山西省太原市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷(含详解)
文档属性
| 名称 | 山西省太原市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷(含详解) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-16 17:22:58 | ||
图片预览
文档简介
山西省太原市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．计算2﹣1的结果是( )
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．消防安全标志是由安全色、边框、图像为主要特征的图形符号或文字构成的标志，用以提醒人们预防危险，或者指示人们采取正确、有效、得力的措施，对危害加以遏制，下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（ ）
A．周一 B．周二 C．周四 D．周五
5．2025年3月，浙江大学光电科学与工程学院研究团队成功研发出尺寸仅为纳米的钙钛矿LED，为迄今为止公开报道的最小LED像素．已知纳米米，则数据“米”用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在四边形中，下列条件能保证的是（ ）
A． B．
C． D．
7．现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9．小文通过编程设计机器人的队形．如图，点分别表示某一时刻4个机器人的位置，其中点在的北偏东，点在的北偏西，与平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小
B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓生长最快时的温度约为35℃
二、填空题
11．计算的结果等于 ．
12．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ．
13．如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数）
试验总次数 50 100 150 200 250 300
针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181
针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603
14．生产可乐会产生大量无形水资源消耗，被称为“水足迹”．据研究，生产一瓶容量为500毫升的可乐，背后消耗的水资源多达309升．若生产容量为500毫升的可乐瓶，所消耗的水资源总量为升，则与之间的关系式为 ．
15．如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)
17．先化简，再求值：
，其中，．
18．如图，已知中，．
(1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)推理与计算：若，则的度数为_________．
19．如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由．
20．学校组织“山西非遗进校园”特色活动，设置了如图1所示的电子翻奖牌，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击任意一个方形按钮，参与者可根据自动显示的文字获得相应纪念品（若显示的文字为“谢谢”，则不获得任何纪念品）；点击“洗牌”按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．已知某次洗牌后8个方形按钮对应的文字如图2所示．阳阳获得一次游戏机会，他先点击“洗牌”按钮，然后随机点击一个方形按钮，求他能获得纪念品的概率．
21．综合与实践
活动主题：用边长为的正方形纸板制作长方体纸盒
综合与实践
活动主题：用边长为20cm的正方形纸板制作
方案设计：如图，先在纸板四个角剪去两个边长相等的小正方形和两个全等的小长方形，再沿虚线折叠，即可围成一个有盖的长方体纸盒．
数学思考：设剪去的小正方形的边长为，围成的长方体纸盒的体积为，解决下列问题：
(1)当时，按上述方案围成的长方体纸盒的底面积为_________；
(2)将剪去的小正方形的边长按正整数依次变化，分别取，，，……，，求真小组列表如下：
小正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9
长方体纸盒的体积 256 294 288 250 192 126 18
①上表反映的变化过程中，自变量是_________，因变量是_________；长方体纸盒的体积与小正方形边长之间的关系式为_________；
②补全表格中空缺的数据，并根据表格分析长方体纸盒的体积随小正方形边长的变化情况，写出你发现的一个结论．
22．阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：……
任务：
(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________．
23．综合与探究：
问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题，已知中，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，过点作直线，点关于直线的对称点为点．
特例分析：（1）如图1，当直线/经过点时，点恰好落在边上，连接，交直线于点．猜想此时与的位置关系，并说明理由；
拓展探究：（2）如图2，当直线与线段交于点（不与重合）时，点落在内部，连接并延长交线段于点，连接并延长，交直线于点，交线段于点，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由；
（3）若直线与线段的延长线交于点，连接并延长交射线于点，连接交线段于点．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）．
参考答案
1．A
解：原式＝，
故选A．
2．B
解：A. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B. 文字上方的图案是轴对称图形，故选项符合题意；
C. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D.文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
3．A
A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
4．B
解：∵，
∴当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是周二．
故选：B．
5．C
解：．
故选：C．
6．D
解：A、∵、不是同位角，也不是内错角，
∴不能保证；
B、∵和是同旁内角，但不是和两直线被第三条直线所截的同旁内角，
∴不能保证；
C、∵、不是同位角，也不是内错角，
∴不能保证；
D、∵和是同旁内角，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：D．
7．A
解：落在红色区域的概率，
故选：A．
8．B
解：由作图可知，，，，
∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）．
故选：B．
9．D
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵与平行，
∴，
∴，
故选：D．
10．C
解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确；
由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确；
由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确；
由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确；
故选：C．
11．
解：；
故答案为：．
12．10°
解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为10°
13．
解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为；
故答案为：．
14．
解：由题意得，，
故答案为：．
15．6
解：如图，过作于，
由对折可得：，，，
∴，
∴的面积为：，
∵，
∴的面积为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式；
（2）原式．
17．，．
解：
，
当，时，
原式
．
18．(1)见解析
(2)36
（1）解：如图直线、线段即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
19．，见解析
解：,理由如下：
∵点是线段上的点，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
20．
解：由题意，共有8种等可能结果，其中阳阳能获得纪念品的情况有6种，
∴他能获得纪念品的概率为．
21．(1)128
(2)①小正方形的边长；长方体纸盒的体积；；②表中依次填：162；64；结论见解析
（1）解：当时，长方体纸盒的底面的长为，宽为，
∴其底面积为，
故答案为：128；
（2）解：①表中反映的变化过程中，自变量是小正方形的边长，因变量是长方体纸盒的体积；
长方体纸盒的底面的长为cm，宽为cm，
∴其底面积为，
∴体积为，
∴长方体纸盒的体积与小正方形边长xcm之间的关系式为；
故答案为：小正方形的边长，长方体纸盒的体积，；
②当时，，
当时，，
随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
（1）解：理由如下：连接对角线．
中，，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，即与互补；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分与；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分；
（3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T，
∵四边形是直角筝形，
∴，
同理可证明，，
∴，
∴．
如图所示，当点E在上时，则；
综上所述，或。
23．（1），见解析；（2），见解析；（3）或．
解：（），理由如下:
由轴对称的性质可得，
∵直线，即，
∴；
（），理由如下:
同理可证明，
∴，，，，
如图所示，过点作于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（）如图所示，点在线段上，
同理可证明，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，点在线段的延长上时，
同理可证明，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
一、单选题
1．计算2﹣1的结果是( )
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．消防安全标志是由安全色、边框、图像为主要特征的图形符号或文字构成的标志，用以提醒人们预防危险，或者指示人们采取正确、有效、得力的措施，对危害加以遏制，下列消防安全标志中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（ ）
A．周一 B．周二 C．周四 D．周五
5．2025年3月，浙江大学光电科学与工程学院研究团队成功研发出尺寸仅为纳米的钙钛矿LED，为迄今为止公开报道的最小LED像素．已知纳米米，则数据“米”用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，在四边形中，下列条件能保证的是（ ）
A． B．
C． D．
7．现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9．小文通过编程设计机器人的队形．如图，点分别表示某一时刻4个机器人的位置，其中点在的北偏东，点在的北偏西，与平行，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小
B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓生长最快时的温度约为35℃
二、填空题
11．计算的结果等于 ．
12．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为 ．
13．如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数）
试验总次数 50 100 150 200 250 300
针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181
针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603
14．生产可乐会产生大量无形水资源消耗，被称为“水足迹”．据研究，生产一瓶容量为500毫升的可乐，背后消耗的水资源多达309升．若生产容量为500毫升的可乐瓶，所消耗的水资源总量为升，则与之间的关系式为 ．
15．如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)
17．先化简，再求值：
，其中，．
18．如图，已知中，．
(1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)推理与计算：若，则的度数为_________．
19．如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由．
20．学校组织“山西非遗进校园”特色活动，设置了如图1所示的电子翻奖牌，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击任意一个方形按钮，参与者可根据自动显示的文字获得相应纪念品（若显示的文字为“谢谢”，则不获得任何纪念品）；点击“洗牌”按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．已知某次洗牌后8个方形按钮对应的文字如图2所示．阳阳获得一次游戏机会，他先点击“洗牌”按钮，然后随机点击一个方形按钮，求他能获得纪念品的概率．
21．综合与实践
活动主题：用边长为的正方形纸板制作长方体纸盒
综合与实践
活动主题：用边长为20cm的正方形纸板制作
方案设计：如图，先在纸板四个角剪去两个边长相等的小正方形和两个全等的小长方形，再沿虚线折叠，即可围成一个有盖的长方体纸盒．
