第2课时 全集、补集及综合应用
新课导入 学习目标
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-13.TIF" \* MERGEFORMAT 在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识． 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义．2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．3.会用维恩图、数轴解决集合的综合运算问题．
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F.
思考1 这三个集合之间有什么联系？
提示：S＝M∪F，M∩F＝ .
思考2 如果x∈S且x M，你能得到什么结论？
提示：由x组成的集合恰为集合F.
[知识梳理]
1.全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常用 表示．
点拨 全集不是固定不变的，是相对于研究的具体问题情境而言的，例如在整数范围内研究问题，则全集U＝Z，在实数范围内研究问题，则全集U＝R.
2.补集及其性质
(1)定义
INCLUDEPICTURE "学AT12.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/学AT12.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)性质
①A∪( UA)＝ ．
②A∩( UA)＝ ．
③ UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝ ．
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B).
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B).
点拨 (1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
(2) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
[答案自填] 子集 U UA {x|x∈U，且x A} U A
[例1] (对接教材例5)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为( )
A．{x∈R|0＜x＜2}
B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2}
D．{x∈R|0≤x≤2}
【解析】 借助数轴(如图)易得 UA＝{x∈R|0＜x≤2}．
INCLUDEPICTURE "../../生物/23BC21.TIF" \* MERGEFORMAT
【答案】 C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
[跟踪训练1] (1)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则 UA＝( )
A．{1，3} B．{1，3，5}
C．{0，1，3} D．{0，1，3，5}
解析：选C.U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，所以 UA＝{0，1，3}．故选C.
(2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则 UM＝( )
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2
C．{x|x<－2，或x>2}
D．{x|x≤－2，或x≥2}
解析：选A.画出数轴如图，
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC18.TIF" \* MERGEFORMAT
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．
[例2] (对接教材例4)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【解】 根据题意，画出数轴，
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC19.TIF" \* MERGEFORMAT
由图1可得 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC20.TIF" \* MERGEFORMAT
由图2可得 UB＝{x|x<－3，或2INCLUDEPICTURE "../../生物/CC21.TIF" \* MERGEFORMAT
由图3可得A∩B＝{－2所以( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
集合混合运算的一般思路
(1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；
(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；
(3)注意对运算结果进行检验．
[跟踪训练2] (1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝( )
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
解析：选D.因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：把集合A，B在数轴上表示如图，
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC22.TIF" \* MERGEFORMAT
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}．
A∪B＝{x|2因为 RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解】 由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2在数轴上表示，如图，
INCLUDEPICTURE "../../生物/C1-13.TIF" \* MERGEFORMAT
所以－m≤－2，即m≥2.
所以实数m的取值范围是[2，＋∞).
母题探究 若将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
解：因为A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B＝B，所以B UA，
所以－m≥4，解得m≤－4.
所以实数m的取值范围是(－∞，－4].
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
由集合的补集求解参数的方法
(1)对于由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
[跟踪训练3] (1)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}， UM＝{－1}，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．－1
解析：选A.由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.
(2)已知集合A＝{x|x解析：因为B＝{x|1答案：[2，＋∞)
拓视野 集合中元素个数与容斥原理
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card(A)＝n.
关于集合中的元素个数有下面的关系(也称容斥原理)：
二元容斥原理card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-25.TIF" \* MERGEFORMAT
三元容斥原理card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-26.TIF" \* MERGEFORMAT
[典例] 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【解析】 设擅长语文的同学构成集合A，擅长英语的同学构成集合B，20人代表队构成全集U，
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-27.TIF" \* MERGEFORMAT
则card(A)＝10，card(B)＝12，
card(A∩B)＝5，card(U)＝20，
所以card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝10＋12－5＝17，
所以card( U(A∪B))＝20－17＝3，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为3.
【答案】 C
[练习] 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ．
解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a，b，c，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为x，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为y，
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-28.TIF" \* MERGEFORMAT
喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为z，如图，则
后三个方程相加得2(a＋b＋c)＋x＋y＋z＝54，与第一个方程消去a＋b＋c得x＋y＋z＝26，所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为26＋20＝46.
答案：46
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(教材P20练习AT5改编)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合 UM＝( )
A．{x|－2B．{x|x<－2，或x>3}
C．{x|－2≤x≤3}
D．{x|x≤2，或x≥3}
解析：选B.由题意得 UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B.
2.已知U＝Z，M＝{1，3，5，7，9}，N＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是( )
INCLUDEPICTURE "../../生物/AT13+.TIF" \* MERGEFORMAT
A．{1，3，5} B．{1，2，3，4，5}
C．{7，9} D．{2，4}
解析：选D.题图中阴影部分表示的集合是( UM)∩N＝{2，4}．故选D.
