1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
新课导入 学习目标
某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 1.理解命题的概念，并会判断命题的真假．2.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义．3.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法．
[知识梳理]
定义 可供 的陈述语句
分类 真命题：判断为 的语句
假命题：判断为 的语句
注意 数学中的命题，还经常借助 来表达
一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题
[答案自填] 真假判断 真 假 符号和式子
[即时练]
判断下列语句中哪些是命题，若是命题，则判断其真假．
(1)地球是太阳系的一颗行星；
(2)0 N；
(3)空集是任何非空集合的子集；
(4)求|x＋a|；
(5)求证为无理数．
解：(1)是命题，且为真命题．(2)是命题，且为假命题．(3)是命题，且为真命题．(4)是祈使句，不是命题．(5)是祈使句，不是命题．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
(1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
[知识梳理]
类别 全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有 的命题，称为全称量词命题 含有 的命题，称为存在量词命题
命题形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“ __________________” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“ ”
[答案自填] 全称量词 存在量词
x∈M，r(x) x∈M，s(x)
角度1 全称量词命题与存在量词命题的识辨
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些实数的绝对值不是正数；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
【解】 (1)是全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
(2)是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为 x∈R，|x|≤0.
(4)是存在量词命题，表示为 a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的思路
INCLUDEPICTURE "../../生物/ZS2.TIF" \* MERGEFORMAT
角度2 全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[例2] (对接教材例题)判断下列命题的真假．
(1) x∈R，x2＋1>0；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3) x∈N，x2>0.
【解】 (1)因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
判断全称量词命题和存在量词
命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题“ x∈M，p(x)”为真，必须对在给定集合M中的每一个元素x，验证命题p(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．
(2)要判断一个存在量词命题“ x∈M，p(x)”为真，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使命题p(x0)成立；要判断一个存在量词命题为假，必须验证在给定集合M中的每一个元素x，都使得命题p(x)不成立．
[跟踪训练1] (1)下列命题是存在量词命题且是真命题的是( )
A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．有些实数是无限不循环小数
D．线段垂直平分线上的点到这条线两个端点的距离相等
解析：选C.A中命题含有全称量词“所有”，为全称量词命题；所有的二次函数的图象都有对称轴，为真命题．B中命题省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；平行四边形的对角线不一定相等，为假命题．C中命题含有存在量词“有些”，为存在量词命题；π是实数，且是无限不循环小数，为真命题．D中命题省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；由几何关系知D是真命题．
(2)下列命题为真命题的是( )
A． x∈R，|x|＞0
B． x∈R，|x|＜0
C． x∈R，x2－x＋1＞0
D． x∈R，x2－x＋1＜0
解析：选C.A选项：当x＝0时，|x|＝0，故A为假命题；
B选项：由于|x|≥0恒成立，故B为假命题；
C，D选项：由x2－x＋1＝＋＞0恒成立，所以 x∈R，x2－x＋1＞0正确，故C为真命题，D为假命题．故选C.
(3)用量词符号“ ”“ ”表示下列命题．
①有的实数不能写成小数形式：________________________________；
②凸n边形的外角和都等于360°：_________________________________
_________________________________________________________________
答案：① x∈R，x不能写成小数形式 ② x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于360°
[例3] 已知命题p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，若p为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 命题p为真命题，转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.
母题探究 本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由题得命题q： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q为真命题，转化为x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法：
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式解决．
[跟踪训练2] 若 x∈R，x2－2x＋a＝0，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选B.若 x∈R，x2－2x＋a＝0，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].故选B.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．存在一个实数，使－2x2＋x－4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在偶数2n是7的倍数
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
解析：选CD.A中方程－2x2＋x－4＝0无实根，故A为假命题；B中2是质数，但不是奇数，故B为假命题；C中存在n＝7，2n＝14是7的倍数，故C为真命题；D中至少存在一个正整数35，能被5和7整除．故D为真命题．
2.(教材P27练习AT3改编)下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1<0
B． x∈Z，3x＋1是整数
C． x∈R，|x|>3
D． x∈Q，x2∈Z
解析：选B.A是假命题．因为 x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0；
B是真命题．当x＝1时，3x＋1＝4是整数；
C是假命题．如x＝2时，|x|<3；
D是假命题．如x＝，x2 Z.
3.以下命题中既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：选B.锐角三角形的内角都是锐角，所以A为假命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B为真命题，符合题意．＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任何一个负数x，都有＜0，所以D为假命题．故选B.
4.对任意x∈R，等式m2(1－x)＝mx＋1成立，则实数m＝ ．
解析：因为对任意x∈R，等式m2(1－x)＝mx＋1成立，
所以m2－1＝mx＋m2x＝(m＋m2)x，
则解得m＝－1.
答案：－1
5.(教材P28T4(2)改编)已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为真命题，则a的取值范围是 ．
解析：由题意，x＋a－1＝0有正数解，因为x＋a－1＝0，所以x＝1－a，所以1－a＞0，解得a＜1，所以a的取值范围是(－∞，1).
