3.6 弧长及扇形面积的计算 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.6 弧长和扇形面积的计算
【学习目标】会计算圆的弧长、扇形的面积
【学习重点】会计算圆的弧长、扇形的面积
【学习难点】用拆补的方法求阴影部分的面积
【学习过程】
一、问题引入
在生产和生活实际中，有时需要求一段弧的长度或一个扇形的面积。我们过去学习过圆的周长公式和面积公式，怎样利用这两个公式分别推导出弧长及扇形的面积的计算公式呢？
二、新知探究
已知圆的半径为r。思考下面的问题：
（1）圆周上 1°弧的长度是整个圆周长的多少？怎样用圆的半径r表示 1°弧的长度呢？
（2）由（1），怎样用圆的半径r表示 n°弧的长度l呢？与同学交流。
知识点1.弧长公式 l=
（3）在⊙O 中，圆心角为1°的扇形的面积是整个圆面积的多少？怎样用圆的半径r表示圆心角为1°的扇形的面积呢？
知识点2.扇形面积公式 =
（4）由（3），怎样用圆的半径 r 表示圆心角为n°的扇形面积S扇形呢？
（5）如果已知⊙O的半径r和扇形的弧长l，怎样用l与r表示这段弧所在的扇形的面积呢？
知识点3.扇形面积公式 =
【跟踪练习】
1.如图，桥拱的形状是一段圆弧，桥拱AB的度数是 90°，半径OA为30 m，桥拱AB的长为___________
2.如图，水平放置的排水管的横截面为圆形，圆的半径为10 cm，水面宽度AB为10 cm。截面中有水部分的面积为___________
三、典型例题
例1.如图所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧 AB。已知AB的圆心为O，半径OA = 60 cm，∠AOB = 108°，求这段弯管的长度。
例2.如图，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB与AC的夹角为120°，AB 的长为30 cm，竹条AB上贴纸部分BD的宽为20 cm . 求扇子的一面上贴纸部分的面积。
例3.已知扇形AOB的半径为r，∠AOB = 90°，以弦AB为直径作半圆，得到右图，求图中“新月形”的面积。
模型总结
模型1.等积转化法
1.已知四边形OCDE是正方形 2.已知OCDB，CD⊥AB
3.已知CDAB
模型2.构造和差法（找扇形、三角形）
模型3.直接和差法
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.圆心角为60°，半径为1的弧长为________
2.已知扇形的半径为6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为_______
3.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在的圆的半径是_________
六、自主评价
学习目标 表现程度 例1 例2 例3
A B C
会计算圆的弧长 会 不确定 不会
会计算扇形的面积 会 不确定 不会
七、课后分层作业
【基础闯关】
1.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（　　）
A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm
2．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（　　）
A．m B．m C．m D．（+2）m
3．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝4m，OB＝2m，则阴影部分的面积是（　　）
A．π B．π C．4π D．π
4．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
第1题 第2题 第3题 第4题
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）
6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 　 　．（结果保留π）
【能力提升】
7．如图，等边三角形ABC中，将边AC逐渐变成以BA为半径的，其他两边的长度不变，则∠ABC的度数大小由60变为（　　）
A． B． C． D．
8．如图：AD是⊙O的直径，AD＝12，点BC在⊙O上，AB、DC的延长线交于点E，且CB＝CE，∠BCE＝70°，则以下判断中不正确的是（　　）
A．∠ADE＝∠E B．劣弧AB的长为π C．点C为弧BD的中点 D．BD平分∠ADE
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是　
10．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　
11．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为　
第8题 第9题 第10题 第11题
12．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　 　平方厘米．（圆周率用π表示）
13．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 　 　．
【培优创新】
14．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…．按此做法进行下去，其中弧P2022O2023的长为 　 　．
第12题 第13题 第14题