3.设全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|1≤x<2} B．{x|x<2}
C．{x|x≥5} D．{x|1解析：选D.因为 UB＝{x|x<2，或x≥5}，所以A∩( UB)＝{x|14.(教材P20练习BT4改编)已知全集U＝{3，a}，集合A＝{b}， UA＝{5}，则a＋b＝ ．
解析：由题意得{3，a}＝{b，5}，即a＝5，b＝3，所以a＋b＝8.
答案：8
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数．
2.须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想(正难则反).
3.应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
第2课时 全集、补集及综合应用
新课导入 学习目标
在某次数学模拟
考试中，单选题的第8
题有四个选项，某同学
求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识． 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义．
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
3.会用维恩图、数轴解决集合的综合运算问题．
一 全集与补集
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F.
思考1 这三个集合之间有什么联系？
提示：S＝M∪F，M∩F＝ .
思考2 如果x∈S且x M，你能得到什么结论？
提示：由x组成的集合恰为集合F.
[知识梳理]
1.全集
(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常用 表示．
点拨 全集不是固定不变的，是相对于研究的具体问题情境而言的，例如在整数范围内研究问题，则全集U＝Z，在实数范围内研究问题，则全集U＝R.
子集
U
2.补集及其性质
(1)定义
UA
{x|x∈U，且x A}
(2)性质
①A∪( UA)＝ ．
②A∩( UA)＝ ．
③ UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝ ．
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B).
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B).
点拨 (1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
(2) UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且 UA U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
U
A
[例1] (对接教材例5)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集 UA为( )
A．{x∈R|0＜x＜2}
B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2}
D．{x∈R|0≤x≤2}
【解析】 借助数轴(如图)易得 UA＝{x∈R|0＜x≤2}．
√
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
[跟踪训练1] (1)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则 UA＝( )
A．{1，3} B．{1，3，5}
C．{0，1，3} D．{0，1，3，5}
解析：U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，所以 UA＝{0，1，3}．故选C.
√
(2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则 UM＝( )
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>2}
D．{x|x≤－2，或x≥2}
解析：画出数轴如图，
可知 UM＝{x|－2≤x≤2}．
√
二 集合交、并、补的混合运算
[例2] (对接教材例4)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2【解】 根据题意，画出数轴，
由图1可得 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
由图2可得 UB＝{x|x<－3，或2
由图3可得A∩B＝{－2所以( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2集合混合运算的一般思路
(1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；
(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；
(3)注意对运算结果进行检验．
√
(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：把集合A，B在数轴上表示如图，
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}．
A∪B＝{x|2因为 RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2三 与补集有关的参数问题
[例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解】 由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，即m≥2.
所以实数m的取值范围是[2，＋∞).
母题探究 若将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
解：因为A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B＝B，所以B UA，
所以－m≥4，解得m≤－4.
所以实数m的取值范围是(－∞，－4].
由集合的补集求解参数的方法
(1)对于由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
[跟踪训练3] (1)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}， UM＝{－1}，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．－1
解析：由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.
√
(2)已知集合A＝{x|x解析：因为B＝{x|1[2，＋∞)
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card(A)＝n.
关于集合中的元素个数有下面的关系(也称容斥原理)：
二元容斥原理card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；
拓视野 集合中元素个数与容斥原理
三元容斥原理card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C).
[典例] 为提升学生学习双语的热情，某教学联盟计划举行“语文情境默写”“英语读后续写”两项竞赛，某校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
√
【解析】 设擅长语文的同学构成集合A，擅长英语的同学构成集合B，20人代表队构成全集U，
则card(A)＝10，card(B)＝12，
card(A∩B)＝5，card(U)＝20，
所以card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝10＋12－5＝17，
所以card( U(A∪B))＝20－17＝3，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为3.
[练习] 小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ．
解析：设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a，b，c，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为x，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为y，
46
课堂巩固自测
1.(教材P20练习AT5改编)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合 UM＝( )
A．{x|－2B．{x|x<－2，或x>3}
C．{x|－2≤x≤3}
D．{x|x≤2，或x≥3}
解析：由题意得 UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B.
√
2.已知U＝Z，M＝{1，3，5，7，9}，N＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{1，3，5} B．{1，2，3，4，5}
C．{7，9} D．{2，4}
解析：题图中阴影部分表示的集合是( UM)∩N＝{2，4}．故选D.
√
3.设全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|1≤x<2} B．{x|x<2}
C．{x|x≥5} D．{x|1解析：因为 UB＝{x|x<2，或x≥5}，所以A∩( UB)＝{x|1√
4.(教材P20练习BT4改编)已知全集U＝{3，a}，集合A＝{b}， UA＝{5}，则a＋b＝ ．
解析：由题意得{3，a}＝{b，5}，即a＝5，b＝3，所以a＋b＝8.
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1.已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数．
2.须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想(正难则反).
3.应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值．