1.1第1课时集合的含义
一、选择题
1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )
A．接近于1的所有正整数
B．小于0的实数
C．(2 025，1)与(1，2 025)
D．未来世界的高科技产品
2．已知集合M由小于5的数构成，则有( )
A．3∈M B．－3 M
C．0 M D．7∈M
3．“deepseek”中的字母可构成一个集合，该集合中的元素个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
4．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为( )
A．0 B．－1
C．2 D．4
6．由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．－1 D．2
7．由实数x，－x，，－所组成的集合，最多含元素( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题
8．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b______A，ab________A．(填“∈”或“ ”)
9．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有根组成的集合中共有________个元素．
10．若集合A中含有两个元素x，x2－2x，则元素x应满足的条件为________．
11．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2
12．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．
三、解答题
13．已知集合A含有两个元素a－3，2a－1，a∈R．
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
14．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，求的可能取值所组成的集合中所有元素的和．
15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A中不可能只有一个元素．
参考答案
1．BC [A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 025，1)与(1，2 025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合．]
2．A [∵3<5，∴3是集合M中的元素，故3∈M．故选A．]
3．A [因为deepseek中字母有d，e，p，s，k，有5个元素．故选A．]
4．D [根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．]
5．B [由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得
解得(不满足集合元素的互异性，舍去)．
所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋0＝－1．]
6．C [由题意知，a2≠4且2－a≠4且a2≠2－a，
解得a≠±2且a≠1，结合选项知C正确．故选C．]
7．A [在x，－x，|x|，，－中，＝|x|，－＝－x．
又|x|要么等于x，要么等于－x，故集合中最多含2个元素．]
8． ∈ [∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A．]
9．2 [由x2－1＝0，得x＝±1，由x＋1＝0，得x＝－1，
所以两个方程的根组成的集合共有2个元素．]
10．x≠0且x≠3 [由集合中元素的互异性可得x2－2x≠x，解得x≠0且x≠3．]
11．6 3，4，5 [因为x∈N，212．0，1，2，5 [因为x∈N，且∈Z，
则x＋1＝1，2，3，6，即x＝0，1，2，5，
所以集合M中的元素是0，1，2，5．]
13．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1．
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1．
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1．
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．
综上，实数a的值为1．
14．解：当a，b同正时，＝1＋1＝2．
当a，b同负时，＝－1－1＝－2．
当a，b异号时，＝0．
∴的可能取值所组成的集合中元素共有3个，且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0．
15．证明：(1)由题意知，若a∈A，则∈A．
又因为2∈A，所以＝－1∈A．
因为－1∈A，所以∈A．
因为∈A，所以＝2∈A．
所以A中另外两个元素为－1，．
(2)若A中只有一个元素，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数根．
所以a≠，
即集合A中不可能只有一个元素．
[点评] 理解集合A中元素的特性：a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0)，应用其反复代入求解即可．
1 / 51.1第2课时 集合的表示
一、选择题
1．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
2．集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝－1，x＝5}
B．{x|x＝－1或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0}
D．{－1，5}
3．能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为( )
A．{x|x＝8k，k∈N}
B．{x|x＝8k＋8，k∈N}
C．{1，2，4}
D．{1，2，4，8}
4．下列集合表示同一集合的是( )
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
5．(多选)方程组的解集可表示为( )
A．
B．
C．(2，1)
D．{(2，1)}
6．(2025·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x Q}，则M＝( )
A．{1} B．{2}
C．{1，2} D．{1，2，3}
7．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
二、填空题
8．若集合A＝{x|ax－4＞0}，且－3 A，2∈A，则a的取值范围为________．
9．若集合{x|x2＋ax＝0}与集合{0，1}相等，则实数a的值为________．
10．已知集合A＝{2，4，6，8，10}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则集合B中所含的元素个数为________．
11．已知A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则由a的值构成的集合是( )
A．－ B．
C．{－1} D．
12．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．
三、解答题
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解集．
14．设集合B＝．
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B．
15．设集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S．
(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由．
答案解析
1．C [因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)，所以用描述法表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．故选C．]
2．D [根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1，5}．]
3．B [能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此排除C，D；利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合，由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故排除A；选项B符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确，故选B．]
4．B [选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．]
5．ABD [由故结合选项可知ABD均正确．]
6．A [∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x Q}，
∴M＝{1}．故选A．]
7．C [集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1．所以实数k的值为0或1．]
[点评] 对于最高次项系数含参数的方程求解时应注意其系数是否为0．
8．{a|a>2} [因为－3 A，2∈A，所以
解得a>2，所以a的取值范围为{a|a>2}．]
9．－1 [由题意，x2＋ax＝0的根为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a，所以a＝－1．]
10．10 [因为A＝{2，4，6，8，10}，
B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，
可得满足集合B的元素为
(2，4)，(2，6)，(2，8)，(4，2)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(8，2)，(2，2)，(4，4)，共10个． ]
11．D [∵－3∈A，A＝{a－2，2a2＋5a，12}，
∴
解得a＝－．
故由a的值构成的集合是．]
[易错提醒] 解答完此类问题后，务必验证集合中元素的互异性．
12．不是 (答案不唯一) [由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A，若集合中有三个元素，故必有a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．]
13．解：(1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1，2，3，4，5，6}．
(5)解集用描述法表示为
解集用列举法表示为{(2，－1)}．
14．解：(1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时， N，
所以1∈B，2 B．
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}．
15．解：(1)若集合S中只有一个元素，则只需满足x＝10－x，故x＝5，则S＝{5}；
若集合S中有两个元素，则S＝{1，9}符合条件；(答案不唯一)
若集合S中有三个元素，则S＝{1，5，9}符合条件．(答案不唯一)
(2)由于S中的元素是成对的，6个元素只要确定3个，另外的3个自然就确定了，
因为5＋5＝10，5＝5，所以三个不同的元素应在1，2，3，4中选出(也可以在6，7，8，9中选出)，
选法有1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4，四种，
所以一共有四个：S＝{1，2，3，7，8，9}或S＝{1，2，4，6，8，9}或S＝{1，3，4，6，7，9}或S＝{2，3，4，6，7，8}．
[点评] 求解此题的关键是理解两条性质，其中若x∈S，则10－x∈S是解题的切入点．
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