3.5三角形的内切圆导学案 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.5 三角形的内切圆
【学习目标】
1.了解三角形的内心
2.能用尺规作图作三角形的内切圆
【学习重点】三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程
【学习难点】如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题
【学习过程】
一、复习引入
1.切线的判定方法有哪些？
2.角平分线的性质是什么？
二、新知探究
任务1.“仓廪实，天下安。”粮食安全是国家安全的重要基础，面对风高浪急的国际环境和艰巨繁重的国内改革发展稳定任务，始终绷紧粮食安全这根弦，把中国人的饭碗牢牢端在自己手中，坚定走好中国特色粮食安全之路。粮食储备是保障粮食安全的重要支撑，某地计划在右侧区域内建粮仓，要求粮仓距离m，n，l三条道路的距离相等，如何选址？
任务2.任意作一个∠AOB，如果在∠AOB内作圆，使其与两边OA，
OB 都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作出，能作
多少个？所作出的圆的圆心的位置有什么特征？
任务3.任意作一个△ABC，如果在△ABC 内作圆，使其与各边
都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作出，能作
多少个？所作出的圆的圆心的位置有什么特征？
任务4.怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切呢？
已知：△ABC
求作：⊙I，使它与△ABC各边都相切.
做法：
1.作∠B，∠C 的平分线 BD，CE，BD 与 CE 相交于点I；
2.过点I作IF⊥BC，垂足为点F；
3.以I为圆心，IF为半径作圆.
⊙I就是所求作的圆.
（4）你能说出上面作图的道理吗？与三角形各边都相切的圆有几个？
知识点1.三角形的内心
与三角形各边都________________叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的________，这个三角形叫做圆的_____________。
知识点2.三角形内心的性质
（1）三角形的内心是三角形的三条________的交点，它到三角形________的距离相等。
（2）任何一个三角形都有且只有________内心，三角形的内心在三角形的________。
三、典型例题
例1.如图，在△ABC中，∠A = 68°，点I是内心，求∠BIC的度数.
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r ，求△ABC的面积。
已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为b，a，求它的内切圆半径。
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
三角形的外心 三角形的内心
图形
⊙O的名称 △ABC的外接圆 △ABC的内切圆
△ABC的名称 ⊙O的内接三角形 ⊙O的外切三角形
“心”的确定 三角形三边垂直平分线的交点 三角形三条角平分线的交点
性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三条边的距离相等
位置 在锐角三角形内部；在钝角三角形外部；在直角三角形斜边 一定在三角形内
角度关系 ∠BOC=2∠BAC ∠BOC=90 +∠BAC
五、当堂检测
1.如图，△ABC的内切圆O与各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的（ ）.
A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
2.如图，分别作出Rt△ABC与钝角三角形DEF的内切圆
六、自主评价 第1题 第2题
学习目标 表现程度 例1 例2 例3
A B C
了解三角形的内心 了解 不确定 不了解
能用尺规作图作三角形的内切圆 能 不确定 不能
七、课后分层作业
【基础闯关】
1．下列命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
2．如图，在△ABC中，AG平分∠CAB，使用尺规作射线CD，与AG交于点E，下列判断正确的是（　　）
A．AG平分CD B．∠AED＝∠ADE
C．点E是△ABC三条角平分线的交点 D．点E到点A，B，C的距离相等
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数为（　）
A．70° B．110° C．120° D．130°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56° B．62° C．68° D．78°
如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作
EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）
A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm
第2题 第3题 第4题 第5题
6.边长为a的等边三角形的内切圆的半径为_________
7.在Rt△ABC 中，∠C = 90°，⊙O是它的内切圆，⊙O与边BC，CA分别切于D，E两点,求证：四边形ODCE是正方形。
【能力提升】
8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　）
A．h＝R+r B．R＝2r C．ra D．Ra
9．如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（　　）
A．130° B．125° C．120° D．115°
10．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为的是（　　）
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（　　）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
12．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（　　）
A．2m B．3m C．6m D．9m
13.如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为20，BC边的长为6，则△ADE的周长为（　　）
A．15 B．9 C．8 D．7.5
14.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI，CI，BD，DC．有下列说法：①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC＝90°∠BAC；④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤D是△BIC的外心．其中正确的是 　 　（填序号）．
15．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝　 　．
第12题 第13题 第14题 第15题
【培优创新】
16．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E，连接BE．
（1）求证：BE＝IE；
（2）若AD＝6，DE＝2，求AI的长．