2024-2025学年北师大版八年级数学（上）2.2 平方根与算术平方根 题型总结（含答案）

平方根与算术平方根题型总结
题组一 平方根概念理解
1．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
2．若实数3m﹣6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2
3．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．﹣4的平方根是﹣2 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；②﹣m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
题组二 求一个数的（算术）平方根
6．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．（﹣0.36）2的平方根是（ ）
A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36
8．下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．（π﹣3.14）0＝0
9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝16时，输出的y等于（ ）
A． B． C．4 D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
题组三 求一个代数式的（算术）平方根
11．关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
13．已知正数a的两个平方根分别是2y+1和3y﹣11，则a的值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．36
14．已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．25
15．当a2＝b2时，下列等式中成立的是（ ）
A．a＝b B． C．a3＝b3 D．
题组四 算术平方根的非负性
16．若，则xyz的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
17．已知x，y为实数，且+（y﹣2）2＝0，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
18．若，则（b﹣a）2019＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52019 D．﹣52019
19．若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
20．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
题组五 算术平方根的估算
21．在下列哪两个数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
22．已知m＝﹣，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
23．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
24．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
25．估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
题组六 算术平方根整数部分与小数部分
26．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（ ）
A． B． C． D．
27．如果4+与4﹣的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（ ）
A．7 B．1 C．0 D．﹣1
28．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（ ）
A． B． C． D．8
30．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
题组七 运用平方根性质解方程
31．求下列各式中的x：
（1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81．
题组八 算术平方根规律探究
32．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ．（2）请根据上面式子的规律填空：＝ ．
（3）利用（2）中结论计算：．
33．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；（2）请直接写出的值．
34．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
＝ ；＝ ；＝ ；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：＝ （n为正整数）；
（2）请证明（1）中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
＝ ．
35．阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； …
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得． 等式两边同时 ，得 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝ ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
36．阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4， ．
则S2﹣S1＝
＝；
＝； ……
根据以上材料解答下列问题：
（1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 ；
（2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想；
（3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，求T的值．
平方根与算术平方根题型总结答案
题组一 平方根概念理解
1.【解答】解：平方根等于它本身的数是0，故选：A．
2.【解答】解：若实数3m﹣6有平方根，则3m﹣6≥0，解得：m≥2，故选：D．
3.【解答】解：A、4的平方根是±2，故不合题意；B、﹣4没有平方根，故不合题意；
C、＝，故不合题意；D、负数没有平方根，符合题意；故选：D．
4.【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误；
