2026年中考《数学》复习课件 专题三 函数--第16讲 与二次函数有关的综合题(共73张PPT)

(共73张PPT)
复习讲义
第一篇 考点精讲
专题三 函数
第16讲 与二次函数有关的综合题
聚焦核心
1.最值问题：以二次函数为背景，求某个量的最值，一般可以转化为求
二次函数的最值.将二次函数化为顶点式 ，结合实际问
题，确定自变量的取值范围，若可取的值，则当时， ___为
函数的最____值；当， ___为函数的最____值.
小
大
2.表示点坐标：（1）函数图象上的点满足函数解析式，两函数图象的
交点同时满足这两个函数解析式；（2）垂直于轴（平行于 轴）的直
线上的点的____坐标相等；（3）垂直于轴（平行于 轴）的直线上的
点的____坐标相等.
横
纵
3.表示线段长：（1）与 轴垂直的线段的长可用两端点的纵坐标相减
（上减下）表示；（2）与 轴垂直的线段长可用两端点的横坐标相减
（右减左）表示；（3）不与坐标轴垂直的线段的长，过线段端点分别
作轴、 轴的垂线构造直角三角形，运用勾股定理或结合相似三角形可
求得线段长.
第16讲 与二次函数有关的综合题
案例分析
考点一 二次函数的探究类问题
名师指导
二次函数探究类问题，通常会给出部分，的值，依此来探究这个
二次函数的性质，结合二次函数的图象，可以更加直观地归纳出关于二
次函数的性质和结论.此类问题有利于培养学生的推理能力.
例1 （2024·广西·中考）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 的二次
函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出，求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式.
解：将代入 ，得.
所以 .
②求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的 值.
解：，故当时， 有最小值，最小值为 .
【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在 取
何值时， 的最小值.记录结果，并整理成下表：
… 0 2 4 …
… * 2 0 …
… * …
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，
谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取 ，就能得到
的最小值.”
乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当 由小变大
时，的最小值先增大后减小，所以我猜想 的最小值中存在最大值.”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否
合理？
解：，关于 的二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，所以当时， 有最小值.
故甲同学的说法是合理的.
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，则请求出此最大值；若
不正确，则请说明理由.
解：乙同学的猜想是正确的.
由（2）可知，当时， 有最小值，.
由 ，得.
所以的最小值中存在最大值，最大值为 .
思路点拨（1）将 的值代入，得到二次函数的解析式，再将其化为顶点
式，即可得到的最值及对应的的值.（2）把 看作常数，将二次函数
的解析式化为顶点式，由此可探究甲同学的说法是否合理.（3）结合
（2）中结论，得到的最小值关于 的函数解析式，再由该解析式的特
点分析其性质.
考点专练
1.（2025·黑龙江大庆·模拟）某班数学兴趣小组对函数 的
图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与 的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 0 3 …
其中， ___.
0
（2）如图1，描出表格中的点，用光滑的曲线顺次连接 轴左边各点和
原点，观察函数图象，画出该函数图象的另一部分，并思考：当
________时，函数有最小值.
或1
图1
解：作图如图17.
图17
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与轴有___个交点，所以方程 有___个实数根；
②方程 有___个实数根；
3
提示：观察图象，可知函数的图象与直线 有2个交点.
③关于的方程有4个实数根时， 的取值范围是_________
_____.
图18
提示：观察图象，可知当时，直线
与函数 的图象有4个交点.
考点二 与二次函数有关的平移、对称、旋转变换问题
名师指导
二次函数背景下的平移、对称、旋转变换问题涉及的知识面较广，
综合性较强.常涉及一元二次方程、相似三角形、勾股定理等相关知识；
常运用的数学思想方法有数形结合思想、方程思想等.
图2
例2 如图2，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，
抛物线与轴交于点，与 轴正半轴
交于点，连接，将 向右上方平移，得到
，且点， 落在抛物线的对称轴上，点
落在抛物线上，则直线 对应的函数解析式为
( ).
A. B. C. D.
图2
提示：令，得.解得 ，
.令，得.所以， .因为抛
物线的对称轴为直线 ，所以
设，则，因为点 落在抛物线上，所
以.解得.所以， .
【答案】B
设直线对应的函数解析式为 ，将点
，代入，得解得 所以
直线对应的函数解析式为 .
