三角形的每个角都相等，且等于60 °
3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一。4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
1 .三条边相等。例1.如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF。
试问：△DEF是什么三角形？ABCDEF例2.如图, △ABC和△CDE都是等边三角形，且点Ａ、Ｃ、Ｅ在一直线上,猜测AD与BE的大小,并说明理由.A拓展如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E。使CE=CD,求DE长。ABCDE课件19张PPT。 等腰三角形的判定 1.等腰三角形定义是什么？有两条边相等的三角形2.等腰三角形性质有哪些？1.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合。
（三线合一）基础回顾1、在△ABC中，AC=BC, ∠B=800,则∠C＝2、等腰三角形的一个内角是1000，则其余两个
角分别是
3、等腰三角形的一个内角是700，则其余两个角
分别是 或
4、等腰三角形的两边长分别是8cm和6cm，
则其周长是 cm
5、等腰三角形的两边长分别是16cm和8cm，
则其周长是 cm200400，400550，550700，40022或2040你用什么方法可以判定一个三角形是等腰三角形？利用定义证明1、将命题“等边对等角”写成“如果…那么…”的形式。如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等2、把上述命题的条件和结论交换，它是真命题还是假命题？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等简称为“等角对等边”ABCD方法一：作BC边上的高AD方法二：作∠A的角平分线AD方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC分析；要证AB=AC，可设法构造两个全等的三角形，使AB，AC分别是这两个三角形的对应边。∟不行！证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边 ）∵∠B=∠C∠B∠C∴AB=ACAB=AC（等）几何语言/：也可以说成：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形有以下的判定方法：（2）判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形．（1）定义法：
有两边相等的三角形是等腰三角形。判断：如图,下列推理正确吗? （等角对等边）例1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,
判断△ABC是什么三角形,为什么?答: △ABC是等腰三角形。理由：在△ABC中，∵∠C=180°－∠A－∠B
（三角形内角和等于180°）=180°－40°－70° =70°∴∠B=∠C=70°∴AB=AC（等角对等边）即△ABC是等腰三角形巩固练习一1.在△ABC中,有两个内角分别是100°和40°,试判断△ABC是什么三角形?2.“有两个底角相等的三角形是等腰三角形”,这句话对吗?答：△ABC是等腰三角形。答：这句话是错的。因为在还没有判定是等腰三角形前不能讲“底角”。巩固练习二72°36°△ABC，△ABD，△BDC巩固练习二△ACB、△ADC、△BDC3答:△ABC是等腰三角形。理由：∵AD平分∠EAC（角平分线定义）∵AD∥BC∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）∴∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）即△ABC是等腰三角形。例2.如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由? ∴∠1=∠2巩固练习三答:△ABD是等腰三角形.理由:∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2(角平分线定义)∵AD∥BC∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)∴∠1=∠3∴AB=AD(等角对等边)即△ABD是等腰三角形.1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由?巩固练习三答：△OBC是等腰三角形。理由：∵△ABC中，AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，（角平分线定义）∴∠1=∠2∴OB=OC（等角对等边）即△OBC是等腰三角形。 3.如图，AC和BD相交于点O，且
AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD.证明：∵AB∥DC
∴∠A=∠C ∠B=∠D又∵OA=OB
∴∠A=∠B（等边对等角）思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论?并说明理由.ABCF下例各说法对吗？为什么？等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的中线相等.
等腰三角形两腰上的高相等.
