2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：2.1.3方程组的解集（含解析）

2.1.3方程组的解集
一、选择题
1．已知x，y满足方程组则2x－4y的值是(　　)
A．－2　　　B．－1　　　C．1　　　D．2
2．(多选)方程组的解有(　　)
A． B．
C． D．
3．已知方程组则x＋y的值为(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．3
4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为(　　)
A．3 B．－3
C．－4 D．4
5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各1件，共需(　　)
A．32元 B．33元
C．34元 D．35元
6．小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　)
A．25元 B．30元
C．35元 D．45元
7．(多选)方程组的解集为{(x1，y1)，(x2，y2)}，若x1＋x2＝－3，则(　　)
A．k＝1或k＝
B．y1＋y2＝－3或y1＋y2＝－1
C．y1＋y2＝1或y1＋y2＝3
＝12或＝15
二、填空题
8．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相等)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相等)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
10．已知方程组则x∶y∶z＝________．
11．小亮解得方程组的解集为{(x，y)|(5，★)}，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝________．
12．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①是方程组的一组解；
②当k＝时，x，y的值互为相反数；
③若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1．
其中正确的序号是________．
三、解答题
13．(1)阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个二行三列的矩阵，求得的一次方程组的解用矩阵表示为．用矩阵可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
_____，
从而得到该方程组的解集为________；
(2)仿照(1)中矩阵的书写格式写出解方程组的过程．
14．已知x，y满足方程组
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________；
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知＝和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求的值．
15．善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法：
将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5，③
将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1，
将y＝－1代入①得x＝4，
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知x，y满足方程组求整式x2＋4y2＋xy的值．
答案解析
一、选择题
1．C　[
②－①，得2x－4y＝1，故选C．]
2．AB　[由x2＝1，得x＝±1，
当x＝1时，y2＝1，得y＝±1，
当x＝－1时，y2＝－1，无解．
故方程组的解为或]
3．D　[
②×2，得2x＋6y＝10，③
③－①，得5y＝5，解得y＝1，
把y＝1代入①，得2x＋1＝5，
解得x＝2，所以原方程组的解是
所以x＋y＝2＋1＝3．]
4．D　[由得代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4．故选D．]
5．C　[设甲每件x元、乙每件y元、丙每件z元．根据题意列方程组得
①×3－②×2得x＋y＋z＝34．故选C．]
6．C　[设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元，
根据题意，得解得
2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元，故选C．]
7．AC　[把y＝kx＋2代入x2＋y2＋2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2＋(4k＋2)x－4＝0，由条件及根与系数的关系知，x1＋x2＝－＝－3，即3k2－4k＋1＝0，解得k＝1或k＝，故A正确；y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－3k＋4，所以k＝1或k＝时，y1＋y2＝1或3，故B错误，C正确；因为x1x2＝－，
所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋，
则当k＝1或k＝时＝13或＝，故D错误．]
8．(答案不唯一)　[由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为(答案不唯一)．]
9．
10．1∶2∶3　[把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．]
11．－2　[把x＝5代入2x－y＝12得，2×5－y＝12，
解得y＝－2，所以★为－2．]
12．①②　[解方程组得
①是方程组的一组解，结论正确；
②当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，结论正确；
③∵也是方程x＋y＝4－k的解，
∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，
∴3k＝5，k＝，结论不正确．]
13．解：　(1)　{(6，10)}
(2)
，所以原方程组的解集为{(0，2)}．
14．解：　(1)乙．
(2)
①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17．
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，
∴2y＋x＝±5，
∴＝＝±．
15．解：　(1)由题知方程组为
将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，
即3(3x－2y)＋2y＝19，③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2，
将y＝2代入①得x＝3，
∴方程组的解为
(2)由题知方程组为
由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝，③
把方程③代入②得2×＋xy＝36，
解得xy＝2，
将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17．
∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19．
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