2026年中考数学复习课件 专题六 圆--第28讲 与圆有关的综合题(共81张PPT)

(共81张PPT)
复习讲义
第一篇 考点精讲
专题六 圆
第28讲 与圆有关的综合题
聚焦核心
1.圆中常用的辅助线
类型 作辅助线 图形 结论
已知弦 作圆心到弦的垂线 段，再连接过弦的端 点的半径，构造直角 三角形 ___________________________________ ，
，
连接圆心和弦的两个 端点，构造等腰三角 形 __________________________________ ，
类型 作辅助线 图形 结论
已知直 径 作直径所对的圆周 角，得到直角或构造 直角三角形 _________________________________________ 为 的直径，
已知 的 圆周角 连接两条弦不是公共 点的另一端点，得到 直径 _________________________________________ ，
为 的直径
续表
类型 作辅助线 图形 结论
已知一 般的圆 周角 连接半径，得圆心角 __________________________________ ，
连接圆周上的一点和 弧的端点，构造同弧 所对的圆周角 __________________________________________ ，
续表
类型 作辅助线 图形 结论
已知圆 上的4 点 连接相邻的点，构造 圆内接四边形 ____________________________________________ 四边形为
的内接四边形，
，
已知切 线 作过切点的半径，即 连接切点和圆心，得 垂直 __________________________________ 直线与 相切
于点 ，
续表
类型 作辅助线 图形 结论
证明某 条直线 是圆的 切线 若直线经过圆上的一 点，则连接这点和圆 心，得到半径，再证 明所作半径与这条直 线垂直 __________________________________ 连接半径 ，
证半径 ，
得直线是 的切
线
（作半径，证垂直）
续表
类型 作辅助线 图形 结论
证明某 条直线 是圆的 切线 若未确定直线与圆的 公共点，则过圆心作 直线的垂线段，再证 明垂线段的长等于半 径长 __________________________________ 作于点 ，
证等于 的半
径，
得直线是 的切
线
（作垂直，证半径）
续表
2.圆中常用的基本模型
基本 模型 模型展示
角平 分线 模型 已知：如图1，是的直径，于点 ，
于点，与相切于点 .
【常见结论与方法】
（1）平分
（2），
（3），
连接，过点作于点，四边形 是矩形
图1
直角 三角 形模 型 已知：如图2，是的直径，，与 相切于点，交于点，与的延长线交于点 .
【常见结论与方法】
（1）
（2）
（3）连接，， ，
， ____________________________
图2
续表
弦切 角模 型 （切 割线 模 型） 已知：如图3，与相切于点，直线与 交于点
， . 【常见结论与方法】
（1）
（2） ，
（3），且是与 的相似比
（4）若已知，，，，， 中任意两个量，则可求出其余量________________________________
图3
续表
切线 长模 型 已知：如图4，，与分别相切于， 两点，连接
，， .
【常见结论与方法】
（1）
（2）平分
（3）
（4） _______________________________
图4
续表
第28讲 与圆有关的综合题
案例分析
考点一 圆与全等三角形问题
名师指导 当关于圆的题目中图形较复杂（如含三角形、四边形等），
需要求线段长或证明线段、角相等时，通常可证相关的两个三角形全等，
由全等三角形的性质得到相等的边和角，为解题提供条件.解题时，要
注意切线长定理的应用.
例1 （2024·湖北·中考）如图5，在中， ，点 在上，以为直径的经过上的点，与交于点 ，且 .
图5
（1）求证：是 的切线.
思路点拨（1）已知直线与 的公共点，则考虑“作半径，证垂直”，即连接，证明，
即可得到 ，根据切线的判定定理即可证得结论.
图5
图52
证明：如图52，连接.
在和中，， ，，
.
是的半径，是 的切线.
图5
（2）已知，，求 的长.
解：设的半径为.
在中， ，，，， .
解得
思思路点拨 （2）要求的长，关键是求出⊙ 的半径和的度数.设的半径为，在 中，由勾股定理可求得，和的度数，进而求得 的度数.
..
.
由（1）知，.
的长= .
图5
考点专练
图6
1.（2025·内蒙古通辽·中考改编）如图6，在 中，
，为边上一点，以点 为圆心，
的长为半径作圆与相切于点，连接 .
（1）求证： .
证明：如图59，连接
为的切线，
.， .
， .
图59
图6
（2）当，时，求 的半径.
解：如图59，连接.
在 中，.
在和 中，，，
.
设的半径为，则， .
