2026年中考《数学》复习课件 专题三 函数--第14讲 二次函数的图象和性质(共67张PPT)

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复习讲义
第一篇 考点精讲
专题三 函数
第14讲 二次函数的图象和性质
聚焦核心
1.二次函数的定义
一般地，形如，，是常数，且的函数，
叫作二次函数.其中是自变量，，，分别为函数解析式的二次项系
数、一次项系数和常数项．特别地，当，，时，
是二次函数的特殊形式.
2.二次函数 的图象与性质
图象 ___________________________ ___________________________
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点 坐标
增减性
减小
增大
增大
续表
减小
最值
大
续表
小
3.二次函数 的图象与其系数的关系
系数 图象特点
开口向____
开口向____
开口越____
开口越____
对称轴是___轴
上
下
小
大
左
右
系数 图象特点
经过____点
正
原
负
两
一
没有
续表
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：，，是常数，且 ，函数图象
与 轴的交点坐标是______.
（2）顶点式：，，是常数，且 ，函数图
象的顶点坐标是______.
（3）交点式：，，是常数，且 ，函
数图象与 轴的两个交点的坐标是_______，_______．
说明：通过配方可以把一般式 化为顶点式
，其中_____， ．
第14讲 二次函数的图象和性质
案例分析
考点一 二次函数的图象和性质
名师指导
二次函数的很多性质（对称轴、顶点坐标、最值、增减性等）都可
以从函数解析式的顶点式中反映出来，所以研究二次函数的性质时，通
常将解析式化为顶点式，即的形式.
例1 关于二次函数 ，下列说法正确的是( ).
A.该函数图象与轴交于点
B.该函数图象的对称轴为直线
C.该函数图象的顶点坐标为
D.该函数的最大值是3
提示：在中，当时， ，所以该函数图象与
轴交于点 ，故说法A错误.因为
，所以该函数图象的对称轴为直线
,顶点坐标为，故说法B,C错误.因为 ，所以函数
图象开口向下.所以当 时，函数有最大值，最大值为3.故说法D正确.
D
思路点拨 将代入函数解析式，就可以求出函数图象与 轴的交点
坐标.将二次函数的一般式化为顶点式，就可以判断函数图象的对称轴、
顶点坐标和最值.
考点专练
1.（2023·四川甘孜·中考）下列关于二次函数 的说法正
确的是( ).
D
A.图象是一条开口向下的抛物线 B.图象与 轴没有交点
C.当时，随的增大而增大 D.图象的顶点坐标是
2.（2024·广东·中考）若点，，都在二次函数
的图象上，则( ).
A
A. B. C. D.
3.（2025·四川乐山·中考改编）已知二次函数 ，
当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值. 的取值
范围是( ).
A. B. C. D.
提示：因为当时，函数取得最小值，所以在 的范围
内，可取到1，所以.因为二次函数 的对称轴为直线
，所以时的函数值与 时的函数值相等，又因为当
时，函数取得最大值，所以，综上所述， 的取值范围是
.
C
考点二 二次函数的图象与其系数的关系
名师指导
利用二次函数的图象判断关于，，的式子与0
的大小关系的方法：
式子 方法
图1
例2 已知抛物线 的图象如图1所
示，则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.
D.（ 为任意实数）
图1
提示：因为抛物线开口向下，抛物线与 轴交于正半轴，
所以，.由此可得.因为抛物线与
轴的交点是和 ，所以抛物线的对称轴为直线
，即.从而得 ，所以
， .因为抛物线的对称轴为直线
【答案】D
，且开口向下，所以当时，函数值最大，为 .所
以，即 .
图1
思路点拨 先观察图象，分析，， 的符号.由抛物线
开口向下，得；由抛物线交 轴于正半轴，得
；根据抛物线与 轴的两个交点坐标可确定对称轴，
从而可得关于， 的等式.由此可判断选项A，B，C中
的结论是否正确.对于选项D，比较和 的
大小相当于比较时的函数值和 时的函数值的大小.
