4.2用配方法解一元二次方程 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

4.2 用配方法解一元二次方程
【学习目标】
1.了解配方法的定义，掌握配方法解一元二次方程的步骤；
2.会用配方法解一元二次方程
【学习重点】用配方法解一元二次方程
【学习难点】熟练进行配方
【学习过程】
一、复习引入
1.平方根的定义
2.根据平方根的意义，解下列方程，对比一元一次方程的解的个数，说说根有什么特点。
①x2=9； ②x2=6； ③(x+3)2=1； ④(x-2)2=2； ⑤2（x-1）2=2； ⑥3（x+2）2=1
二、新知探究
任务1.观察下面的三个一元二次方程，回答问题：
（x + 5）2 = 9， ①
x2+ 10x + 25 = 9， ②
x2 + 10x = -16 . ③
（1）根据平方根的意义，你会解方程①吗？方程①有几个根？
（2）比较方程②与方程①，你发现它们有什么联系？根据这种联系，你会解方程②吗？
（3）比较方程②与③，你发现它们有哪些相同和不同？对于解方程③，由此能得到什么启示？
（4）利用（3）中得到的启示，尝试完成下面题目：
①x2+14x+____=（x+____）2 ②x2-20x+____=（x+ ____）2
③x2+32x+____=（x+____） ④x2-0.2x+____=（x+____）2
（5）想一想，为什么在方程③的两边都加上25之后，方程③的左边就成为一个完全平方式？
（6）如何解 x2 + 10x = -16？小组交流，并总结解题的过程。
知识点：配方法
当_________________时，可先把____________移到方程的_______，然后在方程的_____都加上_______________________，就把方程的左边配成了一个____________，从而可以由___________ 求解方程。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
【跟踪练习】用配方法解下列方程：
（1）x2 + 4x = -3； （2）x2 - 6x - 7 = 0；
任务2.观察下面的四个一元二次方程
①x2 + 4x = -3； ②-x2 + 4x = 3； ③2x2 + 3x - 1 = 0；
（1）这几个方程的特征有什么不同？
（2）如何把方程②③④转化成和方程①有共同特征的方程？
（3）如何解方程②③，同桌交流。
②-x2 + 4x = 3； ③2x2 + 3x - 1 = 0；
三、典型例题
例1.你会用配方法会用配方法解方程（x + 1）2 + 2（x + 1）= 8吗？你能找到几种解法？
例2.如果p与q都是常数，且p2≥4q，你会用配方法解关于x的一元二次方程x2 + px + q = 0吗？
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.用配方法解下列方程
（1）y2 = 8 - 2y （2）t2 + 8 = 6t .
2.用配方法解下列方程
（1）2x2 - 4x - 3 = 0； （2）2x2 - 7x + 3 = 0
六、课后分层作业
【基础闯关】
1.方程（x﹣2）2＝9的解是（　　）
A．x1＝5，x2＝﹣1 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝11，x2＝﹣7 D．x1＝﹣11，x2＝7
2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝b的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
3．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C．（y）2 D．
4．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
5．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
6．一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解该方程，配方后的方程为（　　）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1 C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
7.已知方程x2﹣2px+q＝0可以配方成（x﹣p）2＝7的形式，那么x2﹣2px+q＝2可以配方成下列的（　　）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x﹣p）2＝9 C．（x﹣p+2）2＝9 D．（x﹣p+2）2＝5
8．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．（x）2 C． D．
9. 用配方法解下列方程：
（1）x2 + 8x = 9； （2）x2 - 3x = 0 ； （3）x2 + 4x = -3； （4）x2 - 18x + 31 = 0 .
10. 用配方法解下列方程：
（1）x2 - 6x - 3 = 0； （2）-x2 + 4x = 3； （3）2x2 - 3x - 2 = 0； （4）3x2 - 6x - 1 = 0
11.（中国古代数学问题）有一个矩形，面积为864平方步，它的宽比长少12步。求这个矩形的长和宽.
【能力提升】
12.当x为________时，代数式5x2+7x+1和代数式x2﹣9x+15的值相等。
13.给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，则方程y'＝36的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4
14．若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
15．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）
A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0
16.若M＝3a2﹣a﹣1，N＝﹣a2+3a﹣2，则M、N的大小关系为（　　）
A．M＝N B．M≤N C．M≥N D．无法确定
17．把x2﹣4x+1化为a（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是　 　．
18．若关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则4＝　 　．
19．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记作，定义ad﹣bc，上述记号就叫作2阶行列式．若6，则x＝　 　
20.完全平方公式x2±2xy+y2＝（x±y）2及（x±y）2的值为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：
当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 　 　
证明，无论x取何实数，代数式2x2 - 8x + 18的值不小于10
21.已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2+1＝0．
若方程的一个根是1，求实数a的值．
（2）当a＝﹣2时，用配方法解方程．
【培优创新】
22.大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方．现请你先阅读如下方程（1）的解答过程，并按照此方法解方程（2）．
方程（1）． 方程（2）：．
解：，
，
，
，
，．