2026年中考数学复习课件 专题六 圆--微专题（十一） 判定切线的常见方法(共40张PPT)

(共40张PPT)
复习讲义
第一篇 考点精讲
专题六 圆
微专题（十一） 判定切线的常见方法
方法一 作半径，证垂直
方法解读 判定一条直线是圆的切线，当已知直线与圆有公共点时，常
通过“证垂直”进行判断.一般辅助线的作法是：连接圆心与公共点，证明
所作半径垂直于已知直线，即“连半径，证垂直，得切线”.
方法应用
图1
1.（2024·四川资阳·中考节选）如图1，已知是
的直径，是的弦，点在外，延长，
相交于点，过点作于点，交于点 ，
.求证：是 的切线.
证明：连接
，
，
， .
.
∵ ，
.
.
∴
是的半径，是 的切线.
图1
图2
2.（2024·山东东营·中考节选）如图2， 内接于
，是的直径，点在上，是 的中
点，，垂足为点，的延长线交 的延
长线于点.求证：是 的切线.
证明：连接，是的中点，.
，
.
又，
是的半径，是 的切线.
方法二 作垂直，证半径
方法解读 判定一条直线是圆的切线，当已知条件没有指出直线与圆有
公共点时，常通过“证半径”进行判断.一般辅助线的作法是：过圆心作已
知直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径长，即“作垂直，证半径，
得切线”.
方法应用
3.（2024·黑龙江绥化·中考节选）如图3，是正方 的对角线上一点，以点为圆心，的长为半径的与相切于点，与 相交于点.求证：与 相切.
图3
证明：如图43，连接，过点作于点
与 相切于点，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
为的半径，为的半径.
，与 相切.
图43
微专题练习（十一） 判定切线的常见方法
方法一 作半径，证垂直
1.如图1，在菱形中，点在对角线上，且， 是的外接圆.求证：是 的切线.
图1
图60
证明：如图60，连接,，交于点
， .
，即 .
，∴
.
四边形为菱形，是菱形的对角线，
，即 .
.
又是 的半径， 是 的切线.
2.如图2，是的直径，切于点，连接交于点， 是的中点，连接.求证：是 的切线.
图2
证明：如图61，连接，
，分别为， 的中点，
，
，
.
图61
图61
在和中， ，，，
是的切线， .
,即.
又是 的半径， 是 的切线.
方法二 作垂直，证半径
3.教材变式［人教版九上第98页例1变式］如图3，在 中， ，是的平分线，以点为圆心， 为半径作圆交于点.求证：直线是 的切线.
图3
证明：如图62，过点作于点
， .
又 是的平分线，
是的半径， 是 的半径.
直线是 的切线.
图62
4.如图4，在中，，，，以点 为圆心，4为半径作.求证：是 的切线．
图4
证明：如图63，过点作于点
， .
在中，
， .
又 的半径为4， 为的半径.
是 的切线．
图63
复习讲义
第一篇 考点精讲
专题六 圆
微专题（十二） 与切线性质有关的计算问题
类型一 切线与锐角三角函数的计算问题
方法解读 解决切线与锐角三角函数的计算问题，通常借助圆的切线垂
直于过切点的半径的性质得到直角三角形.在直角三角形中，利用直角
三角形的性质或锐角三角函数等相关知识求边或角.
方法应用
图1
1.如图1，在中，，为 的切线，切点
分别为点，，线段经过圆心且与 相交于
，两点.若，，则 的长为_____.
图44
提示：如图44，连接.因为,分别切 于点
，，所以，.设的半径为 ，
则．在中， ，
所以，即.所以 .由勾股定理，得
．因为 ，所以
.所以.解得 . 所以
， .所以
．在中， ，所以
.由勾股定理，得 ．
类型二 切线与勾股定理的计算问题
方法解读 解决切线与勾股定理的计算问题，通常利用切线的性质构造
直角三角形，然后利用勾股定理，建立线段之间的关系，从而为解决问
题提供突破口.
方法应用
图2
2.（2025·广西南宁·模拟）如图2，以点 为圆心的两个同
心圆中，大圆的弦是小圆的切线， 为切点，大圆、小
圆的半径分别为5和3，则 的长为___.
8
图45
提示：如图45，连接，.因为大圆的弦 是小圆的
切线，为切点，所以.所以.在
中，因为，，所以 .
所以 ．
类型三 坐标系中关于切线的计算问题
方法解读 遇到圆与坐标轴相切，求点的坐标的问题时，通常将点的坐
标转化为线段的长，然后利用垂径定理和勾股定理求解.
方法应用
图3
3.如图3，在平面直角坐标系中，与轴相切，与
轴相交于点，，则圆心 的坐标是( ).
