(共28张PPT)
1.1.2 集合的基本关系
新课导入 学习目标
本年开学季，
某校新招的高一18
个班的新生组成集
合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系． 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用.
3.在具体情境中，了解空集的含义．
一 子集和真子集的判断
某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合A，中国参赛运动员组成集合B.
思考1 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？
提示：不是．
思考2 集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？
提示：都是．
[知识梳理]
1.子集与真子集的定义
类别 文字语言 符号语言 图形语言 结论
子
集 一般地，如果集合A的 元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) (1)A
A， A
(2)若A B，B C，则A C
任意一个
子集
至少
2.维恩图
如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．
封闭曲线
[例1] (对接教材例3)指出下列各组集合之间的关系．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}；
【解】 因为B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，所以A B.
(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}；
【解】 A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B.
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；
【解】 集合M与集合N都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，所以1∈M， 且1 N，故N M.
(4)A＝{x|1【解】 A＝{x|1则集合B＝{x|x<9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
判断集合间关系的常用方法
√
[跟踪训练1] （1）已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则（ ）
A．1 M B．－1 M
C．{－1，1} M D．{－1，1}∈M
解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M，元素与集合不能用“ ”符号，B错误；根据子集的定义，有{－1，1} M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用“∈”符号，D错误．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A B；②A C；
③{2} C；④2 C.
＝ ?
∈
二 子集与真子集的个数问题
[例2] (对接教材例1)已知集合M＝{x|x＜3且x∈N}，N＝{x|－2≤x＜2且x∈Z}．
(1)写出集合M的子集，真子集；
【解】 由题意得M＝{0，1，2}，
M的子集有： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}；
M的真子集有： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
(2)求集合N的子集数，非空真子集数．
【解】 N＝{－2，－1，0，1}，
N有4个元素，N的子集数为24＝16，
N的非空真子集数为24－2＝14.
(1)求集合的子集或真子集的思路
(2)求集合的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集： 和自身．
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏．
[跟踪训练2] (1)已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个．
√
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
所以A的所有子集为： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
三 由集合间的关系求参数
[例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)}，且B A，则实数m的取值范围是 ．
【解析】 由于B A，结合数轴分析可知，m≤4.
又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1 {m|1＜m≤4}
母题探究 本例若将“B＝{x|11)}”改为“B＝{x|1解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4.
综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}．
由集合间的关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论．
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意 (1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有参数时，一般需要分类讨论．
[跟踪训练3] (1)已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B A，则实数a的取值所组成的集合是( )
A．{－1，2} B．{－2，1}
C．{－2，0，1} D．{－1，0，2}
解析：因为B A，
当a＝0时，B＝ ，满足条件；
当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.
综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}．故选C.
√
(2)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A B，则a的取值范围是 ．
解析：因为A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，又A B，
所以a≤1.
{a|a≤1}
课堂巩固自测
1.(教材P14练习BT1改编)集合{1，3}的子集有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：集合{1，3}的子集有 ，{1}，{3}，{1，3}，共4个．
√
√
3.(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈M B．{1}∈M
C． M D．{0，1} M
解析：因为M＝{0，1}，所以0∈M，1∈M， M，{0，1} M，故A，C，D均正确，B错误．
√
√
√
4.已知集合A＝{x|－a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，A B，求实数a的取值范围．
1.已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集．
2.须贯通：利用列举法、维恩图及数轴判定两集合的关系，维恩图和数轴都体现了数形结合的数学思想．
3.应注意：(1)混淆子集和真子集的概念；
(2)在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论．1.1.2 集合的基本关系
新课导入 学习目标
本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合A，其中高一(1)班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系． 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 3.在具体情境中，了解空集的含义．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合A，中国参赛运动员组成集合B.
思考1 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗？
提示：不是．
思考2 集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素吗？
提示：都是．
[知识梳理]
1.子集与真子集的定义
类别 文字语言 符号语言 图形语言 结论
子集 一般地，如果集合A的 元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) INCLUDEPICTURE "../../生物/AT4.TIF" \* MERGEFORMAT (1)A A， A(2)若A B，B C，则A C
真子集 一般地，如果集合A是集合B的 ，并且B中 有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 A?B(或B?A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) INCLUDEPICTURE "../../生物/AT5.TIF" \* MERGEFORMAT (1)若A?B，B?C，则A C(2)若A B且A≠B，则A B
2.维恩图
如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图．
点拨 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A A.
