1.1集合的概念（教学设计）高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念（教学设计）高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第一章集合与常用逻辑用语
【教材分析】
集合的概念是人教版数学教科书必修第一册第一章第一节内容，集合是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后续学习会不断地运用有关知识。因此本节课在整个高中数学课程中起着基础铺垫作用。
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确了集合是初高中数学知识的过渡，是高中数学学习的预备知识。应当借助实例了解集合的含义，理解集合与元素之间的关系，用适当的方式表示集合。这充分说明了集合在高中数学课程中的基础作用。
集合的学习即是初中数学的延申，也是高中数学的过渡，更是初高中数学学习方法、学习心理的铺垫准备。
【学情分析】
集合是高中生进入高中后遇到的第一个数学概念。集合的概念又十分抽象，单单对于概念进行学习往往难以把握，这需要结合一定的实例，既包括生活实例、也包括数学实例，来帮助学生理解抽象的集合的含义。
因此学生步入高中前拥有的所有生活经验、数学经验是学习本节课程的基础。
此外高中数学学习会遇到大量新的数学符号、新的数学表达，包括在学习方式上也会与以往的学习有所不同，本节课应初步引导学生体会数学符号的简洁性。
【教学目标】
1.通过实例，了解集合的含义，理解集合与元素之间的关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中，掌握集合中元素的三个特性.
【教学重难点】
集合的概念；集合的两种表示方法
数学符号语言的恰当使用
【新课导入】
我们在以前的学习中已经接触过一些集合，如自然数的集合、方程的解的集合等，为了深入有效的使用集合语言，我们来进一步学习了解一下集合的相关知识，本节课就从集合的概念开始.
【新课讲解】
（一）集合的表示方法
集合的表示方法
1.列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
[提示]可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}
思考2：方程（x+1）（x+2）=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？
[提示]{-1，-2}.
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：（1）大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；
（2）元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。
思考3：a与{a}有什么区别？
[答案]a是一个元素，{a}是集合。
例1用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1，0}.
注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，
例1（1）可以表示为A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}；
②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。
2.描述法
思考：能否用列举法表示不等式x-3<7 的解集？该集合中的元素有什么性质？
[解析]不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：
（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数.
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作：{x|x<10，x∈R}思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？
{x∈Z|x=2k+1，k∈Z}，
{x∈Z|x=2k-1，k∈Z}；
{x∈Z|x=2k，k∈Z}
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：
注意：在不致混淆的情况下，描述法也可以简写成列举法的形式，只是去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}。
例2试分别用列举法和描述法表示下列集合.
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解：（1）设方程x2-2=0的实数根为x，并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为.
方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为.
（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为
B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
[答案]自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
【板书】
1.1 集合的概念
1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写字母a，b，c表示.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写字母A，B，C，表示.
3.集合中元素的三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.
4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.
5.集合的表示方法：（1）列举法；（2）描述法.
【课后反思】
（1）什么是集合？集合元素有哪些特性？两个集合相等应满足什么条件？
（2）元素与集合之间存在什么关系？如何用符号表示？
（3）常用的数集有哪些？分别用什么字母表示？
（4）集合的表示方法有哪些？各自的优点及适用对象是什么？使用时应该注意哪些问题？