考点专练
图2
4.（2023·湖南株洲·中考）如图2，直线 为二次函数
的图象的对称轴，则下列说法
正确的是( ).
C
A.恒大于0 B.， 同号
C.， 异号 D.以上说法都不对
图3
5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考）如图3，二次函数
的图象与轴交于 ，
，其中 .结合图象给出下列结论：
；；③当时，随 的增大
而减小；④关于 的一元二次方程
A.2 B.3 C.4 D.5
的另一个根是；的取值范围为 .
其中正确结论的个数是( ).
图3
提示：由函数图象可知，， .又
，所以.所以 .故结论①错误，
结论③正确.由 是函数图象与坐标轴的交点
可知，.则 ，故结论②正
确.由题意知，是方程的两个根，所以 ，
即.由此可得，关于的一元二次方程
的另一个根是.故结论④正确.因为 ，所以
.所以.因为 ，
所以
解得 .故结论⑤正确.
【答案】C
图3
考点三 二次函数图象的平移规律
名师指导
1.二次函数图象的平移规律：左、右平移是横坐标的变化，左移加
右移减；上、下平移是纵坐标的变化，上移加下移减.平移不改变开口
大小和开口方向.
2.二次函数图象的平移问题，关键要抓住顶点位置的变化，只要确
定平移后顶点的坐标，就可以写出平移后抛物线对应的函数解析式.
例3 （2025·镇江·中考模拟）小嘉提出将二次函数 的图象平移或
翻折后经过点 有4种方法：①向右平移2个单位长度;②向右平移1个
单位长度，再向下平移1个单位长度;③向下平移4个单位长度;④沿 轴翻
折，再向上平移4个单位长度.你认为小嘉提出的方法中正确的有( ).
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
提示：向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
.当时，，所以此时图象经过点 .故方法①符
合题意.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对
应的函数解析式为.当时， ，所以此时图象
经过点 .故方法②符合题意.向下平移4个单位长度，所得图象对应的
函数解析式为.当时，，所以此时图象经过点 .
故方法③符合题意.沿轴翻折，所得图象对应的函数解析式为 ，
再向上平移4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 .当
时，，所以此时图象经过点 .故方法④符合题意.
【答案】D
思路点拨 只要根据二次函数图象的平移规律和翻折规律，求出平移或
翻折后图象对应的函数解析式，就可判断点 是否在平移或翻折后的
函数图象上.
考点专练
6.（2025·四川泸州·中考模拟）抛物线 经平移后，不可能
得到的抛物线是( ).
D
A. B.
C. D.
7.（2024·内蒙古包头·中考）将抛物线 向下平移2个单位长度
后，所得新抛物线对应的函数解析式为( ).
D
A. B.
C. D.
8.将抛物线沿 轴翻折，再向右平移3个单位长度后，
所得抛物线的函数解析式是_________________.
考点四 确定二次函数的解析式
名师指导
利用待定系数法确定二次函数的解析式时，可根据给定的条件，选
择恰当的方法设出函数解析式，再代入数值求解.一般地，当已知抛物
线上的三点坐标时，常设为一般式；当已知抛物线的
顶点坐标、对称轴或最大（小）值时，常设为顶点式；
当已知抛物线与轴的两个交点坐标时，常设为交点式
，其中,分别是两个交点的横坐标.
例4 下表中与 的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数解析
式为_______________．
… 0 1 3 …
… 0 3 4 0 …
提示：由表中数据知，当值取，3时， 值均为0，
因此与满足我们学过的二次函数关系.（方法一，设一般式）设 关于
的函数解析式为，将表中，的3组对应值 ，
，代入，得解得所以关于 的函数解
析式为.（方法二，设交点式）因为， 是二
次函数图象与 轴的两个交点，所以可设函数解析式为
… 0 1 3 …
… 0 3 4 0 …
.将代入，得.解得 .
所以关于的函数解析式为，即 .
