第2课时 集合的表示方法
新课导入 学习目标
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“happy birthday to you”等等．那么，对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
[知识梳理]
把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
[答案自填] 一一列举
[例1] 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
【解】 (1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合中的元素；
(2)把各元素列举出来，并用大括号括起来；
(3)检查元素是否符合集合中元素的互异性．
注意 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
[跟踪训练1] 用列举法表示下列集合．
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)15的正约数组成的集合N；
(3)“Welcome”中的所有字母构成的集合．
解：(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，
所以N＝{1，3，5，15}．
(3)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．
[知识梳理]
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 ．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
[答案自填] {x|p(x)}
[例2] 用描述法表示下列集合．
(1)所有矩形组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)在平面直角坐标系内第一象限内点的集合．
【解】 (1)所有矩形组成的集合可表示为{x|x是矩形}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)描述法表示集合时的4个关注点
①写清楚集合中元素的符号，如数或点等．
②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
③不能出现未被说明的字母．
④所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．
(2)用描述法表示集合的两个步骤
INCLUDEPICTURE "../../生物/23BC3.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练2] 分别用描述法和列举法表示下列集合．
(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
解：(1)用描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}(形式不唯一)，用列举法表示为A＝{－，}．
(2)用描述法表示为B＝{x∈N|x<8}(形式不唯一)，用列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
[知识梳理]
1.区间的定义及表示
设a，b是两个实数，而且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 INCLUDEPICTURE "../../生物/MF43.TIF" \* MERGEFORMAT
{x|a{x|a≤x{x|a2.无穷的概念及无穷区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞)
点拨 (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；
(2)a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度．
[答案自填] [a，b] (a，b) [a，b)
(a，b] [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a]
(－∞，a)
[例3] (对接教材例2)把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1【解】 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞).
(2){x|x<0}＝(－∞，0).
(3){x|－1eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．④∞是一个符号，而不是一个数．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
[跟踪训练3] (1)集合{x|3x－4＜2}可以表示为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：选B.由3x－4＜2，解得x＜2，故选B.
(2)已知区间(a＋1，7]，则实数a的取值范围是 ．
解析：由题意可知a＋1<7，解得a<6，
所以实数a的取值范围是(－∞，6).
答案：(－∞，6)
[例4] 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B.
【解】 (1)若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，所以a＋2＋1＝0，解得a＝－3，所以方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝1或x＝－，所以A＝.
(2)当a＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－，
此时A＝；
当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素，
则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，
所以解得a＝1，方程为x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，此时A＝{－1}．
综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，所以B＝{0，1}．
母题探究 在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．(用集合表示)
解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，所以a<1且a≠0，故实数a的取值范围是{a∈R|a<1且a≠0}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
根据已知集合求参数的关注点
(1)集合中元素的个数即为方程的根的个数．
(2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论．
[跟踪训练4] 设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
解：因为4∈A，所以16－12＋a＝0，所以a＝－4，
所以A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为( )
A．{－3，－2，－1，0，1，2，3}
B．{－2，－1，0，1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{1，2，3}
解析：选C.易知{x|－3≤x≤3且x∈N}＝{0，1，2，3}．故选C.
2.(教材P9练习AT5(6)改编)不等式x－3≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
解析：选B.解不等式x－3≥0得x≥3，则原不等式的所有解组成的集合表示成区间是[3，＋∞).故选B.
3.(多选)(教材P9练习AT3(2)改编)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A.{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3D．{x|－3解析：选AD.由题意可知，满足题设条件的有选项A，D.故选AD.
4.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得所以
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：(1)集合的两种表示方法．(2)区间及其表示．
2.须贯通：方法归纳：分类讨论、转化与化归．
3.应注意：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
第2课时 集合的表示方法
新课导入 学习目标
语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们用中文说“祝你生日快乐”，英文为“happy birthday to you”等等．那么，对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？ 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．
一 列举法
[知识梳理]
把集合中的元素 出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
一一列举
[例1] 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
【解】 设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
【解】 设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1，0}．
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
【解】 将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合中的元素；
(2)把各元素列举出来，并用大括号括起来；
(3)检查元素是否符合集合中元素的互异性．
注意 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
[跟踪训练1] 用列举法表示下列集合．
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
解：因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)15的正约数组成的集合N；
解：因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，
所以N＝{1，3，5，15}．
(3)“Welcome”中的所有字母构成的集合．
解：由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．
二 描述法
[知识梳理]
一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 ．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
{x|p(x)}
[例2] 用描述法表示下列集合．
(1)所有矩形组成的集合；
【解】 所有矩形组成的集合可表示为{x|x是矩形}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
【解】 不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)在平面直角坐标系内第一象限内点的集合．
【解】 第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(1)描述法表示集合时的4个关注点
①写清楚集合中元素的符号，如数或点等．
②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
③不能出现未被说明的字母．
④所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．
(2)用描述法表示集合的两个步骤
[跟踪训练2] 分别用描述法和列举法表示下列集合．
(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
解：用描述法表示为B＝{x∈N|x<8}(形式不唯一)，用列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
三 区间及其表示
[知识梳理]
1.区间的定义及表示
设a，b是两个实数，而且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ________
{x|a[a，b]
(a，b)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x闭区间 ________
{x|a闭区间 ________
[a，b)
(a，b]
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，
＋∞) __________ _________ _________ __________
2.无穷的概念及无穷区间的表示
点拨 (1)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；
(2)a，b分别称为区间的左、右端点，b－a称为区间的长度．
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
[例3] (对接教材例2)把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
【解】 {x|x≥－1}＝[－1，＋∞).
(2){x|x<0}；
【解】 {x|x<0}＝(－∞，0).
(3){x|－1【解】 {x|－1用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错．④∞是一个符号，而不是一个数．
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
[跟踪训练3] (1)集合{x|3x－4＜2}可以表示为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
解析：由3x－4＜2，解得x＜2，故选B.
√
(2)已知区间(a＋1，7]，则实数a的取值范围是 ．
解析：由题意可知a＋1<7，解得a<6，
所以实数a的取值范围是(－∞，6).
(－∞，6)
四 集合表示方法的综合应用
[例4] 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B.
母题探究 在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．(用集合表示)
解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，所以a<1且a≠0，故实数a的取值范围是{a∈R|a<1且a≠0}．
根据已知集合求参数的关注点
(1)集合中元素的个数即为方程的根的个数．
(2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对a的讨论．
[跟踪训练4] 设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
解：因为4∈A，所以16－12＋a＝0，所以a＝－4，
所以A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．
课堂巩固自测
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为( )
A．{－3，－2，－1，0，1，2，3}
B．{－2，－1，0，1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{1，2，3}
解析：易知{x|－3≤x≤3且x∈N}＝{0，1，2，3}．故选C.
√
2.(教材P9练习AT5(6)改编)不等式x－3≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，3)
D．(－∞，3]
解析：解不等式x－3≥0得x≥3，则原不等式的所有解组成的集合表示成区间是[3，＋∞).故选B.
√
3.(多选)(教材P9练习AT3(2)改编)由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A.{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3D．{x|－3解析：由题意可知，满足题设条件的有选项A，D.故选AD.
√
√
4.已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
1.已学习：(1)集合的两种表示方法．(2)区间及其表示．
2.须贯通：方法归纳：分类讨论、转化与化归．
3.应注意：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．