4.4用因式分解法解一元二次方程 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

4.4 用因式分解法解一元二次方程
【学习目标】
1.当一元二次方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的乘积时，会用因式分解法解这种特殊类型的一元二次方程；
2.理解因式分解法解一元二次方程的根据，感悟转化的数学思想；
3.能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题策略的多样性；
【学习重点】因式分解法解一元二次方程
【学习难点】能根据一元二次方程的具体特征，灵活选择方程的解法
【学习过程】
一、复习引入
回顾因式分解的方法，并举例说明：
二、新知探究
任务1. 观察一元二次方程 x2 + 7x = 0，并回答问题：
分别用配方法和公式法都可以求出它的解
x2 + 7x = 0（配方法） x2 + 7x = 0（公式法）
（2）观察这个方程的特征，除了上述两种解法，你还有更简便的求解方法吗？
（3）对于另外一种解法，小莹同学和小亮同学有不同的做法，你同意谁的？这种解法的依据是什么？另一个同学错在哪里？
小莹的解法：把方程左边的多项式进行因式分解，得：x（x + 7）= 0 .
从而 x = 0，或 x + 7 = 0 .
所以 x1 = 0，x2 = -7 .
小亮的解法：把方程两边同除以x，得：x + 7 = 0 .
所以 x = -7
【跟踪练习】用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）3x2 + x = 0； （2） 3 y2+ 2y = 0 ； （3）4x2 - 81 = 0；
任务2.用因式分解法解方程：（2x + 1）2=（x - 3）2，大刚的解法是把原方程两边直接开方，得到：x + 7 = 0,所以x = - 4。大刚的做法正确吗？说说你的理由。
【跟踪练习】用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）9（x + 5）2 = 1 （2）16（3x + 1）2 = 9（x + 2）
任务3.用因式分解法解方程：x2 - 6x + 5 = 0
【跟踪练习】用因式分解法解下列一元二次方程：
（1）x2 + 4x - 5 = 0 （2）x2 + 2x - 8 = 0
三、典型例题
例1.用因式分解法解方程：
（1）15x2+ 6x = 0； （2）4x 2 - 9 = 0 .
例2. 用因式分解法解方程：（2x + 1）2 =（x - 3）2
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
用因式分解法解方程：
（1）9x2 - 25 = 0； （2）2（x + 2）2 = 3（x + 2）； （3）x2 + 8x - 20 = 0
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3
2．解方程2（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0最适当的方法是（　　）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
3．方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是（　　）
A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1，2
4．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
5．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，则二次三项式ax2+bx+c可分解因式为 　 　．
6．解方程：（x+1）（x﹣2）＝x+1．
解：将方程两边约去（x+1），得x﹣2＝1①．
所以x＝3．②
以上解答错在第 　 　步，正确的答案是x1＝　 　，x2＝　 　．
7.当x满足___________时，分式没有意义？
8.用因式分解法解下列方程：
（1）16x2 + 10x = 0 （2）2y2 - 4y = 0； （3）（x - 1）x = 2（x - 1）.
9.用因式分解法解下列方程：
（1）（2x + 1）2 - x2 = 0； （2）16（3x + 1）2= 9（x + 2）2；
（3）2（x + 2）2 = 3（x + 2）； （4）（x - 2）（2x + 1）= 1 + 2x .
【能力提升】
10．使式子的值为0的x的值为（　　）
A．3或1 B．3 C．1 D．﹣3或﹣1
11．已知x＝1是关于x的方程（1﹣k）x2+k2x﹣1＝0的根，则常数k的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
12．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
13．已知：（x2+y2﹣1）（x2+y2+3）＝0，则x2+y2的值为（　　）
A．1或﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1或3
14．如果方程ax2﹣bx﹣6＝0与方程ax2+2bx﹣15＝0有一个公共根是3，a的值为___,b的值为____两个方程的另外一个根为________________．
15. x满足____________时，分式有意义？
16.关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = 1，x2 = 2，则二次三项式ax2 + bx + c可分解因式为___________________________.
17. 用因式分解法解下列方程：
（1）5x（x - 2）- x + 2 = 0； （2）x2 -（x - 3）= 9 .
【培优创新】
18.由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）
示例：分解因式x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　 　）（x+　 　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4＝0；
（3）拓展：请用上述方法解方程：（2y﹣1）2﹣8（2y﹣1）+12＝0