3.4直线与圆的位置关系（4）学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.4 直线与圆的位置关系（4）
【学习目标】
1.了解切线长的概念
2.理解切线长定理，熟练掌握它的应用
【学习重点】切线长定理及其应用
【学习难点】切线长定理的推导及其证明，用切线长定理解决实际问题
【学习过程】
复习引入
直线和圆的位置判定方法有几种？
新知探究
探究1.切线长定理
（1）在透明纸上画出⊙O，在⊙O上取一点A，过点A画出⊙O的切线，在过点A的切线上任取一点P。
（2）把你画出的图形沿直线PO对折，你发现点A关于PO的对称点B在⊙O上吗？由此你能发现哪些结论？与同学交流。
（3）能证明你的结论是正确的吗？
如图，已知P是⊙O外一点，PA 是⊙O的切线. 过切点A作PO的垂线，垂足为点C，交⊙O于点B，连接PB，OA，OB。
知识点1.切线长
经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的 ，叫做这点到圆的切线长
知识点2.切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条
【跟踪练习】
如图，P 是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，OP交⊙O于点C，PA = 4 cm，PC = 2 cm . ∠APB=_________.（tan37°≈）
小结：切线长定理中的钻石模型
如图，PA，PB是⊙O的切线
（1）一条角平分线：OP平分∠APB和∠AOB
（2）两个等腰三角形：△AOB和△PAB
（3）两组相等的角：∠1=∠2=∠3=∠4，∠AOP=∠BOP
（4）两组相等的线段：AD=BD,PA=PB
（5）两组相等的弧：，
（6）三个垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB
（7）三组全等三角形：△OAP≌△OBP，△OAD≌△OBD，△ADP≌△BDP
典型例题
例1.如图，P 为⊙O外一点，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B是切点，BC是⊙O的直径.
（1）求证：AC∥OP；
（2）如果∠APB = 70°，求的度数。
例2.如图①，是一个用来测量球形物体直径的 V 型架，图②是它抽象出的几何图形，其中 PA 与 PB 是经过圆外一点P的⊙O 的两条切线，切点分别是A，B。∠P=60°，如果一个乒乓球放入V型架上，量得PA=4.5cm，怎样求出乒乓球的直径（精确到0.1cm）？
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则
∠ABO＝（　　）
A．30° B．35° C．45° D．55°
2.一个钢管放在V型架内，其截面如图，O为钢管界面圆的圆心，若PMcm，∠MPN＝60°，则⊙O的半径等于（　　）
A．50cm B．25cm C．20cm D．25cm
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠C＝50°，则∠P＝（　　）
A．50° B．100° C．130° D．80°
2．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（　　）
A．28° B．50° C．56° D．62°
3．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝（　　）度．
A．30 B．60 C．50 D．75
第1题 第2题 第3题 第4题
5．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的半径是（　　）
A．3cm B．3 cm C．6cm D．6cm
6．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝10cm，则△PCD的周长为　 　．
7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为 　 　．
【能力提升】
8．如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P．若四边形ABCD的周长为20，则AB+CD等于（　　）
A．5 B．8 C．10 D．12
第5题 第6题 第7题 第8题
9．矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，点A、点B为切点，线段OP
交⊙O于点M．下列结论：①PA＝PB； ②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④点M是△AOP外接圆的圆心．其中正确的结论是 　 　（填序号）．
如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，
∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是 　 　．
12．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB＝11，则DE＝　 　．
第9题 第10题 第11题 第12题
13．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径BE的长；
（2）求CD的长．
【培优创新】
14．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．
（1）求证：OP⊥CD；
（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．