第21章一元二次方程预习检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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第21章一元二次方程预习检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．±2 B．±6 C．±4 D．±3
5．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ）
A．26 B．28 C．或26 D．或28
6．已知和是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　)
A． B．且 C．且 D．a为任意实数
9．如图，在中，，点D在线段上，点E在线段上， ，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
11．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
12．若是关于的方程的两实数根，则的值为 ．
13．如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为，点在点右侧，则，间的距离至少为 ．
14．当分式的值为0时，则实数x的取值是 ．
15．某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递总件数分别为10万件和12.1万件．如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到 万件．
16．有这样一首民间数学诗：三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只，不容一船少一缸。译文为361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？答：每船所装的缸数为 。
17．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于的一元二次方程的解为 ．
18．阅读下列材料，然后找规律答题：
①方程的解为；
②方程的解为；
③方程的解为；
(1)根据以上方程和解的特征，请猜想：
①方程的解为_____________；
②关于的方程的解为_____________，请说明理由．
(2)请写出二次项系数为1，且解为，的一元二次方程．
三、解答题
19．用配方法解方程：
(1)．
(2)；
20．已知关于的一元二次方程．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值．
21．如下图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止．如果点从点先出发，点再从点出发，那么点运动几秒后，？
22． 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题：
(1)直接写出方程的“对称方程”．
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解．
23．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
(1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示)
(2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率．
(3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
24．常见的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
《第21章一元二次方程预习检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A D D A A D B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，需满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．
【详解】选项A：，未知数的最高次数为3，不符合“二次”条件．
选项B：，含两个未知数和，不符合“一元”条件．
选项C：，仅含一个未知数，且最高次数为2，符合所有条件．
选项D：，未知数的最高次数为1，不符合“二次”条件．
故选C．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．
通过计算每个一元二次方程根的判别式，判断其是否有实数根即可．
【详解】解： A：，方程有两个相同实数根，不符合题意；
B：，方程有两个不同实数根，不符合题意；
C：，方程有两个不同实数根，不符合题意；
D：，方程无实数根，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的售价建立方程求解即可-
【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元，
根据题意，得方程：，
∴，
开平方得：或，
∴或（舍去）
故选：A
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根求解即可．
【详解】方程的判别式为 ．
当时，方程有两个相等的实数根，
即：，
解得
故选A．
5．D
【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况．
本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为：
展开得：
当时，两个奇数为和，和为；
当时，两个奇数为和，和为。
因此，这两个奇数的和为或，
故选：D
6．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个根，
根据根与系数的关系，有，
又∵是方程的根，
∴，
代入原式可得：，
利用，
故原式，
故答案为： D．
7．A
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论．
【详解】解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
是关于的方程的两个根，
；故A正确，B错误；
，故选项C错误；
异号或其中一个的值为，
的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误；
故选：A．
8．A
【分析】本题考查的是一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中），
若该方程为一元二次方程，则需满足二次项系数不为零，即：
解得：
故选：A．
9．D
【分析】延长至点F，使，连接，可得垂直平分，从而得到，设，则，证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点F，使，连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
即．
故选：D
【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，利用方程思想进行求解，是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，（舍去），
，
．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查数轴与一元二次方程的结合，先通过A、B两点的位置关系，构造表示A、B两点间距离的代数式；再通过配方法求该式子的最小值，即可得到A、B间距离的最小值.
【详解】由题意，得．
，
，
即，间的距离至少为2．
故答案为：2.
14．2
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴且，
∴，
故答案为：2．
15．13.31
【分析】设4月份快递总件数的平均增长率为x，结合题意根据增长模型建立方程，从而求解.
【详解】解：设该公司每月投递的快递总件数的平均增长率为.
根据题意，得,
解得，（不合题意，舍去）,
（万件）,
故该公司4月份投递的快递总件数将达到13.31万件.
【点睛】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，解题的关键是根据增长模型列出一元二次方程。
16．19
【分析】根据题意，可知每船装的缸数和船的数量相等，且它们的乘积为361，进而求解.
【详解】解：设船儿总数是，则每船装只缸.
由题意得：，
解得（不合题意，舍去），.
故每船所装的缸数为19.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解“每船装的缸数和船的数量相等”是解题的关键.
17．，
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解。
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为，
∴关于的一元二次方程可得，
解得，
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键。
18．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的规律以及十字相乘法，发现方程的一个根为1，另一个根为常数项，由此可以得出对应方程的解；
（2）由方程的规律得出一次项系数为两根和的相反数，常数项为两根之积，可得出方程。
【详解】解：（1）①
②，理由如下：
将方程 左边因式分解，
得，
（2）以为解，得二次项系数为1的一元二次方程为．
【点睛】本题考查了一元二次方程，根据题意得出方程的一次项系数为两根和的相反数，常数项为两根之积。
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
∴，．
（2）解：，
，
配方得，
∴
∴
∴，
∴，．
20．(1)此方程总有两个实数根，见解析
(2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
（1）由根的判别式即可知；
（2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案；
（3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得．
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根．
理由：，
不论为何值，，
此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为，
则，．
此方程的两个实数根都是整数，
的值为，
符合条件的整数的值的和为0．
（3）解：是方程的两个实数根，
，，
，，
以上两式相加，可得，
即．
21．4s
【分析】本题可设点P出发后，由题可得在列方程求出答案即可.
【详解】解：设点运动后，，则点运动的时间为．
由题意，得，
整理，得，
解得．
故点运动后，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键在于弄清图形与实际问题的关系.
22．(1)
(2)，；，
【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：根据对称方程的定义可得方程的“对称方程”是；
（2）解：由移项，得．
关于的方程与互为“对称方程”，
，，解得，，
化为，
解得，．
23．(1)；
(2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为；
(3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件；
（2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可；
（3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件．
故答案为：；
（2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得
，
解之，得，（不合题意，舍去）
答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为．
（3）解：根据题意得：，
解得：，．
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
24．(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了因式分解以及利用因式分解来解决三角形周长相关问题．熟练掌握因式分解的方法以及三角形三边关系的结合是解题的关键．
（1）先提取公因式2得到，再根据完全平方公式进行化简得到；
（2）将式子前两项分为一组，后两项分为一组，对于，根据平方差公式可得到，对于提取公因式3可得到，
此时原式变为，再提取公因式即可；
（3）先将通过拆项分组，得到，根据完全平方公式化简为，根据非负数的性质得到式子，，求出，的值，再根据三角形的三边关系求出，最后计算的周长即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：，．．，．，．由三角形的三边关系，可知，即．又为正整数，．的周长为．
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