四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二下学期期末模拟考试数学试卷(含详解)

绵阳南山中学实验学校高2023级第四学期期末模拟考试试题 数 学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列1，3，7，15，…… 则是这个数列的
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
2．设随机变量X服从两点分布，若，则
A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8
3．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则
A． B．
C． D．
4．2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有
A．140种 B．210种 C．420种 D．840种
5．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
A．6 B．12 C．18 D．24
6．在足球比赛中，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为
A． B． C． D．
7．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为
参考公式：，其中，附：
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
8．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，则
A． B．
C． D．
10．已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是
A． B．是单调递增数列
C．是等比数列 D．是等比数列
11．已知函数.则下列说法正确的是
A．当时，
B．当时，过原点与曲线相切的直线为
C．若不等式在时恒成立，则
D．若函数恰有1个零点，则
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为 ．
13．2024年底，我校开展迎新年活动，高三某班级准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ．
14．已知数列的首项为，前项和为，且，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）
已知函数在处有极值．
（1）求的值.
（2）判断是否存在过点的曲线的切线．若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由.
（15分）
已知数列为等差数列，且公差，其前项的和为，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
（15分）
即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的 （专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国市场规模迅速扩大．下表为2018年至2022年中国市场规模（单位：百亿元），其中2018年年对应的代码依次为．
（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，
①建立y关于x的回归方程；
②预测2025年中国市场规模（单位：百亿元）：
（2）从2018至2022年中国市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为X，求X的分布列与期望．
参考数据：其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
（17分）
已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.
（17分）
为庆祝反法西斯战争胜利80周年，某商场决定在8月15日—9月5日期间举行购物抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
（1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
（2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
（3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求.
高2023级第四学期期末模拟考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A C B A D D ACD ABD AB
2．C【详解】由两点分布可得，解得；
因此期望值为，所以.
3．A【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得，
所以.故选：A.
4．C【详解】由已知，甲的安排方法为种，乙的安排方法为种，剩余的两天安排丙、丁有种方法，故共有（种）．
5．B【详解】由得，，所以，则，
6．A【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：,
若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且，
所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：.
7．D【详解】由题意可设男生的人数为：，则女生的人数为，
根据题意可列出如下的列联表：
男生 女生 合计
喜欢吃甜食
不喜欢吃甜食
合计
，
因为根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，
所以；解得：，所以，因为，所以的最小值为，
8．D【详解】易知函数的定义域为，则，
显然可知，无论为何值，恒成立，
若在处取得极大值，可知在左侧，在右侧；
因此可知在附近自左向右从正变为负，
因此在处单调递减，令，
可得，所以，因此可得.
9．ACD【详解】由随机变量服从正态分布，可得，
又由随机变量服从正态分布，可得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，由正态分布曲线的性质，得
对于D中，由，
由正态分布曲线的对称性，可得，所以.
10．ABD【详解】对于A选项，由得，A对；
对于C选项，，当时，由得，
上述两个等式作差得，所以，
故当时，，且，所以，数列不是等比数列，C错；
对于D选项，由可得，
且，所以，故是为首项，公比为的等比数列，D对；
对于B选项，由D选项可知，所以，
所以，令，故，即，
所以，数列为单调递增数列，即数列为单调递增数列，B对.
11．AB【详解】对于A：当时，，所以，令有，
由有，有，所以在单调递增，在单调递减，所以，故A正确；
对于B：当时，，设切点，，，，所以切线方程为，又切线过原点，所以，即，解得，所以，所以切线方程为，故B正确；
对于C：由有在上恒成立，令，则在上单调递增，
即在上恒成立，所以，即，令，即，所以，令，当时，，所以在单调递减，所以，所以，即，故C错误；
对于D：由，令有，解得或，令，所以，令得，由有，有，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，当时，无解或有一解为0，所以函数恰有1个零点0，所以，故D错误；故选：AB.
12．【详解】对有，则展开式中项的系数为，展开式中项的系数为，则展开式中的系数为.故答案为：
13．【详解】设表示“甲第一次拿的盲盒有奖”，表示“甲第一次拿的盲盒无奖”，表示“甲最终中奖”，因为共有20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，
所以，，
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则，
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则，
根据全概率公式得，，
所以甲中奖的概率.
14．【详解】当为奇数，则，即，
所以的奇数项是首项为，公比为2的等比数列，
则，即，
当为偶数，则，即，
所以的偶数项是首项为，公比为2的等比数列，
则，即，所以，
若，则，即.故答案为：
15.【详解】（1）因为， （3分）
由题可知，即，， （4分）
解得，此时，经检验满足题意.所以.………… （6分）
（2）不存在． （7分）
理由如下：假设曲线存在过点的切线，且切点坐标为．
因为，所以该切线的斜率为，
即该切线的方程为． （9分）
若切线经过点，则，整理得， （11分）
该方程的根的判别式，该方程无解， （12分）
故不存在过点的曲线的切线. （13分）
16.【详解】（1）已知数列的公差为，由，，成等比数列得：，
即，∴， （3分）
∴，∴或，
∵，∴， （5分）
∴数列的通项公式为． （7分）
（2）由（1）得，， （8分）
∴， （9分）
∴， （10分）
∴ （12分）
， （14分）
∴． （15分）
17．【详解】（1）①两边同时取自然对数得．
设，则，因为，
所以． （4分）
把代入，得，
所以，则， （5分）
所以，即y关于x的回归方程为． （6分）
②2025年的年份代码是8，故预测2025年中国市场规模为 （8分）
（2）2018年年中国市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有，共3个，所以的可能取值为， （9分）
， （12分）
1 2 3
（13分）
． （15分）
18．【详解】（1）的定义域是，因为，
所以， （2分）
令，则.
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.（3分）
②当，即时，由，得或； （5分）
由，得，所以
在和上单调增，在上单调减. （7分）
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. （8分）
（2）由（1）知当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上单调递减，所以， （9分）
，则
， （12分）
令，则，，所以在上单调递减，
又，且，
所以，由， （15分）
又在上单调递减，所以且， （16分）
所以实数的取值范围为. （17分）
19．【详解】（1）设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，
，， （4分）
故， （6分）
（2）由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
， （10分）
故数列的通项公式为. （11分）
（3）设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率， （13分）
要使最大，即使最大，所以，
即，化简得，且， （15分）
又在上单调递减，所以，综上所述，. （17分）