当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误；
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误；
负数没有平方根，则④正确；
0的平方根等于本身，则⑤错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
5.【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．
题组二 求一个数的（算术）平方根
6．【解答】解：，．故选：D．
7.【解答】解：（﹣0.36）2的平方根是±0.36，故选：C．
8.【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、（π﹣3.14）0＝1，原式计算错误，不符合题意；故选：C．
9.【解答】解：第1次计算得，，而4是有理数，因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，故选：A．
10.【解答】解：A、（）2＝3，故此选项正确；B、±＝±3，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；D、＝3，故此选项错误；故选：A．
题组三 求一个代数式的（算术）平方根
11．【解答】解：7x3﹣11mx2﹣15x+9+22x2﹣5nx﹣7
＝7x3+（22﹣11m）x2﹣（15+5n）x+2，
∵7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，
∴22﹣11m＝0，15+5n＝0，∴m＝2，n＝﹣3，∴﹣（mn+n）＝﹣（﹣3×2﹣3）＝9，
∵9的平方根是±3，∴﹣（mn+n）平方根为±3．故选：C．
12.【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2，比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1
故a+1的平方根用m表示为：±，故选：D．
13.【解答】∵正数a的两个平方根分别为2y+1和3y﹣11，∴（2y+1）+（3y﹣11）＝0，
解得：y＝2，∴2y+1＝5，∴a＝52＝25．故选：C．
14.【解答】解：根据题意知2x+3+x﹣6＝0，解得：x＝1，所以2x+3＝5，所以这个正数为52＝25，
故选：D．
【解答】解：∵a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴．故选：B．
题组四 算术平方根的非负性
16．【解答】解：∵，∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1，∴xyz＝10，故选：A．
17.【解答】解：∵有意义，∴x+1≥0，∵（y﹣2）2≥0，且，
∴，∴，∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，故选：C．
18.【解答】解：根据题意可得：，①×2﹣②得：b+3＝0，解得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入②得：2a+3+1＝0，解得：a＝﹣2，则（b﹣a）2019＝（﹣3+2）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．故选：A．
19【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：B．
20．【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，
∴直角三角形的第三边长为5或，故选：D．
题组六 算术平方根的估算
21.【解答】解：依题意，∵，∴，故选：D．
22.【解答】解：m＝﹣＝3﹣＝2＝，∵＜，∴3＜＜4，
即实数m的范围是3＜m＜4，故选：B．
23.【解答】解：∵，，∴，∴7﹣1＜2﹣1＜8﹣1，
∴．故选：C．
24.【解答】解：∵3＝，且4＜＜5，∴4＜3＜5，∴3＜3﹣1＜4，故选：A．
25.【解答】解：∵，且，∴，∴．故选：A．
题组六 算术平方根整数部分与小数部分
26．【解答】解：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分是2，小数部分是（﹣2），
即a＝2，b＝﹣2，所以2a+b＝4+﹣2＝2+，故选：C．
27.【解答】解：由2＜＜3得6＜4+＜7，则4+的小数部分是m＝﹣2，
由﹣3＜﹣＜﹣2，得1＜4﹣＜2，4﹣的小数部分是n＝3﹣，
m+n﹣1＝﹣2+3﹣﹣1＝0；故选：C．
28.【解答】解：∵2＜＜3，∴x＝2，y＝﹣2，∴（x+）y＝（2+）×（﹣2）＝7﹣4＝3，
故选：B．
29.【解答】解：∵，∴，∴，
∴的整数部分是8，小数部分是，∴m＝8，n＝，
∴|n﹣m|＝，故选：B．
30.【解答】解：∵9＜15＜16，∴，∴，∴的整数部分是：10，
∴a＝10，∵，∴，∴的小数部分是，
∴，∴，故选：B．
题组七 运用平方根性质解方程
31．【解答】解：（1）移项并合并，得x2＝144，∵（±12）2＝144，∴x＝±12；
（2）两边都除以4，得（x+1）2＝，∵（±）2＝，∴x+1＝±，解得x＝或x＝﹣．
题组八 算术平方根规律探究
32．【解答】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：＝7．
故答案为：＝7；
（2）根据材料中给出的规律可知：＝．
故答案为：n+1；
（3）根据（2）中的规律可知，＝＝．
33.【解答】解：（1）第n个等式是：（n是正整数）．
证明如下：．
（2）．
34【解答】解：（1）第n个等式是：（n是正整数）．
证明如下：．
（2）．
35.【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数，∴，等式两边同时平方得：
a+2+1＝b．移项得：b﹣a＝2+1．故答案为：平方；a+2+1；
（2）∵和 为两个相邻整数，∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1，
∴＝5，∴a＝25．故答案为：25；
（3）∵和 为相差4的两个整数，∴+4＝，等式两边同时平方得：
a+8+16＝a+216，∴＝25，∴a＝625．
45.【解答】（1）解：a+（n﹣1）；
（2）解：猜想：Sn+1﹣Sn＝（2n﹣1）b+2a，
证明：由（1）知：Sn+1＝a+n，Sn＝a+（n﹣1），
∴Sn+1﹣Sn＝（a+n）2﹣[a+（n﹣1）]2＝[a+n+a+（n﹣1）]{（a+n﹣[a+（n﹣1）]}
＝[2a+（2n﹣1）]
＝（2n﹣1）b+2a；
（3）解：∵t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，
∴T＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3+﹣﹣﹣+Sn+1﹣Sn＝Sn+1﹣S1＝（a+n）2﹣a2＝2an+n2b．