1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件
新课导入 学习目标
“有之则必然，无之则未必不然”“无之则必不然，有之则未必然”，这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义．2.理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习LLL.TIF"
有如图所示的电路图．
INCLUDEPICTURE "../../生物/25B2.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？
提示：图1.
思考2 哪一个电路图可以说明，当q灯亮时，p开关一定闭合呢？
提示：图2.
[知识梳理]
1.定义：若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作 ，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作 ，读作“p推不出q”．当p q时，我们称p是q的 ，q是p的 ；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
2.用集合知识理解充分条件与必要条件
INCLUDEPICTURE "../../生物/23B29.TIF" \* MERGEFORMAT
一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A B(如图所示)，那么 p(x) q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的 ，q(x)是p(x)的 ．
3.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
(1)判定定理实际上是给出了一个充分条件；
(2)性质定理实际上是给出了一个必要条件．
[答案自填] p q p q 充分条件 必要条件 充分条件 必要条件
角度1 充分条件的判断
[例1] 下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：同位角相等，q：两条直线平行；
(3)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
【解】 (1)因为p q，所以p是q的充分条件．
(2)因为p q，所以p是q的充分条件．
(3)因为p q，所以p是q的充分条件．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件先分清什么是p，什么是q，即转化成p q的问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，由p构成的集合为A，由q构成的集合为B，若A B，则p是q的充分条件．
角度2 必要条件的判断
[例2] 下列各题中，哪些q是p的必要条件？
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
【解】 (1)当x＝1时，x－1＝＝0，所以p q，所以q是p的必要条件．
(2)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以p q，所以q不是p的必要条件．
(3)等边三角形一定是等腰三角形，所以p q，所以q是p的必要条件．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
[跟踪训练1] 下列各题中，哪些p是q的充分条件？哪些p是q的必要条件？
(1)p：四边形ABCD为菱形，q：四边形ABCD为平行四边形；
(2)p：a＝b，q：ac＝bc；
(3)p：A∩B＝A，q：A?B.
解：(1)因为四边形ABCD为菱形 四边形ABCD为平行四形，即p q，所以p是q的充分条件．
因为四边形ABCD为平行四边形 四边形ABCD为菱形，即q p，所以p不是q的必要条件．
(2)因为a＝b ac＝bc，即p q，所以p是q的充分条件．
因为ac＝bc a＝b，即q p，所以p不是q的必要条件．
(3)若A∩B＝A，则A B，
所以p q，所以p不是q的充分条件．
若A?B，则A∩B＝A，所以q p，所以p是q的必要条件．
[例3] 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【解】 p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}．
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，所以解得－≤a＜0，所以实数a的取值范围是.
母题探究 将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：－a＜x＜3a，
即集合A＝{x |－a＜x＜3a}．
q：－2≤x≤3，
即集合B＝{x|－2≤x≤3}
因为q p，所以B A，
所以
所以实数a的取值范围是(2，＋∞).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "感悟提升LLL.TIF" )
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练2] 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，且p：x∈A，q：x∈B.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解：由已知可得
A＝＝，
B＝{x|x≥－2m}．
(1)若p是q的充分条件，则p q，所以A B，
所以－2m≤－，所以m≥，
即实数m的取值范围是.
(2)若p是q的必要条件，则q p，所以B A，
所以－2m≥－，解得m≤.
即实数m的取值范围是.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../生物/课堂巩固LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(教材P36T3(3)改编)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分条件也是必要条件
解析：选A.当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
2.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A．a>0，b>0 B．a＋b>0
C．a<0，b<0 D．a>1，b>1
解析：选ACD.要使ab>0成立，只需保证a，b同号即可，结合选项可知A，C，D符合条件．
3.(教材P36练习BT2(3)改编)已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的 条件．(用“充分”或“必要”填空)
解析：由图可知，p是q的充分条件．
INCLUDEPICTURE "../../生物/CC32.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：充分
4.若“x≥2”的必要条件是“x>a”，则a的取值范围是 ．
解析：设A＝{x|x≥2}，B＝{x|x>a}，因为“x≥2”的必要条件是“x>a”，所以A B，所以a<2，所以a的取值范围是{a|a<2}．
答案：{a|a<2}
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1.2.3 充分条件、必要条件
第1课时 充分条件、必要条件
新课导入 学习目标
“有之则必然，无之则未必不然”“无之则必不然，有之则未必然”，这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容． 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义．
2.理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．
一 充分条件与必要条件的判断
有如图所示的电路图．
思考1 哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？
提示：图1.
思考2 哪一个电路图可以说明，当q灯亮时，p开关一定闭合呢？
提示：图2.
p q
充分条件
必要条件
2.用集合知识理解充分条件与必要条件
一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A B
(如图所示)，那么 p(x) q(x)，因此也就有p(x)是
q(x)的 ，q(x)是p(x)的 ．
3.充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系
(1)判定定理实际上是给出了一个充分条件；
(2)性质定理实际上是给出了一个必要条件．
充分条件
必要条件
角度1 充分条件的判断
[例1] 下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
【解】 因为p q，所以p是q的充分条件．
(2)p：同位角相等，q：两条直线平行；
【解】 因为p q，所以p是q的充分条件．
(3)p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分．
【解】 因为p q，所以p是q的充分条件．
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件先分清什么是p，什么是q，即转化成p q的问题．
(2)除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，由p构成的集合为A，由q构成的集合为B，若A B，则p是q的充分条件．
角度2 必要条件的判断
[例2] 下列各题中，哪些q是p的必要条件？
(2)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．
【解】 等边三角形一定是等腰三角形，所以p q，所以q是p的必要条件．
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2)可利用集合间的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．
[跟踪训练1] 下列各题中，哪些p是q的充分条件？哪些p是q的必要条件？
(1)p：四边形ABCD为菱形，q：四边形ABCD为平行四边形；
(2)p：a＝b，q：ac＝bc；
二 充分条件与必要条件的应用
[例3] 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
母题探究 将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
[跟踪训练2] 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}，且p：x∈A，q：x∈B.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
课堂巩固自测
1.(教材P36T3(3)改编)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分条件也是必要条件
解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
√
2.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A．a>0，b>0 B．a＋b>0
C．a<0，b<0 D．a>1，b>1
解析：要使ab>0成立，只需保证a，b同号即可，结合选项可知A，C，D符合条件．
√
√
√
3.(教材P36练习BT2(3)改编)已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q的 条件．(用“充分”或“必要”填空)
解析：由图可知，p是q的充分条件．
充分
4.若“x≥2”的必要条件是“x>a”，则a的取值范围是 ．
解析：设A＝{x|x≥2}，B＝{x|x>a}，因为“x≥2”的必要条件是“x>a”，所以A B，所以a<2，所以a的取值范围是{a|a<2}．
{a|a<2}