在R中，，解得
的半径长为3.
考点二 圆与相似三角形问题
名师指导 当要求线段的长、线段的比值，或要证明线段间的数量关系
时，通常可以利用圆的性质构造相似三角形解决.由于圆中很容易找到
直角或其他相等的角，因此对于圆中判定三角形相似的问题，通常用
“两角分别相等的两个三角形相似”来解决.运用相似三角形的对应边成比
例和圆的半径相等，可实现线段之间的等量代换，为解题提供条件.
图7
例2 （2024·陕西·中考）如图7，直线与 相切
于点，是的直径，点，在直线 上，且
位于点的两侧，连接，，分别与 交于
点，，连接，， .
（1）求证： .
思路点拨（1）由切线的性质及圆周角定理的推论，可得 ，再利用同角的余角相等即可证明 .
证明：直线与相切于点，.
.
是的直径，.
.
.
图7
（2）当的半径，，时，求 的长.
图7
思路点拨 （2）观察图形发现，分别在， 中，且这两个三角形有公共角，，， 可求，要求 的长，则考虑找到这两个三角形中的另一对角相等来证相似，然后由相似三角形的性质列式求 的长.
图7
又，
，即. .
解：，
直线 与相切于点，.
，，.
是 的直径，.
. ，.由（1）知，，∴ .
考点专练
图8
2.（2024·江苏无锡·中考）如图8，是 的直
径，内接于，，， 的延
长线相交于点，且 .
（1）求证： .
证明：，
，
.
又 .
（2）求 的度数.
图8
解：连接
为的直径，.
设 .
由（1）知，则
四边形是 的内接四边形，，即.
解得.
.
考点三 圆与锐角三角函数问题
名师指导 对于圆与锐角三角函数的问题，一般会综合相似三角形的性质
与判定、勾股定理、圆周角定理、切线的性质与判定等知识一起考查.当求
一个角的三角函数或已知一个角的三角函数值时，需要把这个角转化到直
角三角形中求解，故适当地添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.
图9
例3 （2025·江苏扬州·中考模拟）如图9，在 中， ，是上一点，且， 在上，以点为圆心的圆经过， 两点．
（1）试判断直线与 的位置关系，并说明理由.
思路点拨（1）观察图形，猜想直线与 相切.
连接，已知是的半径，要证直线是
的切线，只要证明即可.由 ，
可知 ，因此需要证明 .
图53
解：直线与 相切.
理由如下：如图53，连接
，，
，.
.
.
是的半径，直线与 相切.
图9
（2）当，的半径为3时，求 的长．
解：在中，， ，
.
在 中，，设，则
．
思路点拨 （2），在中，且在 中，故可根据正弦的定义和勾股定理列方程求解.
考点专练
3.（2024·湖南·中考）
【问题背景】 已知点是半径为的上的定点，连接 ，将线
段绕点按逆时针方向旋转得到，连接 ，过点
作的切线，在直线上取点，使得 为锐角.
【初步感知】
（1）如图10，当 时，____ .
30
图10
提示：由题意，得.又， 是等边三角形..直线是的切线，.∴ .
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接 ，对
角线，相交于点 .
①如图11，当时，求证：无论 在给定的范围内如何变化，
总成立.
图11
证明：，
，∴ .
直线是的切线， .
.
图11
四边形 是矩形，，
.
.
在和中，，，，∴
四边形是矩形，
， .
②如图12，当，时，请补全图形，并求 及 的值.
图12
解：补全图形如图60.过点作于点 ，过点作于点，连接，在 中，，， ,
.
，
此时点在线段上.
图60
图60
，，，.
，.
.
在中，，设 ，则
.
在中， .
四边形是矩形，
. .
考点四 圆中有关几何图形面积的问题
名师指导 可运用转化思想求圆中几何图形的面积.如果所求面积的图形
是规则图形，那么可直接应用相关面积公式计算；如果所求面积的图形
不是规则图形，就要转化为规则图形求解.在圆中求规则图形的面积，
除了扇形，也会涉及求三角形的面积，可以利用圆中的各种垂直关系直
接用面积公式求解，也可以利用相似三角形的性质求解.
例4 （2025·江苏南通·中考改编）如图13，等腰三角形 的顶角 ，与底边相切于点，并与两腰， 分别相交于点，，连接， ．
图13
（1）求证：四边形 是菱形.
思路点拨 （1）只要证明和 都是等边三角形，就可推出四边形 的四条边相等，从而证得结论.
