第一章 《三角形》章节测试卷（含答案）苏科版八年级数学上册

第一章 《三角形》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，2，2 D．1，5，7
2．小涵求 ABC的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ）
A．B．C． D．
3．如图，已知，， ABC和全等，则下列表示正确的是（ ）
A．B． C． D．
4．如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
6．如图，点是 ABC内一点，平分，于点，连接，若，，则 AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将 ABC绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图， ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与 ABC有一条公共边且全等（不含 ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．在 ABC中，，将 ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）
A．B．C． D．
10．如图，在 ABC中，点在上，点、在上，已知，，连接、交于点，且为中点，连接，若，则为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 ABC的三边长分别为，，10．则的取值范围 ．
12．如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ．
13．如图，在 ABC中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ．
14．如图，在 ABC中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
15．如图，是 ABC的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．∠ABC的角平分线交AC于点E，AD⊥BE交BE于点F，交BC于点D．O为BC的中点，连接OF，若DF＝a，EF＝b，则BF＝ ．（用含a，b的式子表示）
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本题8分）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出 ABC中边上的高；
(2)画出 ABC中边上的中线；
(3)直接写出的面积为______．
(4)，直接写出______．
18．（本题6分）已知：如图，在 ABC中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．
求 ADE的周长．
解：BM平分，
_______．
，
（_______）．
_______．
（_______）．
同理可得_______．
∴ ADE周长
_______．
19．（本题8分）如图，为 ABC的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若 ABC的面积为40，，则点到边的距离为多少？
20．（本题8分）如图，已知：，，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
21．（本题6分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）
22．（本题6分）如图， 在下列网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位， 小正方形的顶点称为网格的格点．
（1） 图1为8×6网格， 点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边， 点C在格点上，面积为9的等腰ACB， 此时∠ABC= ．
（2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得 ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3… )
23．（本题10分）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点M，于点N．
(1)请说明的理由；
(2)若，，，求的长．
24．（本题8分）有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看．
25．（本题12分）【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在 ABC中，，．是 ABC的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是 ABC的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
参考答案
一、选择题
1．C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系应用．根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
【详解】解：A、，1，2，3不能构成三角形，本选项不合题意；
B、，1，1，2不能构成三角形，本选项不合题意；
C、，1，2，2能构成三角形，本选项符合题意；
D、，1，5，7不能构成三角形，本选项不合题意．
故选：C．
2．D
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可．
【详解】解：由题意，作图正确的是：
故选D．
3．D
【知识点】全等三角形的概念
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题．
【详解】解：，
与相对应，
，
与相对应，
，
故选：D．
4．A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、等边对等角
【分析】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，得到，根据平角的定义可求，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
5．A
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：由题意得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故选：A．
6．C
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作于点E，
∵平分，，
∴，
∴ AOB的面积，
故选：C．
7．D
【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键．
由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．C
【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形．
分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量．
【详解】如图：
共7个点符合，
故选：C．
9．D
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等．
【详解】解：A、如图所示，∵，
∴，故A不符合题意；
B、如图所示，∵，
∴，故B不符合题意；
C、如图所示，∵，，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意；
故选：D．
10．B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积问题，由为中点得，设，，则，．由得，由得，可得，进而可求出的值．
【详解】解：如图，连接．
∵为中点，
∴，
∴，
设，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选B．
二、填空题
11．
【知识点】求一元一次不等式的解集、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，
解①得，
解②得，
解③得，
不等式组的解集为．
故答案为：．
12．5
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5．
13．4
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用HL证全等（HL）
【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
由是边上的高，推导出
，即可证明，则，于是得到问题的答案．
【详解】∵在 ABC中，是边上的高，是边上一点，
∴于点，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：4．
14．7
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分线段，
，
，
的最小值为4，
的周长的最小值为，
故答案为：7．
15．3
【知识点】根据等角对等边求边长、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
16．2a＋b
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】根据题意连接OA交BE于G．首先证明△ABF≌△CAD（ASA），推出AD=BG，再证明FG=EF，AF=DF即可得出答案.
【详解】解：连接OA交BE于G．
∵AB=AC，∠BAC=90°，OB=OC，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠ABO=∠OAC=∠C=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=22.5°，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=67.5°，
∴∠CAD=∠ABF=22.5°，
∵∠BAG=∠ACD，AB=AC，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴AD=BG，
∵∠FGA=∠FAE=22.5°，∠AFG=∠AFE=90°，
∴∠AGF=∠AEF=67.5°，
∴AG=AE，∵AF⊥EG，
∴FG=FE，
∵∠BAF=∠BDF=67.5°，
∴BD=BA，∵BF⊥AD，
∴AF=DF，
∴AD=2OF=2a，
∴BF=BG+FG=AD+EF=2a+b，
故答案为：2a+b．
三、解答题
17．（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求；
（3）解：；
（4）解：∵，，
∴．
18．解：平分，
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
．
（等角对等边）．
同理可得．
∴ ADE周长
．
19．（1）解：为 ABC的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为 ABC的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
21．（1）如图1所示：M点即为所求．

（2）如图2所示（答案不唯一）．

22．解：（1）如图1所示：
此时ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°，
故答案是：45°；
（2）如图所示：
23．（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
24．解：①如图，
，，
∴，都是等腰三角形．
②如图，
，，
∴，是等腰三角形．
25．（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4），，
，，，
，
∵∠AOB=∠COD=90°，
，
，
，
，，
，
．