4.5一元二次方程的应用(1)学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

4.7 一元二次方程的应用（1）
【学习目标】能用一元二次方程解决几何图形问题、市场营销问题
【学习重点】 探索一元二次方程的应用
【学习难点】在复杂问题中找出等量关系，并列出方程
【学习过程】
一、复习引入
列方程解应用题的一般步骤有哪些？
二、新知讲授
1.几何图形问题
类型1.（长度问题）将一根长为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长。
【例题变式】小亮手中有长分别为22cm和24cm的两段铁丝，打算用其中的一段铁丝折成一个面积为32cm2的矩形。他应该选择用哪段铁丝？为什么？
类型2.（面积问题）天泉村计划建造如图所示的蔬菜温室。要求长宽的比为3：1.在温室内，沿前后墙内墙各留3m宽的空地放置工具，其他的两侧各留1m宽的通道。当矩形温室的长和宽各多少时，蔬菜种植区的面积是300m2？
【例题变式】
1.如图，学校准备用40米长的铁栅栏，靠一面26米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为150平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？
2.如图，矩形如图，矩形 ABCD的边AB = 200 cm,O为AB的中点。OEAB交CD于点E。质点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动;另一质点Q同时从点O出发，以3 cm/s的速度沿OE向点E运动。经过多少秒时，△POQ的面积为1800 cm2
2.市场营销问题
某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆的盈利达到10元，每盆应当种植该种花卉多少棵
小结：
总利润=总收入-总支出
总利润=单个利润数量
总利润=利润率成本
【例题变式】某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，若每降价1元，每星期可多卖出20件，现要尽量优惠顾客的前提下，同时每星期获利6080元，每件商品应降价　 　元．
三、课堂小结 本节课你有什么收获？
四、当堂检测
1.如图，在宽为20 m、长为36 m的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路，剩余草地的面积是540m2。求道路的宽，可列方程______________________________
2.一本书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1 cm。小莹准备用一张面积为1260 cm2的矩形纸包这本书的书皮（如图）。若书皮四周折进的宽度一样，折叠进去的宽度应为多　 　
五、课后分层作业
【基础闯关】
1．从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来这块木板的边长是（　　）
A．10m B．8m
C．11m D．6m
2．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
3．如图，把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径是（　　）
A．（55）米 B．（52）米
C．（55）米 D．（25）米
4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
5．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
6．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是　 　．
7．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为 　 　m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．
8．小丽去买服装，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她买了多少件这种服装？
9．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【能力提升】
10.如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（　　）
A．（x+4）2﹣x2＝120 B．π（x+4）2﹣x2＝120
C． D．
11．如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　）
A．2cm B．2.5cm
C．3cm D．4cm
12．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 　 　m．
13．某大学生创业团队抓住商机，购进一批果干分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x/元 3.5 5.5
销售量y/袋 280 120
（1）请写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
【培优创新】
14.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．
（1）当t＝4时，求△PBQ的面积；
（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？
（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似．