证明：如图54，连接
与底边 相切于点，
，， .
又 ，，和都是等边三角形.
，
四边形 是菱形.
图54
（2）当 的半径为2时，求图中阴影部分的面积．
图13
图54
解：如图54，连接交于点
四边形 是菱形，， ，.
在中，， .
.
.
思路点拨 （2）根据图中阴影部分的面积扇形 的面积-菱形 的面积，进行计算即可．
考点专练
图14
4.（2024·四川内江·中考）如图14，是 的直径，
是的中点，过点作的垂线，垂足为点 .
（1）求证： .
证明：是的直径，.
， .
是的中点， .
.
（2）求证：是 的切线.
图14
证明：如图61，连接
，
，
，
是的半径，是 的切线.
图61
（3）已知， ，求阴影部分的面积.
图14
图61
解：如图61，连接，，与相交于点
是的直径，.
.
又 ，四边形是矩形.
∴
是的半径，是的中点， ，，即
，
.
.
∴ .
图61
考点五 与圆有关的综合实践题
名师指导 与圆有关的综合实践题，一般会涉及材料阅读或操作探究或
生活情境，在解这类题时，要仔细阅读题目，提取关键信息，或根据题
意动手操作，找到解题的关键点.这类题目一般阅读量较大、综合性较
强，需要运用多个知识点,在解此类题时，不要畏难，一个小问一个小
问地解决，通常小问之间会有所关联，可以类比迁移.
例5 （2024·江苏连云港·中考）
【问题情境】
（1）如图15，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方
形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心
旋转 （如图16），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积
的___倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略.
2
图15
图16
思路点拨（1）观察旋转后的图形，可发现大正方形面积-小正方形面积= 个直角三角形的面积，再结合勾股定理可得出两正方形的面积关系.
【操作实践】
（2）如图17，图①是一个对角线互相垂直的四边形，边，，， 之
间存在某种数量关系.小昕按图17所示步骤进行操作，并将最终图形抽
象成图18.请你结合整个变化过程，直接写出图18中以矩形内一点
为端点的四条线段之间的数量关系.
图17
图18
提示：如图55，设与交于点.因为 ，所以
，， ，
.所以 .结合图形变换，得
.
图55
解：
思路点拨 （2）图形变换前后，线段的长不变，类比第（1）题，结合勾股定理可得线段之间的数量关系.
【探究应用】
（3）如图19，在图17④的基础上，小昕将绕点 逆时针旋转，,他发现旋转过程中存在最大值.已知 ，，当最大时，求 的长.
图19
思路点拨 （3）由旋转可知，点在以点为圆心， 为半径的圆上运动.观察图形并想象当点沿运动时的大小变化，可知当与 相切时， 最大.再结合（2）的相关结论解题.
解：如图56，将绕点逆时针旋转，点在以点 为圆心，
为半径的圆上运动.
，为的一个定点.
当与 相切时，最大.
则此时
.
由（2）可知，
.
图56
（4）如图20，在中， ，点, 分别在边和上，连接,,.已知， ，求 的最小值.
图20
解：如图57，将沿对折，点的对应点为点，将 沿对折，点的对应点为点，连接，， .
图57
思路点拨 （4）可类比（2）中图形的变换，对图20进行一定变换，将 等量转换到同一直线上，则此时 的值最小.解题时，可运用前面小问的结论.
再将沿方向平移，使点与点重合，如图58，得 ，连接 .
结合图形变换，得.
当，， 三点共线时，的值最小，最小值为的长.
，， ，
.
∴的最小值为 .
图57
图58
考点专练
5.（2025·青海·中考模拟）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做
成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如
下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
【探究一】
（1）将车轮设计成等边三角形，转动过程如图21，设其中心到顶点的
距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨
迹是，，圆心角 .此时中心轨迹最
高点是（即的中点），转动一次前后中心的连线是 （水平线）.
请在图22中计算到的距离 .
图21
图22
解：如图62，连接
，为的中点， ，.
，是等边三角形.
∴
.
图62
【探究二】
（2）将车轮设计成正方形，转动过程如图23，设其中心到顶点的距离
是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是
，，圆心角 .此时中心轨迹最高点是
（即的中点），转动一次前后中心的连线是 （水平线）.请在图
24中计算到的距离 .（结果保留根号）
图23
图24
解：，为的中点，， ，.
.
∴ .