数学思考：设剪去的小正方形的边长为，围成的长方体纸盒的体积为，解决下列问题：
(1)当时，按上述方案围成的长方体纸盒的底面积为_________；
(2)将剪去的小正方形的边长按正整数依次变化，分别取，，，……，，求真小组列表如下：
小正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9
长方体纸盒的体积 256 294 288 250 192 126 18
①上表反映的变化过程中，自变量是_________，因变量是_________；长方体纸盒的体积与小正方形边长之间的关系式为_________；
②补全表格中空缺的数据，并根据表格分析长方体纸盒的体积随小正方形边长的变化情况，写出你发现的一个结论．
22．阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图2，筝形中，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下 结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． ∵中，， ∴， …… 关于对角线：……
任务：
(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为_________．
23．综合与探究：
问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题，已知中，，点是边的中点，点是射线上的一个动点，过点作直线，点关于直线的对称点为点．
特例分析：（1）如图1，当直线/经过点时，点恰好落在边上，连接，交直线于点．猜想此时与的位置关系，并说明理由；
拓展探究：（2）如图2，当直线与线段交于点（不与重合）时，点落在内部，连接并延长交线段于点，连接并延长，交直线于点，交线段于点，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由；
（3）若直线与线段的延长线交于点，连接并延长交射线于点，连接交线段于点．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）．
参考答案
1．A
解：原式＝，
故选A．
2．B
解：A. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B. 文字上方的图案是轴对称图形，故选项符合题意；
C. 文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D.文字上方的图案不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
3．A
A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
4．B
解：∵，
∴当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是周二．
故选：B．
5．C
解：．
故选：C．
6．D
解：A、∵、不是同位角，也不是内错角，
∴不能保证；
B、∵和是同旁内角，但不是和两直线被第三条直线所截的同旁内角，
∴不能保证；
C、∵、不是同位角，也不是内错角，
∴不能保证；
D、∵和是同旁内角，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：D．
7．A
解：落在红色区域的概率，
故选：A．
8．B
解：由作图可知，，，，
∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）．
故选：B．
9．D
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵与平行，
∴，
∴，
故选：D．
10．C
解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确；
由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确；
由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确；
由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确；
故选：C．
11．
解：；
故答案为：．
12．10°
解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是的角平分线
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为10°
13．
解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为；
故答案为：．
14．
解：由题意得，，
故答案为：．
15．6
解：如图，过作于，
由对折可得：，，，
∴，
∴的面积为：，
∵，
∴的面积为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式；
（2）原式．
17．，．
解：
，
当，时，
原式
．
18．(1)见解析
(2)36
（1）解：如图直线、线段即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
19．，见解析
解：,理由如下：
∵点是线段上的点，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
20．
解：由题意，共有8种等可能结果，其中阳阳能获得纪念品的情况有6种，
∴他能获得纪念品的概率为．
21．(1)128
(2)①小正方形的边长；长方体纸盒的体积；；②表中依次填：162；64；结论见解析
（1）解：当时，长方体纸盒的底面的长为，宽为，
∴其底面积为，
故答案为：128；
（2）解：①表中反映的变化过程中，自变量是小正方形的边长，因变量是长方体纸盒的体积；
长方体纸盒的底面的长为cm，宽为cm，
∴其底面积为，
∴体积为，
∴长方体纸盒的体积与小正方形边长xcm之间的关系式为；
故答案为：小正方形的边长，长方体纸盒的体积，；
②当时，，
当时，，
随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
（1）解：理由如下：连接对角线．
中，，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，即与互补；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分与；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分；
（3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T，
∵四边形是直角筝形，
∴，
同理可证明，，
∴，
∴．
如图所示，当点E在上时，则；
综上所述，或。
23．（1），见解析；（2），见解析；（3）或．
解：（），理由如下:
由轴对称的性质可得，
∵直线，即，
∴；
（），理由如下:
同理可证明，
∴，，，，
如图所示，过点作于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（）如图所示，点在线段上，
同理可证明，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，点在线段的延长上时，
同理可证明，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
同课章节目录