图2
思路点拨 要求直线 对应的函数解析式，需要求
出点， 的坐标.根据二次函数的解析式可求出点
， 的坐标，再结合平移前后点的坐标变化规律和
点的位置特征得到点， 的坐标.
考点专练
2.将抛物线绕原点旋转 ，则旋转后的抛物线对应的函
数解析式为( ).
D
A. B. C. D.
提示：抛物线的顶点坐标为，将点绕原点 旋转
，得到点，因此旋转后的抛物线的顶点坐标为 .又因
为旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线对应的函数解析
式为 .
图3
3.（2025·广东汕头·模拟）如图3，在平面直角坐标系
中，二次函数的图象与轴， 轴分
别交于点，，，且是二次函数图象的顶点.若 是
轴上一个动点，则 的最小值为______.
提示：当时，.所以点 .因为
，所以点. 如图18，作点 关
于轴的对称点，连接，，，则.所以 .所以
.所以当，，三点共线时 的值最小，即
的值最小，最小值为 .
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4.如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，连接 .若二
次函数的图象向上平移 个单位长度时，与线
段有一个公共点，则 的取值范围为__________________.
图4
图4
提示：二次函数的图象向上平移 个
单位长度后对应的函数解析式为
.所以平移
后的抛物线的顶点坐标为 .①当顶点在线段
上时，，解得 .②当向上平移后的抛
物线经过点时，，解得 .③当向
上平移后的抛物线经过点时，，解得 .
所以当或时，二次函数图象与线段 有一个公共点.
或
考点三 二次函数与几何综合问题
名师指导
二次函数通常与线段、特殊三角形、特殊四边形等几何图形综合考
查.对于二次函数，可设函数图象上的点的坐标
为，根据几何图形在平面直角坐标系中的位置特征，
表示出几何图形相关的线段长，再结合几何图形的性质列出方程或构建
函数模型求解.
例3 如图5，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点 的坐
标为．点是抛物线上的一个动点，且在直线 的上方．
图5
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（1）求这个二次函数的解析式．
图5
解：将,代入,得 解得
所以二次函数的解析式为 .
（2）连接，，并把沿翻折，得到四边形 ，那么是
否存在点，使四边形为菱形？若存在，则请求出此时点 的坐标；
若不存在，则请说明理由．
图5
图15
解：存在点，使四边形 为菱形．
如图15，连接.
设点 的坐标为，交于点
四边形是菱形， ．
.
解得 ，（不合题意，舍去）
点 的坐标为 ．
（3）当点运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时点
的坐标和四边形 的最大面积．
图5
图16
解：如图16，过点作轴的平行线与 交于点，与交于点，连接，，设点 的横坐标为，则， .
由,,得,,直线 的函数解析式为, 点的坐标为
．
由 ，解得,
.
， 当时，四边形的面积最大，此时点 的坐标为，四边形的最大面积为 ．
图16
思路点拨（1）将点，的坐标代入，即可求得， 的值.
（2）先假设存在点，使得四边形为菱形.要求点 的坐标，可先设点的横坐标为，由点在抛物线上，可用含 的代数式表示出点 的纵坐标.观察图形可发现， 是菱形 ′ 的对角线，且 在 轴上，结合菱形的两条对角线互相垂直平分，可列出关于 的方程.
（3）观察图形可得S四边形ABPC=S ABC+S BPC,其中A，B,C是定点，则
ABC的面积是定值，可同（2）设出点P的坐标﹐用含m 的式子表示出
S BPC ,再根据式子的特点求出最值.
考点专练
图6
5.如图6，抛物线与轴交于，
两点（点在点的左侧），与轴交于点.直线
与抛物线交于，两点，与轴交于点，点 的
坐标为 .
（1）请直接写出，两点的坐标及直线 对应的
函数解析式.
解：，，直线对应的函数解析式为 .
（2）若是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作
轴，垂足为点与直线交于点，当是线段 的三等分点时，求
点 的坐标.
图6
解：根据题意，得， ，， ，则 ，， .
当是线段 的三等分点时，分两种情况讨论.
①当 时，，解得 ，（不合题意，舍去）.
当 时，.
所以点的坐标为 .②当 时，
.
解得，（不合题意，舍去）.
图6
当 时，.
所以点的坐标为 ，.
