2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：2.2.1不等式及其性质（含解析）

2.2.1不等式及其性质
一、选择题
1．(多选)若a>b，则下列各式不正确的是(　　)
A．a－2>b－2　　 B．2－a>2－b
C．－2a>－2b D．a2>b2
2．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　)
A．p≤q B．p≥q
C．pq
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
5．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b＝a∨b＝
若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
6．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
7．(多选)设a，b为正实数，下列命题中正确的为(　　)
A．若a2－b2＝1，则a－b<1
B．若＝1，则a－b<1
C．若||＝1，则|a－b|<1
D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1
二、填空题
8．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤．
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
其正确顺序为________．
9．若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>．
请写出一组a，b的值：________．
10．若x>1，－111．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为________．
12．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
(1)高一学生人数多于高二学生人数；
(2)高二学生人数多于高三学生人数；
(3)高三学生人数的3倍多于高一、高二学生人数之和．
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为________．
三、解答题
13．(源自苏教版教材)求解不等式90－t≥80，并用不等式的性质说明理由．
14．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
15．若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|．
(1)求证：b＋c＞0．
(2)求证：＜．
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
答案解析
1．BCD　[因为a>b，所以a－2>b－2，故选项A正确；2－a<2－b，故选项B错误；－2a<－2b，故选项C错误；a2，b2无法比较大小，故选项D错误．故选BCD．]
2．D　[因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，
所以p>q．故选D．]
3．B　[因为xa2．
因为x2－ax＝x(x－a)>0，所以x2>ax．
又ax－a2＝a(x－a)>0，所以ax>a2．
所以x2>ax>a2．
故选B．]
4．C　[由a＞b＞c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0．
要证＜a，只要证(－a－c)2－ac＜3a2，即证a2－ac＋a2－c2＞0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0，即证a(a－c)－b(a－c)＞0，
也就是证(a－c)(a－b)＞0．
故求证＜a索的因应是(a－c)(a－b)＞0．]
5．C　[事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab≥4，则a，b中至少有一个大于或等于2，否则ab＜4，∴a∨b≥2；同理，c＋d≤4，则c，d中至少有一个小于或等于2，∴c∧d≤2．
故选C．]
6．A　[因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，
即a>c．因此b0，所以a7．AD　[对于A，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1 a－b＝ a－b>0 a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则≥1 a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于B，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1．
对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1．
对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0．
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2．
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴08．③①②　[用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②．]
9．a＝－1，b＝2(答案不唯一)　[容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0．当a<0，b>0时，需使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，需使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1．综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．]
10．y<－y<－xy1，－1所以0<－y所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0，
所以－xy所以y<－y<－xy11．[－2，10]　[(法一)设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v．
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，
∴－3≤3v≤6．
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10．
(法二)令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b．
∴∴
又
∴－2≤4a－2b≤10．]
12．18　[设高二学生人数为x，高三学生人数为y(x，y∈N*)，则∴3y>7＋x>7＋y，即3y>7＋y，∴2y>7，即y>．∵y∈N*，∴y≥4，结合①可知，5≤x≤6，(x，y)共有3种取法，分别为(5，4)，(6，4)，(6，5)，逐一代入②验证，可得只有(6，5)满足题意，∴x＝6，y＝5，该志愿者服务队总人数为7＋6＋5＝18．]
13．解：　不等式90－t≥80两边同乘以3，得
270－10t≥240．(不等式性质2)
两边同加上－270，得－10t≥240－270．(不等式性质1)
即－10t≥－30．
两边同乘以－，得t≤3．(不等式性质3)
14．解：　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．
当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小．
由题意，y1＝x＋x(n－1)＝x＋nx，y2＝nx．
因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2．
即当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
15．解：　(1)证明：因为|b|>|c|，且b＞0，c＜0，
所以b＞－c，
所以b＋c＞0．
(2)证明：因为c＜d＜0，
所以－c＞－d＞0．
又因为a＞b＞0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0．
所以0＜＜．①
因为a＞b，d＞c，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a＋d＞b＋c．
所以a＋d＞b＋c＞0．②
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将不等式①②相乘得＜．
(3)能．因为a＋d＞b＋c＞0，
0＜＜，
所以＜＜，或＜＜．(只要写出其中一个即可)
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