思考2:课件19张PPT。等边三角形的判定三线合一三个角都相等，
轴对称图形（3条）等边三角形轴对称图形（1条）两个角相等三线合一性质 类比等于60o两条边相等三边都相等复习巩固一个三角形满足什么条件就是等腰三角形?一个三角形满足什么条件
就是等边三角形?1.定义法：两边相等的三角形是等腰三角形。2.判定定理：
两个角相等的三角形是等腰三角形。有两边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形。满足什么条件的三角形是等边三角形？满足什么条件的三角形是等腰三角形?类比 探究三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形。方法一：定义法方法二：判定定理方法一：方法二：证明：三个内角都相等的三角形是 等边三角形.等边三角形判定方法探索ABC小明认为还有第三种方法“有一个角是60°的等腰三角形”也是等边三角形”，
你同意吗？想一想 证明：有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。
ABC等边三角形判定方法探索:等边三角形三种判定方法判定1.三边相等的三角形是等边三角形（定义）判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形∵ ∠A=600 , AB=BC
∴△ABC是等边三角形判定3：一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。思考：在△ABC中，AB=AC，若要使△ABC为等边三角形，还应补充一个条件，这个条件是 （只填写一个条件）例1:如图，⊿ABC是等边三角形，DE∥BC，
交AB、AC于D、E，
求证： ⊿ADE是等边三角形。例2.在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD＝AE，?ADE是等边三角形吗？为什么？例3.如图：等边三角形ABC中，AD是BC上的高， ∠ BDE= ∠ CDF=60 ° ，图中有哪些与BD相等的线段。 A60 °60 °例4、如图：课外兴趣小组在一次测的活动中，测的∠APB=60 ° AP=BP=200m，他们便得出了一个结论，池塘最长处不小于200m，他们的结论对吗？练习2.如图，E、F是△ABC中BC边上的点，且BE=EF=CF=AE=AF,
求∠BAC.练习1.在△ABC，∠A=60°，
AB=AC=10cm，则BC= .10cm练习 练习3.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm9练习4.三角形的三条边长a,b,c满足该三角形是( )A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形C练习5： 下列判断： ①有一个外角是120 °的等腰三角形是 等边三角形。 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形。 ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形。 ④三个不相邻的外角相等的三角形是等边三角形。 其中正确的判断有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 探究性活动 将两个含30 °角的三角尺摆放在起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？规律：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。如图是由15根火柴组成的两个等边三角形,你能只移动三根火柴将此图变成四个等边三角形吗？智勇大闯关 课件28张PPT。ABABABC?线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.直线MN?AB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.已知：PA=PB求证：证明:∵MN?AB（已知）∴?PCA=?PCB(垂直的定义)在?PCA和?PCB中,∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷??PCA与?PCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能根据图形写出已知、求证，并进行证明吗？如果有一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段的两个端点距离相等.到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.逆命题ABP已知:线段AB,且PA=PB求证:点P在线段AB的垂直
平分线上. 过点P作PC?AB垂足为C.在Rt ?PCA和Rt ?PCB中
PA=PB，PC=PC
∴ ?PCA ≌ ?PCB(HL)
∴ＡＣ＝ＢＣ
∴PC是线段AB的垂直平分线.
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.证明:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.逆定理线段的垂直平分线上的点,和这条
线段两个端点的距离相等.和一条线段两个端点距离相等的
点,在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理逆定理到线段两个端点距离相等的所有点的集合.线段的垂直平分线可以看作是例 已知:如图?ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
证明: ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上(已知)同理 PB=PC∴ PA=PB=PC.问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.???ABC点P为校址作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
l??BAP点P为所求作的点填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
1题图等腰填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
2.已知: 等腰?ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE EC.(填>、<或=号)1题图2题图等腰=3.已知:如图,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则? 1= , ? 2= .30o1275o30o60o45o填空：
4.已知:如图,在?ABC中,DE是AC的垂直平分线,
AE=3cm, ?ABD的周长为13cm,则?ABC 的周长
为 cmABDCE3cm1913cm5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即:BF=CF=DF证明题:1.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD
平分?ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.证明:30o∵ ? C=90o, ? A=30o(已知)
∴ ?ABC=60o(三角形内角和定理)∴ ? A= ?ABD (等量代换)∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)∴ AD=BD(等角对等边)证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求证:AD∥BC.证明:∵线段CD垂直平分AB(已知)∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)∴ ? 1= ? 3(等边对等角)又∵ AB平分?CAD(已知)
∴ ? 1= ? 2(角平分线的定义)∴ ? 2= ? 3(等量代换)∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)证明题:3.已知:如图,在?ABC中, AB=AC,?A=120o,
AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.
求证:CF=2BF.300CF=2AFAF=BF?CF=2BF证明题:4.已知:如图,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.