（方法三，设顶点式）因为二次函数图象与轴的两个交点为 ，
，所以函数图象的对称轴为直线 .又根据表中数据，可
知函数图象的顶点为，故可设函数解析式为 .将
代入，得.解得.所以关于 的函数解析式
为，即 .
【答案】
思路点拨 由表中数据知，当值取，3时， 值均为0，即函数图象与
轴有两个交点.因此与 满足我们学过的二次函数关系，用待定系数法
可求出其函数解析式.设二次函数的解析式时，有一般式、交点式、顶
点式三种方法.
考点专练
9.（2024·浙江·中考节选）已知二次函数（， 为常数）
的图象经过点，对称轴为直线 .
（1）求这个二次函数的解析式.
解：由二次函数的对称轴为直线，得 .
解得.
将代入，得.
解得 .
故这个二次函数的解析式为 .
（2）当时，二次函数 的最大值与最小值的
差为，求 的取值范围.
解：当 时，二次函数 的最大值为5，最小值为.
由此可得，.
解得 ，不符合题意，舍去.
当时，二次函数 的最大值为5，最小值为，且，符合题意.
当 时，二次函数的最大值为，最小值为 .
.
解得， ，不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围为 .
考点五 二次函数与方程、不等式的关系
名师指导
1.二次函数与一元二次方程的关
系：
（1）从“形”的方面看，二次函数的图象与直线
交点的横坐标，就是一元二次方程的解；
（2）从“数”的方面看，当二次函数的函数值
时，相应自变量的值就是一元二次方程的解.
2.二次函数与关于 的不等式 的关系
（1）关于的不等式 的解集，就是二次函数的图象位于直线 上方部分的点的横坐标的取值范围；
（2）关于的不等式 的解集，就是二次函数的图象位于直线 下方部分的点的横坐标的取值范围.
图4
例5 （2025·新疆·中考模拟）如图4，在平面直角坐标系中，
直线与抛物线 相交于点
，.结合图象，判断下列结论：①当 时，
；是方程 的一个解；
③若，是抛物线上的两点，则 ；④
对于抛物线，当时，
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
的取值范围是 .其中正确结论的个数是 ( ).
图4
提示：由图象可知，当时，直线
在抛物线的上方，所以 .故①正
确.由图象可知，抛物线与 轴的一个交
点为，所以是方程 的一个解.
故②正确.将点，代入 ，可解
得，.所以抛物线对应的函数解析式为 .当
时，，当时，，所以 .故③正确.由③可
知点与点 关于抛物线的对称轴对称，从而得抛物线的对称轴
为直线.将代入抛物线解析式得 .当
时，由图象可知，在 处取得最大值，
在处取得最小值，所以 .故④错误.
【答案】B
图4
考点专练
10.二次函数的图象如图5，那么关于 的方程
的根的情况是( ).
A
图5
A.有两个相等的实数根 B.有两个异号的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
11.图6是二次函数的部分图象，其对称轴为直线 .
若其与轴的一个交点为，则由图象可知，关于 的方程
的解是________________，关于 的不等式
的解集是_______________.
，
或
图6
第14讲 二次函数的图象和性质
靶向锤炼
靶向练
1.（2025·广西柳州·模拟）下列有关二次函数 的图象说
法不正确的是( ).
C
A.开口向上 B.对称轴是直线
C.顶点坐标是 D.当时，随 增大而减小
2.（2023·广西·中考）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上
平移4个单位长度，得到的抛物线的函数解析式是( ).
A
A. B.
C. D.
3.（2025·广西河池·模拟）二次函数 的最大值是
( ).
A
A.7 B. C.2 D.
4.（2024·四川凉山·中考）抛物线经过 ，
，，三点，则，， 的大小关系正确的是( ).
D
A. B. C. D.
5.（2024·内蒙古呼和浩特·中考）在同一平面直角坐标系中，函数
和 的图象大致如图1所示，则函数
的图象大致为( ).
D
图1
A. B. C. D.
6.（2025·黑龙江哈尔滨·中考改编）抛物线与 轴的交
点坐标是______，与 轴的交点坐标是______________.