A. B. C. D.
图46
提示：如图46，过点作于点C，作 轴
于点D，连接.由，，得 .因为
，所以.则 .因为
与轴相切于点D，所以 .在
中，由勾股定理，得 .
所以 .
【答案】D
类型四 切线与相似三角形的计算问题
方法解读 解决切线与相似三角形的计算问题，通常把所求的线段和已
知线段放到两个相似三角形中求解.常见模型如下：（点 为切点）
如图4， ；
如图5， ；
图4
图5
图6
图7
如图6， ；
如图7， .
图8
4.如图8，在中， ，，点 在
上，.以为半径的与相切于点 ，交
于点交于点，则 的长为( ).
A. B. C. D.1
图47
提示：如图47，连接，.因为与 相切于点
D，是的直径，所以， .因为
，即，所以， .所以
，，则， .
【答案】B
因为，，所以， ，
.因此，. 解得， .所以
.
微专题练习（十二） 与切线性质有关的计算问题
类型一 切线与锐角三角函数的计算问题
图1
1.如图1，为的直径，点在 的延长线上，
，与相切，切点分别为点，.若 ，
，则 的值是( ).
A. B. C. D.
图64
提示：如图64，连接，，，交于点 ，则
.因为，与 分别相切于点
C，D，所以，，平分 .所以
.从而得.所以 .因为
【答案】D
，所以.在 中，
，所以.因此 .
图2
2.如图2，已知是的直径，与相切于点 ，连
接，.若，则 _ __.
提示：因为与相切于点，所以 ，即
.在中， ，因此设
，则由勾股定理，得 .所以
.故
.
类型二 切线与勾股定理的计算问题
图3
3.（2025·重庆·中考模拟）如图3，是的切线，
为切点，连接，.若 ， ，
，则 的长是( ).
A.3 B. C. D.6
图65
提示：如图65，连接.因为是 的切线，所
以，即 .因为
，，所以 .
因为，所以 .
C
4.（2025·浙江宁波·中考改编）如图4，在中，，，点
在上.以为半径的圆与相切于点，是边上的动点.当
为直角三角形时， 的长为_____.
图4
图66
提示：如图66，连接.因为与相切于点 ，
所以.由题意知，点 的位置分如下两种情况.
①当 时，点与点重合.设 的半径
为，则，.在 中，由勾股
定理，得，即.解得 ，即
当 时， ，如图66，由
，得.因为， ，
，所以.综上所述，的长为或 .
或
类型三 坐标系中关于切线的计算问题
5.如图5，在平面直角坐标系中，以点为圆心、 长为直径的圆
与轴相切，与轴交于点，，则点 的坐标是___________.
图5
图67
提示：如图67，设以为直径的圆与轴相切于点 ，
连接，，相交于点，则 轴，
， 即.从而得 轴.所以
.因为，所以 ，
，.在 中，由勾股
定理，得 .所以
.所以 .
6.如图6，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、 轴都相
切，且经过矩形的顶点，与相交于点.若 的半径为5，点
的坐标是，则点 的坐标是______.
图6
图68
提示：如图68，设与轴、轴的切点分别为点， ，
连接，，，延长与相交于点，则
轴，轴，.又 ，所以四边形
是正方形.由此可得， ，
.由，得 .所以
.易证四边形和四边形 是矩形，则
，，， .所以
，.所以.在 中，
由勾股定理，得.所以 .
所以 .
类型四 切线与相似三角形的计算问题
图7
7.（2025·河北唐山·模拟）如图7，在 中，
，，，为斜边 上任一
点，作经过点，且与边相切于点的 .对于结论
Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ).
结论Ⅰ：若的圆心落在边上，则的半径为 ；
结论Ⅱ：当与直线有另一交点，与直线
交于另一点时，点，之间的最小距离为 .
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对
图69
提示：对于结论Ⅰ，如图69，的圆心落在边 上，
连接，设的半径为,则 ,
.在 中，
.由切线的性质，得 ,即
.又，所以 .
由此可得，，即.解得 .故结论Ⅰ正确.
图70
对于结论Ⅱ，由 ，得为 的直径.如
图70，连接，，，过点C作于点 .由
，得 .由
，得.当点D与点重合时，
【答案】AA
取得最小值，为.因此，的最小值为 .故结论Ⅱ正确.
8.如图8，是的直径，是的弦，于点，连接 ，
过点作交于点，过点的切线交的延长线于点 .若
，，则 的长为___.
图8
图8
提示：因为，所以.因为 ，
所以.又为 的中点，所以
.在中， .
因为是的切线，所以，即 .
因为，所以 .又因为 ，所
以.所以，即.解得 .