图23
图24
【探究三】
（3）将车轮设计成正六边形，转动过程如图25（见下页），设其中心
到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，
中心的轨迹是，圆心角的度数是____.此时中心轨迹最高点是
（即的中点），转动一次前后中心的连线是 （水平线），在图26
中计算到的距离 _______.（结果保留根号）
图25
图26
【归纳推理】
（4）比较，， 大小：_____________.按此规律推理，车轮设计
成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线
（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.
越小
【得出结论】
（5）将车轮设计成圆形，转动过程如图27，其中心（即圆心）的轨迹
与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）
的距离 ___.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.因此，将车轮设计成圆
形最适合行驶.
0
图27
第28讲 与圆有关的综合题
靶向锤炼
靶向练
图1
1.（2024·山东济宁·中考节选）如图1， 内接于
，是上一点，是 外一点，
，，连接.当 时，
求 的长.
解： ， ，即
.
在和中，， ，，
.
图2
2.教材变式［湘教版九下第68页例3变式］（2024·江苏
盐城·中考）如图2，点在以为直径的 上，过点
作的切线，过点作，垂足为点 ，连接
， .
（1）求证： .
证明：连接
是的切线，
，
是的直径， .
∴
.
（2）已知，，求 的半径.
图2
解： ，， ，
， ，即.
.
的半径为 .
攻坚练
图3
3.（2024·甘肃兰州·中考）如图3， 内接于
，为的直径，点为 上一点，
，延长至点，使 .
（1）求证：是 的切线.
图76
证明：如图76，连接，则
为的直径， .
.
在R和中，，，
，
，即 ，
是 的半径， 是 的切线.
图3
（2）已知，，求 的长.
解： ， .
由（1）知， .
由（1）知，又 ，
.
，
，即.
解得 （舍去）或.
.
4.（2025·山东烟台·中考模拟）如图4，在菱形中，对角线， 相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点 ，且 .
图4
（1）求证：是 的切线.
图77
证明：如图77，连接，则
， .
四边形是菱形，
.
∴ .又 是的半径， 是 的切线．
图4
（2）已知 的半径与菱形的边长之比为5∶8，求 的值．
解： ，， .
∴ .
设，则
∴
，
四边形是菱形， ， .
∴
∴ ．
5.（2024·宁夏·中考）如图5，是的外接圆，为直径，点 是的内心，连接并延长交于点，过点作 的切线交的延长线于点 .
图5
（1）求证： .
证明：如图78，连接，交于点
，
为 的内心，
图78
图78
为的直径， .
∴ .
为的切线且为 的半径， ，即 .
∴
.
图5
（2）连接，的半径为2， ，求阴影部分的面积.（结果用含 的式子表示）
图78
解：如图78，连接， ， .
.
又 ， .
∴ .
.
拔尖练
图6
6.（2024·山东潍坊·中考）
【问题提出】在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷
洒装置，定时喷水养护.某公司准备在一块边长为 的正
方形草坪（如图6）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装
成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方
案.［说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面.喷洒覆
盖率，为待喷洒区域面积， 为待喷洒区域中的实际喷洒面积］
【数学建模】这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
图6
【探索发现】
图7
（1）如图7，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为
的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______.
取
0.785
提示：当喷洒半径为 时，喷洒面积 ，正方形草坪的面积=.故喷洒覆盖率 .
（2）如图8，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；
如图9，设计安装9个喷洒半径均为 的自动喷洒装置……此类推，如
图10，设计安装个喷洒半径均为 的自动喷洒装置.与（1）中的方
案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒
覆盖率？请判断并给出理由.
图8
图9
图10
解：对于任意的,喷洒面积 ，而草坪面积始终为.
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为 .
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.
图8
图9
图10
（3）如图11所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，
且使得该草坪的喷洒覆盖率.已知 ，设
，的面积为，求关于的函数解析式，并求当
取得最小值时 的值.
图11
图11
解：连接，要使喷洒覆盖率，即 ，其中为草坪面积，为喷洒面积.
， ，，都经过正方形的中心点
，，
， 为的直径，即.
在 中，由勾股定得，得
.
当 时，取得最小值，此时，解得 （负值已舍去）.
【问题解决】
图6
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，
至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率
？（直接写出结果即可）
提示：由（3）可得，当的面积最小时， 为边长
为的正方形的外接圆.当 时，圆的内接正方形
解：至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 .
的边长为，而草坪的边长为, ，即将草
坪分为9个正方形，将半径为 的自动喷洒装置放置于
9个正方形的中心，此时所用装置个数最少.故至少安装9个
这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 .
图6