求证: ? CAF= ? B.课件15张PPT。角平分线的性质定理复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。线段的垂直平分线上的点,到这条
线段两个端点的距离相等.到一条线段两个端点距离相等的
点,在这条线段的垂直平分线上.3.线段垂直平分线的性质定理4.逆定理复习提问已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到角两边的距离相等角的平分线的性质定理:PD⊥OA，PE⊥OB∵ OC是∠AOB的平分线∴ PD＝PE用几何语言表述：（角平分线上的点到角两边 的距离相等)角平分线的性质定理角的平分线上的点到角两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 角平分线上的点到角两边的距离相等。
BD CD（×）判断：练习∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 角平分线上的点到角两边的距离相等。
BD CD（×）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 角平分线上的点到角两边的距离相等。
√不必再证全等在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.例题讲解1如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB例题讲解2已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
ABCMNP怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？例题讲解3如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ例题讲解4如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF 例题讲解5课件13张PPT。角平分线的性质定理的逆定理角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的性质定理:PD⊥OA，PE⊥OB∵ OC是∠AOB的平分线∴ PD＝PE用数学语言表述：复习反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角两边的距离相等的点在角的平分线上。∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角平分线性质定理的逆定理：例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。变式训练：
若已知AD是△ABC的角平分线。
求证：BE＝CF。
例2.已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.例3.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P也在∠BAC的平分线上.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, PD⊥AB， PE⊥BC∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴点P在∠BAC的平分线上.例4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上 1.如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解决问题2.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?3.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。4.关于三角形的角平分线的说法错误的是( )
A.两角平分线的交点在三角形内
B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两角平分线的交点到三边的距离相等
D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等
D课件22张PPT。全等三角形的判定之 边角边(SAS)如果两个三角形只有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？ 1.只有两边一角2.只有两角一边3.只有三边4.只有三角 上节课我们讨论了以下问题：如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？边－角－边边－边－角ＡＡＡ'
Ａ'ＢＢ'
ＢＢ'
ＣＣＣ'
Ｃ'
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为SAS
（或边角边）．三角形全等的判定方法（1）：几何语言：在△ABC与△A’B’C’中AB=A’B’∠B=∠B’BC=B’C’∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）∵“边边角”是否能够判断两个三角形全等呢？
下面我们来探讨一下! 以9cm，12cm为三角形的两边，长度为9cm的边所对的角为45°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ABCDEF9cm12cm45°45°12cm结论：如果两个三角形有两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等做一做9cm9cm“如果两个三角形有二条边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等.”这个命题是真命题吗？为什么？如图，在△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，它们全等吗？如果两个三角形有二条边和一个角对应相等，那么这两个三角形不一定全等.已知两个三角形有两边一角对应相等边－角－边边－边－角ＡＢ如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，
那么这两个三角形全等．（边角边）如果两个三角形有两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等（边边角）例1.如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB。请说明△AEC ≌ △ADB的理由。 AE =____(已知)
____= _____( 公共角)
_____= AB ( )
∴ △_____≌△______（ ）ADACSAS解：在△AEC和△ADB中∠A∠A已知AECADB例2.已知：如图， AB=CB ，∠ABD=∠CBD ,
△ABD和△CBD全等吗？
解:∴△ ABD ≌△ CBD (SAS)AB=CB（已知）∠ABD= ∠CBD（已知）ABCD在△ ABD 和△ CBD中BD=BD（公共边） 如图，已知AB和CD相交与O, OA=OB, OC=OD.说明△OAD与△OBC全等的理由。∴△OAD≌△OBC (S.A.S) 解：在△OAD 和△OBC中练习
例3.已知：如图，AD∥BC,AD=CB.
