3.7正多边形与圆 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.7 正多边形与圆
【学习目标】
1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系
2.能运用正多边形的边长、半径、边心距等进行计算
【学习重点】正多边形的概念及正多边形与圆的关系
【学习难点】正多边形性质的应用
【学习过程】
一、复习引入
你还记得什么叫正多边形吗？说出你常见的几种正多边形。
二、新知探究
探究一：观察下面的正多边形，思考下面的问题：
（1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴，并说出这些对称轴是怎样的直线.
（2）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗？
知识点1.正多边形的对称性
正多边形都是______________，一个正n边形有_____条对称轴
（3）通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征？由此你能推出正多边形的什么性质？
知识点2.正多边形对称轴特征
正多边形的各条对称轴_________，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到__________也相等.
（4）利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征？
（5）画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗？你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征？
（6）由（4）（5）你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征？
知识点2.
任何正多边形都有一个______和一个_______，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点。
【跟踪练习】
探究二：如图，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的______，外接圆的半径叫做_____________，内切圆的半径叫做正多边形的________。可以看出，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等. 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的______，正n边形的每个中心角都等于__________.
（7）你能分别说出图中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗？
（8）正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？
（9）如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是多少？它们之间满足什么关系？一般地，如果正n边形的边长为an，半为rn，边心距为dn，这三个量之间有什么关系？
（10）以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转 ，你能得到什么结论？
（11）正n边形是中心对称图形吗？
三、典型例题
一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1. 下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例.
（1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；
（2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；
（4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形.
2.完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内：
边数n 内角α 中心角αn 半径Rn 边长an 边心距rn 周长Pn 面积Sn
3
4
6
六、自主评价
学习目标 表现程度 例1 例2 例3
A B C
了解正多边形的概念 了解 不确定 不了解
了解正多边形与圆的关系 了解 不确定 不了解
能运用正多边形的边长、半径、边心距等进行计算 能 不确定 不能
七、课后分层作业
【基础闯关】
1．下列命题正确的是（　　）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
3．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．2， B．2，π C．， D．2，
5．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（　　）
A． B．20 C．18 D．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．R2﹣r2＝a2 B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
第2题 第4题 第5题 第6题
【能力提升】
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为 　 　．
8．如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝　 　．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【培优创新】
10．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．
（1）图1中∠MON的度数是　 　；
（2）在图2中∠MON的度数是　 　，图3中∠MON的度数是　 　；
（3）若M、N分别是正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN．连接OM、ON，你认为∠MON的度数是　 　（直接写出答案）