综上所述，当是线段的三等分点时，点的坐标为或， .
图6
图7
6.（2025·山东济宁·模拟）如图7，顶点坐标为
的抛物线与轴交于， 两点
（点在点的左侧），与轴交于点， 是直
线上方抛物线上的一个动点，连接 交抛物线
的对称轴于点 .
（1）求抛物线对应的函数解析式.
解：由抛物线的顶点坐标为，可设，将 代
入，得，解得 .
所以抛物线对应的函数解析式为，即 .
图7
（2）连接，当的周长最小时，求点 的坐
标.
解：当点为点 关于抛物线对称轴的对称点时，由交抛物线的对称轴于点，得 ，则 的周长= .
因此 的周长取得最小值.
因为抛物线的对称轴为直线，点，所以点的坐标为 .
（3）过点作轴于点，交直线于点，连接.在点 的运
动过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，则求点 的坐标；
若不存在，则请说明理由.
图7
解：存在.
令，则 .
解得，.
所以，.
设直线 对应的函数解析式为，将， 代入，得解得
图7
所以直线 对应的函数解析式为.设点，又 ，，所以，， .
当为等腰三角形时，分三种情况讨论.
①当 时，1，解得
， （不合题意，舍去）.
此时点的坐标为.
②当 时，，解得， （不合题意，舍去）.此时点的坐标为
当 时，，解得.此时点 的坐标为.
综上所述，点的坐标为 或或 .
图7
第16讲 与二次函数有关的综合题
靶向锤炼
靶向练
1.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 ，则与该
抛物线关于点 成中心对称的抛物线对应的函数解析式为( ).
A. B.
C. D.
提示： 因为 ，所以抛物线
的顶点坐标为.当时，，所以 .因为
原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，所以新抛物线的顶点坐标为
.因此新抛物线对应的函数解析式为 ，即
.
A
图1
2.如图1，点，的坐标分别为和 ，抛
物线的顶点在线段 上运动（抛物线随顶点一起平移），
与轴交于，两点（点在点的左侧），点 的横坐标
的最大值为3，则点 的横坐标的最小值为____.
提示：当顶点在点处时，点的横坐标最大，此时，
两点的水平距离为4.由抛物线的对称性可知，， 两点的水平距离也为
4，所以.当顶点在点处时，点的横坐标最小，所以点 的横坐
标的最小值为 .
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图2
3.（2025·广西柳州·模拟）如图2，在平面直角坐标系
中，二次函数的图象与轴交于，
两点，点的坐标为，与轴交于点 ，
点 为抛物线的顶点.
（1）求这个二次函数的解析式.
解：将，代入 ，得
解得
故这个二次函数的解析式为 .
图2
（2）求 的面积.
解：由（1）知， .
所以.
当时， ，解得，.所以.
所以 .
故 .
攻坚练
4.把二次函数的图象作关于 轴的对称变换，所
得图象的函数解析式为.若 ，
则 的最大值是( ).
A. B.0 C.2 D.6
提示：因为把二次函数的图象作关于 轴的对称变换，所得图象的函数解析式为 ，所以原二次函数图象的顶点坐标为 ，即原二次函数.所以， .由，得.又 ，所以，即.所以 的最大值是6.
【答案】D
图3
5.边长为1的正方形的顶点在 轴的正半轴上，
如图3，将正方形绕顶点顺时针旋转 得
到正方形，使点恰好落在函数
的图象上，则 的值为_ ____.
提示：连接，过点作轴于点 .由题意，得 .因为 ，所以 .因为 ，所以
.所以， .所以，.将，代入 中，得.解得 .
图4
6.（2023·四川巴中·中考）如图4，在平面直角坐标系中，
抛物线经过点和点 ，
其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线对应的函数解析式．
解： 抛物线的顶点的横坐标为1, 对称轴为直线 .
又 抛物线经过点， 抛物线与 轴的另一交点为
设抛物线的对应函数解析式为.
将 代入，解得
抛物线对应的函数解析式为 .
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点 ，当取何值时， 有最大值？并求出最大值．
图4
解 直线与轴交于点，与抛物线交于点 ,
,
点在第一象限， ,，
.
, 当时，有最大值，最大值为 .
