4.3 一元二次方程根的判别式 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

4.5 一元二次方程根的判别式
【学习目标】
1.经历一元二次方程根的判别式的探索过程；
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；
3.培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力，感悟分类的数学思想。
【学习重点】 一元二次方程根的判别式的应用
【学习难点】一元二次方程根的三种情况的推导及结论的理解
【学习过程】
一、复习引入
1.用配方法，得出的求根公式是什么？
2.什么数才有算术平方根？
二、新知探究
（1）分别用公式法和配方法解方程：x2+2x+5=0，你有什么发现？
x2+2x+5=0（公式法） x2+2x+5=0（配方法）
（2）回忆求根公式，什么条件下才可以利用求根公式？
利用求根公式分别计算方程：
x2+2x+1=0 x2 + 4x - 5 = 0 x2+2x+5=0
结合上述3个方程，你发现当b2-4ac >0与b2-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？
①当b2-4ac=0时，方程有_________的实根：________________________________
②当b2-4ac>0时，方程有_________的实根：________________________________
③当b2-4ac<0时，方程______实根
知识点1.根的判别式
●一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程系数的代数式b2-4ac的值的符号，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac。
●一元二次方程ax2+bx+c=0
当Δ>0时 有________________的实根；
当Δ=0时 有________________的实根；
当Δ<0时 ____实根；
【跟踪练习】不解方程，判断下列方程根的情况，并说明理由；
（1）3y2-5y-2=0 （2）2x2-9x+6=0 （3）5x2+10x+6=0 （4）5t 2-2t+3=0
三、典型例题
例1.不解方程，判断下列方程根的情况，并说明理由：
（1）2x2+x-4=0 （2）4y2+9=12y （3）5（t2+1）-6t=0
例2.已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0，有两个不相等的实根。
求k的取值范围
（2）选择一个k的正整数值，并求解方程的根。
例3.有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2 - 12x + k = 0的两根，求k 的值。
【变式练习】
1、关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0 有实数根，则k的取值范围是______________
2、关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0 有实数根，则a的取值范围是______________
3、若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围是________________
4、已知关于x的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______________
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
对于方程ax2+bx+c=0
①一元二次方程有两个不相等的实根 b2-4ac＞0且a ≠ 0
②一元二次方程有两个相等的实根 b2-4ac = 0
③方程有两个实根b2-4ac 0且a 0
④方程有实根 b2-4ac ≥ 0
五、当堂检测
1. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）3y2- 5y - 2 = 0；（2）2x2 - 9x + 6 = 0；（3）5x2 +10x + 6 = 0；（4）5t2 - 2t + 3 = 0。
2. 关于x的一元二次方程3x2 - 4x +（k + 1）= 0有两个相等的实根，则k的取值范围是____________
3.已知关于x的方程mx2 + mx + 5 = m有两个相等的实根，则m的值是____________
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
2．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．2x2﹣2x﹣9＝0 B．x2﹣10x+1＝0
C． D．
3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．4x2﹣4x＝﹣1 B．7x2+2x+3＝0
C．2x2+x﹣1＝0 D．
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+3x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C．且a≠2 D．且a≠2
6．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1
7．关于x的一元二次方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且k≠1 B．且k≠1 C． D．
8．已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
9. 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2x2 + x + 14 = 0； （2）4t（t - 1）= 3； （3）x2 + 2 = 2x； （4）3z2 - 2z = - 2。
10. 关于x的方程x2 + ax - 1 = 0有没有实根？如果有，两个实根是否相等？
11．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【能力提升】
12．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣且a≠0 D．a＞﹣且a≠0
13．已知关于x的方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（　　）
A．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
B．当k＝﹣1时，方程有两个相等的实数解
C．当k＝1时，方程有一个实数解
D．当k＝0时，方程无解
14.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是　 　．
15．如果关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，那么k的最小整数值是　 　．
16.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）＝0的两根相等，则
△ABC的形状是：　 　．
17.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是
x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则c＝__5___，原方程的根的情况是 　 　．
18.已知：关于x的一元二次方程2x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根，请化简：
=_______________
19．已知关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围；当m为非负整数时，求出此时方程的根．
当k为何值时，关于y的方程（k - 1）y2 - 2ky + k = 3，
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实根。
21. 已知关于x的方程kx2 - 4kx + k - 5 = 0 有两个相等的实根，解这个方程。
【培优创新】
22．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．