(共34张PPT)
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
新课导入 学习目标
学校举行秋季运动会，
高一(1)班的同学们积极踊
跃报名参赛，有的跳远，有
的跳高，有的接力，有的百米……，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题． 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
2.能使用维恩图或数轴表达集合的关系及运算．
一 交集
观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，D＝{2}，E＝{3}，回答下面的问题．
思考1 集合A与集合B有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？
提示：有公共元素，组成的集合是{2，3}．
思考2 集合C，D，E中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：既属于A，又属于B.
思考3 集合C与集合D，E有什么区别？
提示：集合C中的元素是由既属于A，又属于B的所有元素组成的，集合D，E中的元素是由既属于A，又属于B的其中一个元素组成的．
[知识梳理]
1.交集的概念
(1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由____________________的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作_________(读作“A交 B”).
(2)符号语言：A∩B＝_____________________．
既属于A又属于B
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
(3)图形语言：如图所示．
(4)我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解．
2.交集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∩B＝ ；
②A∩A＝ ；
③A∩ ＝ ∩A＝ ；
④如果A B，则A∩B＝ ，反之也成立．
B∩A
A
A
[例1] (1)(对接教材例2)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝ .
【解析】 A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}．
{x|x是等腰直角三角形}
求集合A∩B的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练1] (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
解析：由题易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
√
(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2，1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2，1)} D．(2，1)
√
二 并集
请同学们观察下列三组集合：
①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}；
②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}；
③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}．
思考1 集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？
提示：集合C中的元素由所有属于A或属于B的元素组成．
思考2 ①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？
提示：①中等于，③中不等于．
[知识梳理]
1.并集的概念
(1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的 元素组成的集合，称为A与B的并集，记作 (读作“A并B”).
(2)符号语言：A∪B＝ ．
所有
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
(3)图形语言：如图所示．
(4)我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解．
2.并集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∪B＝ ；
②A∪A＝ ；
③A∪ ＝ ∪A＝ ；
④如果A B，则A∪B＝ ，反之也成立．
提醒 (1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A 且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
B∪A
A
A
B
[例2] (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
【解析】 由题意得，A∪B＝{1，2，3，4}．
√
(2)(对接教材例3)已知集合P＝(－∞，3)，Q＝[－1，4]，那么P∪Q＝( )
A．[－1，3) B．[－1，4]
C．(－∞，4] D．[－1，＋∞)
【解析】 在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝(－∞，4].
√
求集合M∪N的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练2] (1)(多选)已知集合M＝{x|－3
5}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．(－∞，－5)∪(－3，＋∞)
D．(－5，5)
解析：在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}＝(－∞，－5)∪(－3，＋∞).
√
√
(2)已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有 个．
解析：若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有2个．
2
三 由集合的交集、并集求参数
[例3] 已知集合A＝{x|20}．
(1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3母题探究 在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3利用集合间的关系求参数的一般步骤
(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集．
(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．
[跟踪训练3] (1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝( )
A．{0，2} B．{0，5}
C．{0，2，2，5} D．{0，2，5}
解析：因为A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，
所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}．故选D.
√
(2)设集合M＝{x|－2(－∞，2]
课堂巩固自测
1.已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3.
√
2.(多选)已知集合A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限．
√
√
√
3.若集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，则A∪B＝ ，C∩B＝ ．
{x|2{x|24.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为 ．
解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3.
±3
1.已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围．
2.须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于维恩图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏．
3.应注意：(1)利用集合关系求参数时切莫遗忘空集；
(2)无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键．1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
新课导入 学习目标
INCLUDEPICTURE "../../生物/26TBSX-8.TIF" \* MERGEFORMAT 学校举行秋季运动会，高一(1)班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米……，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题． 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.能使用维恩图或数轴表达集合的关系及运算．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，D＝{2}，E＝{3}，回答下面的问题．
思考1 集合A与集合B有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？
提示：有公共元素，组成的集合是{2，3}．
思考2 集合C，D，E中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：既属于A，又属于B.
思考3 集合C与集合D，E有什么区别？
提示：集合C中的元素是由既属于A，又属于B的所有元素组成的，集合D，E中的元素是由既属于A，又属于B的其中一个元素组成的．
[知识梳理]
1.交集的概念
(1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由 的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作 (读作“A交 B”).
(2)符号语言：A∩B＝ ．
(3)图形语言：如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../生物/23B5.TIF" \* MERGEFORMAT
(4)我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解．
2.交集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∩B＝ ；
②A∩A＝ ；
③A∩ ＝ ∩A＝ ；
④如果A B，则A∩B＝ ，反之也成立．
[答案自填] 既属于A又属于B A∩B
{x|x∈A且x∈B} B∩A A A
[例1] (1)(对接教材例2)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝ .
(2)(对接教材例1)设集合M＝{x|0【解析】 (1)A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}．
(2)因为M＝{x|0＜x＜4}，N＝，画出数轴如图所示．
所以M∩N＝.
【答案】 (1){x|x是等腰直角三角形}
(2)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
求集合A∩B的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练1] (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
INCLUDEPICTURE "../../生物/SXRB1.TIF" \* MERGEFORMAT
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
解析：选A.由题易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2，1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2，1)} D．(2，1)
解析：选C.A∩B＝＝{(2，1)}．
请同学们观察下列三组集合：
①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}；
②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，C＝{x|x是整数}；
③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}．
思考1 集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？
提示：集合C中的元素由所有属于A或属于B的元素组成．
思考2 ①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？
提示：①中等于，③中不等于．
[知识梳理]
1.并集的概念
(1)自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的 元素组成的集合，称为A与B的并集，记作 (读作“A并B”).
(2)符号语言：A∪B＝ ．
(3)图形语言：如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../生物/23B6.TIF" \* MERGEFORMAT
(4)我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解．
2.并集运算的性质
对于任意两个集合A，B，都有：
①A∪B＝ ；
②A∪A＝ ；
③A∪ ＝ ∪A＝ ；
④如果A B，则A∪B＝ ，反之也成立．
提醒 (1)A∪B仍是一个集合．
(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A 且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
[答案自填] 所有 A∪B {x|x∈A或x∈B} B∪A A A B
[例2] (1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4} D．{1，3，4}
(2)(对接教材例3)已知集合P＝(－∞，3)，Q＝[－1，4]，那么P∪Q＝( )
A．[－1，3) B．[－1，4]
C．(－∞，4] D．[－1，＋∞)
【解析】 (1)由题意得，A∪B＝{1，2，3，4}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝(－∞，4].
INCLUDEPICTURE "../../生物/23B7.TIF" \* MERGEFORMAT
【答案】 (1)A (2)C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
求集合M∪N的常用方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
[跟踪训练2] (1)(多选)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．(－∞，－5)∪(－3，＋∞)
D．(－5，5)
解析：选AC.在数轴上表示集合M，N，如图所示，
INCLUDEPICTURE "../../生物/SXRB2.TIF" \* MERGEFORMAT
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}＝(－∞，－5)∪(－3，＋∞).
(2)已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有 个．
解析：若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有2个．
答案：2
[例3] 已知集合A＝{x|20}．
(1)若A∪B＝B，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3【解】 (1)因为A∪B＝B，所以A B，画出数轴(如图).
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC14.TIF" \* MERGEFORMAT
观察数轴可知所以≤a≤2.
经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为.
(2)画出数轴如图，A∩B＝{x|3INCLUDEPICTURE "../../生物/CC15.TIF" \* MERGEFORMAT
观察图形可知解得a＝3.
母题探究 在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3解：由于A∩B＝ ，结合数轴(图略)得a≥4，或3a≤2.又因为a>0，所以a≥4或0故实数a的取值范围是∪.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
利用集合间的关系求参数的一般步骤
(1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系．
(2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集．
(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围．
[跟踪训练3] (1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝( )
A．{0，2} B．{0，5}
C．{0，2，2，5} D．{0，2，5}
解析：选D.因为A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，
所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}．故选D.
(2)设集合M＝{x|－2解析：由M∩N＝N得N M，
当N＝ ，即2t＋1≤2－t时，得t≤，此时M∩N＝N成立；
当N≠ 时，由图可得
解得INCLUDEPICTURE "../../生物/B24-5.TIF" \* MERGEFORMAT
综上可知，实数t的取值范围是(－∞，2].
答案：(－∞，2]
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B.由题意，A∩B＝{5，7，11}，故A∩B中元素的个数为3.
2.(多选)已知集合A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选BCD.由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限．
3.若集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，则A∪B＝ ，C∩B＝ ．
解析：由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2INCLUDEPICTURE "../../生物/23B8.TIF" \* MERGEFORMAT
得到A∪B＝{x|2由集合B＝{x|2INCLUDEPICTURE "../../生物/23B9.TIF" \* MERGEFORMAT
则C∩B＝{x|2答案：{x|24.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，3，2，9}，则实数a的值为 ．
解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3.
答案：±3
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结LLL.TIF" )
1.已学习：并集、交集的概念及运算，根据集合间的运算求参数范围．
2.须贯通：集合的交集、并集的运算，常借助于维恩图、数轴等工具来直观显示集合间的关系，如含有参数，则注意分类讨论，不重不漏．
3.应注意：(1)利用集合关系求参数时切莫遗忘空集；
(2)无限集的并集与交集，端点值取到与否是关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)