图4
（3）若为抛物线 的对称轴上的
一个动点，将抛物线向左平移1个单位长度后， 为平移
后抛物线上的一个动点．在（2）的条件下求得的点 ，
是否能与点，， 构成平行四边形？若能构成，则请求
出点 的坐标；若不能构成，则请说明理由．
图12
解： ， 向左平移1个单位长度后的抛物线对应的函数解析式为.
如图12，由（2）知,已知 ，设,
设存在以，，， 为顶点的平行四边形．
①当以为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分，
.
解得
点 在抛物线上, .
点的坐标为
②当以为对角线时,同理可得， .
解得. . 点的坐标为
③当以 为对角线时,同理可得.
解得. .
点的坐标为.
综上所述，存在以，，， 为顶点的平行四边形，点的坐标为
或 或 .
图12
7.（2025·湖南衡阳·中考模拟）如图5，已知抛物线交 轴于
，两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，
得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点 ．
图5
图5
（1）写出图象位于线段 上方部分对应的函数解析式.
解：当时,, .
当 时,,解得,
∴ , .
设图象位于线段 上方部分对应的函数解析式为,将 代入，得
∴ 图象 位于线段上方部分对应的函数解析式为
.
图5
（2）当直线与图象 有三个交点时，请结
合图象，直接写出 的值.
提示：由图象得，直线与图象 有三个交
点时，存在两种情况:①当直线过点
时，与图象有三个交点，此时 ;②当直线
与图象位于线段 上方部分相切时，
【答案】 的值是2或3.
图13
与图象有三个交点，如图13,由 ，得 .由，得 .综上所述， 的值是2或3.
（3）为轴正半轴上的一个动点，过点作轴交直线于点 ，
交图象于点.是否存在这样的点，使与 相似？若存在，
则求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
图5
解：存在满足条件的点
, ， 是等腰直角三角形.
①如图14，当，且点在点 左侧时,，此时点与点关于对称轴直线对称， 点的横坐标为
.
图14
图15
②如图15，当，且点 在点右侧时，，此时点的纵坐标为2.由 ，
解得，（舍去）
点的横坐标为.
如图16，当 时， ，此时直线的函数解析式为，联立方程组 解得，（舍去）
点的横坐标为.
.
综上所述，点的坐标为或 或．
图16
8.（2023·湖南益阳·中考）在平面直角坐标系中，直线
与轴交于点，与抛物线交于， 两点（点在点 的左边）．
（1）求点 的坐标.
解：令，得， 点的坐标为 .
（2）如图6，若点关于轴的对称点为，当以，， 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数 的值.
图6
解：联立直线与抛物线 的函数解析式，得
或
，
点关于 轴的对称点为，
图6
，
.
若 ，则，即， （负值已舍去）.
若 ，则 ，即， （负值已舍去）.
若 ，则 ，即
，此方程无解．
综上可知，或 ．
图7
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均
为整数的点叫作格点，如， 等均为格
点．如图7，直线与抛物线 所围成的封闭图形即阴
影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求
的取值范围．
图17
解：如图17， 直线与抛物线交于点， ，点的横坐标为，点的横坐标为2， 直线 与抛物线 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上.
，，，
格点数恰好是26个， 落在轴和直线 上的格点数应
各为13个.
点的纵坐标应满足，即 .
①若，即，则线段上的格点应该为， ， ，， 点 的纵坐标应满足，即.
若，则，，则线段 上的格点
正好为13个.
综上所述，或 ．
图17
靶向练
图8
9.（2024·广东深圳·中考节选）在综合实践课上，数学探
究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“ ”形尺，并用
它对二次函数图象的相关性质进行研究.把“ ”形尺按图8
的方式摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为 ，测
得为时，为 .
（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与 的部分
数据如下表：
0 2 3 4 5 6 …
0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图9的平面直角坐标系内描出相应的点.
图8
【猜想】
图9
连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
猜想：与 的函数解析式是_________.
解：描点连线绘制函数图象如图18.
图18
提示：由题意，得，.将点 的坐标代入
函数，得 .
【验证】
（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的
与 也存在类似的函数解析式，并针对二次函数
的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种
方法（在“□”内画“√”）并补全其推理过程.（根据需要，选用字母 ，
，，， 表示答案）
□方法1 □方法2
，
，
图10
图11
□方法1 □方法2
图10
图11
续表