求证: △ADC≌△CBA证明：∵AD∥BC
∴ ∠1=∠2
(两直线平行，内错角相等)2.用SAS判定三角形全等的注意点：
（1）需要三个条件
（2）必须是两边和夹角（如不是夹角，则不一定全等）
（3）如条件不完整，则必须先证明够三个条件。三角形全等的判定方法：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)小结练习 已知：如图，要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含有条件是_________根据所给的判定方法，在下列横线上写出还需要的两个条件
（1） (SAS)
( 2 ) (SAS)AB=ABAC=AD∠CAB= ∠DABBC=BD∠CBA= ∠DBA例4、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证： ∠B＝∠C ．证明: ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”证明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求证： ．BD=CD证明: ∴BD＝CD（全等三角形的对应边相等）这就说明了点D是BC的中点，从而AD是底边BC上的中线。AD⊥BC ∴ ∠ADB＝ ∠ADC （全等三角形的对应角相等）
又∵ ∠ADB+ ∠ADC＝180°
∴ ∠ADB＝ ∠ADC＝ 90°
∴ AD⊥BC这就说明了AD是底边BC上的高。“三线合一”归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。变式题 证明两个角相等或者两条线段相等，可以转化为证它们所在的三角形全等而得到 1.点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证△AMD≌△BMC.证明：∵点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点
∴AD=BC （等腰梯形的两腰相等）
∠A＝∠B（等腰梯形的同一底边的两内角相等）
AM=BM （线段中点的定义） 在△ADM和△BCM中 AD＝BC (已证)
∠A＝∠B (已证)
AM＝BM (已证)
∴△AMD≌△BMC (S.A.S)练习
2.点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证DM=CM.证明：∵ 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点
∴ AD=BC （等腰梯形的两腰相等）
∠A＝∠B（等腰梯形的同一底边的两内角相等）
AM=BM （线段中点的定义）
在△ADM和△BCM中 AD＝BC (已证)
∠A＝∠B (已证)
AM＝BM (已证)
∴△AMD≌△BMC (S.A.S)∴ DM=CM（全等三角形的对应边相等）练习
3.点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证∠MDC＝∠MCD.证明：∵ 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点
∴ AD=BC （等腰梯形的两腰相等）
∠A＝∠B（等腰梯形的同一底边的两内角相等）
AM=BM （线段中点的定义）
在△ADM和△BCM中 AD＝BC (已证)
∠A＝∠B (已证)
AM＝BM (已证)
∴△AMD≌△BMC (S.A.S)∴ DM=CM（全等三角形的对应边相等）∴ ∠MDC＝∠MCD（等边对等角）练习
实际应用：1.有一块三角形的玻璃打碎成如图的两块，如果要到玻璃店去照样配一块，带哪一块去？ 2.某校八年级三班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离。设计了如下方案：如图，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连结AC、BC并分别延长AC至E，使DC=BC，EC=AC，最后测得DE的距离即为AB的长.你认为这种方法是否可行？C·AEDB实际应用课件17张PPT。 全等三角形的判定 边边边思考:如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等吗?
不一定，如上面的两个三角形就不全等。如果将上面的三个角换成三条边,结果又如何呢?做一做：
已知: 线段a=5cm,b=6cm,c=8cm.
求作：△ABC,AB=5cm,BC=6cm,
AC=8cm.abc完成作图后,请把你画的三角形剪下,并与周围同学的三角形作比较,你有什么发现?发现：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的.边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等.全等三角形的判定(sss)边边边公理:
三边 对应相等的两个三角形全等.(SSS)几何语言:在△ABC与△DEF中∴ △ABC≌△DEF （SSS）例1：如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,AB＝CD.
求证: △ABC≌△CDA．
CB＝AD （已知）
AB＝CD （已知）
AC＝CA （公共边）∵证明：在△ABC和△CDA中，∴ △ABC≌△CDA（S．S．S．）． ADCB 已知:如图，AB = DC , AD = BC。
求证: ∠A = ∠C提示：连结BC后，证△ABD≌△CDB，再根据全等三角形对应角相等推出∠A = ∠C。变式1：如图，四边形ABCD中，AB=CD,
BC=AD.
求证：AB∥CDABCD变式2：例2.已知:如图.点B、 E、 C、 F在同一条直线上, AB = DE , AC = DF, BE = CF
求证: ∠A = ∠D练习 已知:如图.AB = DC , AC = DB，
OA = OD
求证:∠A = ∠D
一定
（S.A.S）不一定一定
(A.S.A)一定
(A.A.S)不一定一定
(S.S.S)
归纳:两个三角形全等的判定方法判定三角形全等至少有一组边练习：
根据条件分别判定下面的三角形是否全等．
（1） 线段AD与BC相交于点O，AO＝DO， BO＝CO. △ABO与△BCO；
（2） AC＝AD， BC＝BD. △ABC与△ABD；
（3） ∠A＝∠C， ∠B＝∠D. △ABO与△CDO；
（4）线段AD与BC相交于点E，AE＝BE， CE＝DE， AC＝BD. △ABC与△BAD？全等（SAS）全等（SSS）不能判定全等。全等（SSS等）1.已知:如图.AB = DC , AC = DB
求证: ∠A = ∠D课堂练习：
2、已知:如图.AB = AD ,BC = DC
求证:∠B= ∠D证明：连结AC在△ABC与△ADC中∴ △ABC≌△ADC （SSS）∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）（公共边）3、已知：如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，
AD是连结A与BC中点D的支架.
求证：AD⊥BC证明:在△ABD与△ACD中∴ △ABD≌ △ACD (SSS)∴AD⊥BC (垂直定义)∴∠1 = ∠BDC=900 (平角定义)（公共边）∴∠1 = ∠2 (全等三角形的对应角相等)这节课你有什么收获？请说出目前判定三角形全等的4种方法：SAS，ASA，AAS，SSS