(2)空集是任意一个集合A的子集，即 A，空集是任意一个非空集合B的真子集，即 ?B.
(3)对于集合A，B，C，如果A B，B C，则 A C；
对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，则A?C.
(4)如果A B且B A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A B且B A.
[答案自填] 任意一个 子集 至少 ? ? 封闭曲线
[例1] (对接教材例3)指出下列各组集合之间的关系．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}；
(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}；
(4)A＝{x|1【解】 (1)因为B＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，所以A B.
(2)A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B.
(3)集合M与集合N都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，所以1∈M， 且1 N，故N M.
(4)A＝{x|1则集合B＝{x|x<9}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC3.TIF" \* MERGEFORMAT
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
判断集合间关系的常用方法
INCLUDEPICTURE "../../生物/23BC6.TIF" \* MERGEFORMAT
[跟踪训练1] （1）已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则（ ）
A．1 M B．－1 M
C．{－1，1} M D．{－1，1}∈M
解析：选C.集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M，元素与集合不能用“ ”符号，B错误；根据子集的定义，有{－1，1} M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用“∈”符号，D错误．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
①A B；②A C；
③{2} C；④2 C.
解析：A＝{1，2}，B＝{1，2}，C＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故①A＝B；②A?C；③{2}?C；④2∈C.
答案：①＝ ②? ③? ④∈
[例2] (对接教材例1)已知集合M＝{x|x＜3且x∈N}，N＝{x|－2≤x＜2且x∈Z}．
(1)写出集合M的子集，真子集；
(2)求集合N的子集数，非空真子集数．
【解】 (1)由题意得M＝{0，1，2}，
M的子集有： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}；
M的真子集有： ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．
(2)N＝{－2，－1，0，1}，
N有4个元素，N的子集数为24＝16，
N的非空真子集数为24－2＝14.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)求集合的子集或真子集的思路
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC7.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)求集合的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集： 和自身．
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，做到不重不漏．
[跟踪训练2] (1)已知集合A?{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选D.满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共有5个．
(2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解：因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
所以A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
所以A的所有子集为： ，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
[例3] 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)}，且B A，则实数m的取值范围是 ．
【解析】 由于B A，结合数轴分析可知，m≤4.
又m>1，所以实数m的取值范围是{m|1INCLUDEPICTURE "../../生物/C1-3.TIF" \* MERGEFORMAT
【答案】 {m|1＜m≤4}
母题探究 本例若将“B＝{x|11)}”改为“B＝{x|1解：若m≤1，则B＝ ，满足B A.
若m>1，则由例题解析可知1＜m≤4.
综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤4}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
由集合间的关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论．
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注意 (1)不能忽视集合为 的情形．
(2)当集合中含有参数时，一般需要分类讨论．
[跟踪训练3] (1)已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B A，则实数a的取值所组成的集合是( )
A．{－1，2} B．{－2，1}
C．{－2，0，1} D．{－1，0，2}
解析：选C.因为B A，
当a＝0时，B＝ ，满足条件；
当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.
综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}．故选C.
(2)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A B，则a的取值范围是 ．
解析：因为A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，又A B，
所以a≤1.
答案：{a|a≤1}
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(教材P14练习BT1改编)集合{1，3}的子集有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选A.集合{1，3}的子集有 ，{1}，{3}，{1，3}，共4个．
2.已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．B A
解析：选A.因为A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，所以A?B.故选A.
3.(多选)已知集合M＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈M B．{1}∈M
C． M D．{0，1} M
解析：选ACD.因为M＝{0，1}，所以0∈M，1∈M， M，{0，1} M，故A，C，D均正确，B错误．
4.已知集合A＝{x|－a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，A B，求实数a的取值范围．
解：因为A B，所以可分为A＝ 和A≠ 两种情况，
当A＝ 时，－a>a，解得a<0；
当A≠ 时，应满足解得0≤a≤2.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤2}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：子集、真子集的概念与性质、集合相等、空集．
2.须贯通：利用列举法、维恩图及数轴判定两集合的关系，维恩图和数轴都体现了数形结合的数学思想．
3.应注意：(1)混淆子集和真子集的概念；
(2)在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论．
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