2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：2.1.1等式的性质与方程的解集（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：2.1.1等式的性质与方程的解集（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-16 14:08:20 | ||
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文档简介
2.1.1等式的性质与方程的解集
一、选择题
1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是( )
A．2a＝3c B．4a＝9c
C．a＝2c D．a＝c
2．(多选)下列属于恒等式的有( )
A．＝|a|
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．4x＝2 024
D．(x－1)2＝0
3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是( )
A．4x B．－4x C．4x4 D．16x
4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为( )
A．－16 B．16 C．－8 D．8
5．已知x2－3x＋1＝0，则x3＋＝( )
A．－18 B．18
C．－9 D．9
6．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且N M，则实数m的值可以是( )
A．0 B．－3
C．－8 D．3
二、填空题
8．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．
9．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为________．
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B A，则实数a取值集合的真子集的个数为________．
11．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有________人，每个人分得________两银子．
12．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝12，则x＝________．
三、解答题
13．分解因式：
(1)8x3＋4x2－2x－1；
(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．
14．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．
15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2－2xy＋y2－25；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
答案解析
1．B [由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]
2．AB [A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．]
3．D [对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意；
对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意；
对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意；
对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．]
4．B [5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，
所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．]
5．B [因为x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋＝3．
原式＝
＝＝3(32－3)＝18．]
6．D [设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4．
故选D．]
7．ABC [M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}＝．
∵N M，
∴当m＝0时，N＝ ，符合题意；
当m≠0时，N＝．
当＝－或＝－时，
m＝－3或m＝－8．]
8．－6 [因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因为x＝－7，
所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]
9．5 [因为2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b，
即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋a＋b恒成立，
所以所以a＋b＝5．]
10．7 [A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，因为B A，当B＝ 时，a＝0，
当B≠ 时，即a≠0时，由ax－1＝0，解得x＝，
则＝3或＝5，则对应实数a的值为，则实数a组成的集合的元素有3个，
所以实数a组成的集合的真子集个数有23－1＝7．]
11．36 24 [设共有x人，则每人分得两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以2－x＝12，即x2＋12x－1 728＝0，
解得x＝36或x＝－48(舍去)，
所以一共有36人，每人分得24两银子．]
12．3或－2 [由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]
13．解： (1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．
(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．
14．解： (1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2．
(2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2，
所以4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4．所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一根为4．
15．解： (1)x2－2xy＋y2－25＝(x－y)2－25＝(x－y＋5)(x－y－5)．
(2)因为a2－ab－ac＋bc＝0，所以a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0，所以a＝b或a＝c，所以△ABC的形状为等腰三角形．
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一、选择题
1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是( )
A．2a＝3c B．4a＝9c
C．a＝2c D．a＝c
2．(多选)下列属于恒等式的有( )
A．＝|a|
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．4x＝2 024
D．(x－1)2＝0
3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是( )
A．4x B．－4x C．4x4 D．16x
4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为( )
A．－16 B．16 C．－8 D．8
5．已知x2－3x＋1＝0，则x3＋＝( )
A．－18 B．18
C．－9 D．9
6．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且N M，则实数m的值可以是( )
A．0 B．－3
C．－8 D．3
二、填空题
8．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．
9．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为________．
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B A，则实数a取值集合的真子集的个数为________．
11．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有________人，每个人分得________两银子．
12．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝12，则x＝________．
三、解答题
13．分解因式：
(1)8x3＋4x2－2x－1；
(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．
14．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．
15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2－2xy＋y2－25；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
答案解析
1．B [由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]
2．AB [A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．]
3．D [对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意；
对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意；
对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意；
对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．]
4．B [5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，
所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．]
5．B [因为x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋＝3．
原式＝
＝＝3(32－3)＝18．]
6．D [设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4．
故选D．]
7．ABC [M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}＝．
∵N M，
∴当m＝0时，N＝ ，符合题意；
当m≠0时，N＝．
当＝－或＝－时，
m＝－3或m＝－8．]
8．－6 [因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因为x＝－7，
所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]
9．5 [因为2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b，
即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋a＋b恒成立，
所以所以a＋b＝5．]
10．7 [A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，因为B A，当B＝ 时，a＝0，
当B≠ 时，即a≠0时，由ax－1＝0，解得x＝，
则＝3或＝5，则对应实数a的值为，则实数a组成的集合的元素有3个，
所以实数a组成的集合的真子集个数有23－1＝7．]
11．36 24 [设共有x人，则每人分得两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以2－x＝12，即x2＋12x－1 728＝0，
解得x＝36或x＝－48(舍去)，
所以一共有36人，每人分得24两银子．]
12．3或－2 [由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]
13．解： (1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．
(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．
14．解： (1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2．
(2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2，
所以4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4．所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一根为4．
15．解： (1)x2－2xy＋y2－25＝(x－y)2－25＝(x－y＋5)(x－y－5)．
(2)因为a2－ab－ac＋bc＝0，所以a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0，所以a＝b或a＝c，所以△ABC的形状为等腰三角形．
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