答案：(－∞，1)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：全称量词(命题)、存在量词(命题)的概念．
2.须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想．
3.应注意：有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”．
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1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
新课导入 学习目标
某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！ 1.理解命题的概念，并会判断命题的真假．
2.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义．
3.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法．
一 命题及其真假的判断
[知识梳理]
定义 可供 的陈述语句
分类 真命题：判断为 的语句
假命题：判断为 的语句
注意 数学中的命题，还经常借助 来表达
一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题
真假判断
真
假
符号和式子
[即时练]
判断下列语句中哪些是命题，若是命题，则判断其真假．
(1)地球是太阳系的一颗行星；
解：是命题，且为真命题．
(2)0 N；
解：是命题，且为假命题．
(3)空集是任何非空集合的子集；
解：是命题，且为真命题．
(4)求|x＋a|；
解：是祈使句，不是命题．
解：是祈使句，不是命题．
(1)一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
(2)判断命题真假性的两个技巧
①真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
②假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
二 量词
[知识梳理]
类别 全称量词 存在量词
量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个
符号
命题 含有______________的命题，称为全称量词命题 含有______________的命题，称为存在量词命题
命题
形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可简记为“______________” “存在集合M中的元素x，s(x)”，可简记为“______________”
全称量词
存在量词
x∈M，r(x)
x∈M，s(x)
角度1 全称量词命题与存在量词命题的识辨
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
【解】 是全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
(2)存在实数x，满足x2≥2；
【解】 是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3)有些实数的绝对值不是正数；
【解】 是存在量词命题，表示为 x∈R，|x|≤0.
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
【解】 是存在量词命题，表示为 a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的思路
角度2 全称量词命题与存在量词命题真假的判断
[例2] (对接教材例题)判断下列命题的真假．
(1) x∈R，x2＋1>0；
【解】 因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题．
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
【解】 真命题，如梯形．
(3) x∈N，x2>0.
【解】 因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
判断全称量词命题和存在量词
命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题“ x∈M，p(x)”为真，必须对在给定集合M中的每一个元素x，验证命题p(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．
(2)要判断一个存在量词命题“ x∈M，p(x)”为真，只要在给定的集合M中找到一个元素x0，使命题p(x0)成立；要判断一个存在量词命题为假，必须验证在给定集合M中的每一个元素x，都使得命题p(x)不成立．
[跟踪训练1] (1)下列命题是存在量词命题且是真命题的是( )
A．所有的二次函数的图象都是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．有些实数是无限不循环小数
D．线段垂直平分线上的点到这条线两个端点的距离相等
√
解析：A中命题含有全称量词“所有”，为全称量词命题；所有的二次函数的图象都有对称轴，为真命题．B中命题省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；平行四边形的对角线不一定相等，为假命题．C中命题含有存在量词“有些”，为存在量词命题；π是实数，且是无限不循环小数，为真命题．D中命题省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；由几何关系知D是真命题．
(2)下列命题为真命题的是( )
A． x∈R，|x|＞0
B． x∈R，|x|＜0
C． x∈R，x2－x＋1＞0
D． x∈R，x2－x＋1＜0
√
(3)用量词符号“ ”“ ”表示下列命题．
①有的实数不能写成小数形式：________________________________；
②凸n边形的外角和都等于360°：__________________________________.
x∈R，x不能写成小数形式
x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和等于360°
三 依据含量词命题的真假求参数
[例3] 已知命题p： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，若p为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 命题p为真命题，转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.
母题探究 本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由题得命题q： x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，命题q为真命题，转化为x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4.
利用含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法：
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式解决．
[跟踪训练2] 若 x∈R，x2－2x＋a＝0，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：若 x∈R，x2－2x＋a＝0，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].故选B.
√
课堂巩固自测
1.(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．存在一个实数，使－2x2＋x－4＝0
B．所有的质数都是奇数
C．存在偶数2n是7的倍数
D．至少存在一个正整数，能被5和7整除
解析：A中方程－2x2＋x－4＝0无实根，故A为假命题；B中2是质数，但不是奇数，故B为假命题；C中存在n＝7，2n＝14是7的倍数，故C为真命题；D中至少存在一个正整数35，能被5和7整除．故D为真命题．
√
√
2.(教材P27练习AT3改编)下列命题中是真命题的是( )
A． x∈R，x2＋2x＋1<0
B． x∈Z，3x＋1是整数
C． x∈R，|x|>3
D． x∈Q，x2∈Z
√
√
4.对任意x∈R，等式m2(1－x)＝mx＋1成立，则实数m＝ ．
－1
5.(教材P28T4(2)改编)已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为真命题，则a的取值范围是 ．
解析：由题意，x＋a－1＝0有正数解，因为x＋a－1＝0，所以x＝1－a，所以1－a＞0，解得a＜1，所以a的取值范围是(－∞，1).
(－∞，1)
1.已学习：全称量词(命题)、存在量词(命题)的概念．
2.须贯通：含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体现了转化思想．
3.应注意：有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词命题强调“个别、存在性”．