或
图2
7.（2023·浙江宁波·中考）如图2，已知二次函数
的图象经过点和点 .
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标.
解：因为二次函数 的图象经过点
和点，所以 解得
所以该二次函数的解析式为 .
因为，所以图象的顶点坐标为 .
（2）当时，请根据图象直接写出 的取值范围.
图2
提示：如图9，点关于对称轴直线的对称点 的坐标为，所以当时，的取值范围是 .
图9
【答案】
攻坚练
8.（2025·湖南株洲·中考改编）已知二次函数 ，其中
， ，则该函数的图象可能为( ).
C
A. B. C. D.
9.（2024·四川泸州·中考）已知二次函数
的图象只经过第一、二、四象限，
则实数 的取值范围为( ).
A
A. B. C. D.
提示：由图象只经过第一、二、四象限，得抛物线的开口向上，对称轴
在轴右侧，，抛物线与轴有两个交点.所以 ，
，，.解得 .
图3
10.（2024·四川广元·中考）如图3，已知抛物线
过点，与 轴交点的横坐标分
别为，，且， ，给出下列结
论：，②关于 的方程
有两个不相等的实数根，
，， .其中正确的
结论有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图3
提示：由图象可知，当时， ，
抛物线与直线 有两个交点，故结论①错误，结论
②正确.由， ，得抛物线的对称
轴，又，所以 .故结
论③错误.抛物线过点，得 .由图象可知，
当时，，即，当 时，
，所以.所以 .故结论④正确.由
，，得，则 .由根与系
数的关系，得.所以 .故结论⑤正确.
【答案】C
图3
图4
11.（2025·湖南娄底·中考改编）如图4，抛物线
与轴相交于点和点 ，
与轴相交于点，点在抛物线上.当 轴
时， ___.
4
提示：因为抛物线与 轴相交于
点和点 ，所以抛物线的对称轴为直线
.因为当时，，即.又轴，所以点 与
点关于对称轴直线对称.所以.所以 .
图5
12.如图5，二次函数（ 为常数）的
图象的对称轴为直线 .
（1）求 的值.
解：在中，令 ，得.
解得， .
所以二次函数的图象与轴的交点为
和 .
因为该二次函数的图象的对称轴为直线 ，所以
.解得 .
图5
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求
平移后的图象所对应的二次函数解析式.
解：由（1）知 ，所以二次函数解析式为
，即 .
.
故将该图象向下平移3个单位长度时，所得图象经过原点.
所以平移后图象所对应的二次函数解析式为 .
拔尖练
13.定义：，例如,,， .
若函数， ，则该函数的最大值为( ).
A.0 B.2 C.3 D.4
图10
提示：根据题意，画出函数 和
的图象，如图10所示.解方
程，得或 .
所以 观
察图象知，当时， 取得最大值，此时
，所以该函数的最大值为3.
【答案】C
图6
14.（2024·江苏镇江·中考）如图6，在平面直角坐
标系中， 为坐标原点，二次函数
的图象与轴交于， 两点
（点在点的左侧），顶点为 .
（1）求，， 三点的坐标.
解：因为二次函数 的图象的顶 点为，所以.
令，解得， .
所以， .
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图6
（2）一个二次函数的图象经过，， 三点，
其中，该函数图象与轴交于另一点，点 在
线段上（点不与点， 重合）.
①若点的坐标为，则 ___.
提示：由题意知，该二次函数图象经过点 ，
.所以该二次函数图象的对称轴为直线 .
因为点，的纵坐标相同，即轴，则点， 关于对
称直线轴对称，所以. 解得 .
②求 的取值范围.
解：设经过点，， 的二次函数的解析式为
，由， 关于对称轴对称，得对称轴为直线 .
所以该二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，.
因为， 两点关于对称轴直线对称，点 的坐标为，所以.
图6
由点 在线段上，且与点，不重合，得 解得
.
又 ，所以，即.
所以且 .
图6
③求 的最大值.
解：由题意，得， ，所以 .
且，所以当时， 有最大值，最大值为4.
图6