第22章二次函数预习检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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第22章二次函数预习检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．将抛物线先沿着轴方向向左平移2个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若且，则
D．若两点都在抛物线的图像上，则
4．已知二次函数也在此二次函数图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（ ）
A．
B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是
C．当时，函数值
D．当时，随的增大而增大
6．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．函数图象与轴的交点坐标是
C．函数的最小值是
D．对称轴为直线
8．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70 80 …
销售量y（千克） 250 240 230 220 …
①y与x之间的函数关系式为；
②当售价为72元时，月销售利润为7296元；
③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元；
④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知抛物线经过点．有以下结论：
①；
②该抛物线一定经过；
③点在抛物线上，且，则；
④若是方程的两个根，其中，则．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．抛物线的对称轴是直线 ．
12．若抛物线与x轴只有一个公共点，则a的值为 ．
13．已知关于的一元二次方程的一个根是，且二次函数的对称轴是直线，则此方程的另一个根为 ．
14．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
15．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则
16．定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ．
17．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ；
18．已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有 （填序号）．
三、解答题
19．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
20．现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据：
（棵） 10 40
（元） 4920 7920
(1)求出关于，关于的函数关系式；
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
21．如图，抛物线经过点，，点是抛物线的顶点．
(1)求a，m的值及点的坐标；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在轴上，得到抛物线．
①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
②在①的条件下，抛物线上有一个动点，其横坐标为，当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求的取值范围．
22．已知抛物线交轴于、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求的值；
(2)若点在该抛物线上，且，求的值．
、23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上，且位于直线上方的一个动点，当点在抛物线上，且横坐标为时，
的面积为____________．
求的面积的最大值．
(3)如图，将原抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于，两点（点在点的左侧）．
若，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段的长度总是定值，请你直接写出此定值．
24．如图1是某市一座中承式拱桥，其截面示意图如图2所示，拱圈是抛物线的一部分，拱顶到桥面的距离为，桥面与河面平行，，，以为原点，所E直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求拱圈抛物线的函数关系式；
(2)一艘高的航船能否安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）
(3)如图3，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5米设置1根垂直吊杆，若从左起第根与第根吊杆的高度差为0.5米，求的值．
《第22章二次函数预习检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D D D B C C
1．B
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
【详解】解：原抛物线为向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项．
【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，
∴，
解得：，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴
∴m的取值范围是，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项A，B正确，不符合题意；
∵且，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴；故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若两点都在抛物线的图像上，
∵，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得到对称轴为直线，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，且距离对称轴越远，函数值越大，
∴．
故选：B．
5．D
【分析】此题考查二次函数的图象与性质．观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到，从而得到抛物线解析式，再逐项判断即可得答案．
【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线，
∵图象与轴交于、两点，
∴点，
把点，代入得：
，
解得：，故A选项错误；
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，故B选项错误；
观察图象得：当时，函数值，故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而增大，故D选项正确；
故选：D
6．D
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及，当时，，由此可得，然后由图象与x轴有两个交点确定，由此即可求得答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故A选项不符合题意；
∵当时，，
∴，故B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故C选项不符合题意；
对称轴为直线，
，
，
将代入，
得：，故D选项符合题意，
故选D．
【点睛】此题考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，也考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及二次函数与一元二次方程的关系等相关知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数为，
则顶点坐标为，对称轴为直线，故选项A错误，选项D正确；
，
∴抛物线开口向下，
∴函数的最大值，没有最小值，故选项C错误；
令，得，
∴函数图象与轴的交点坐标是，故选项B错误；
故选：D．
8．B
【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；
设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元，
每增加10元，空闲房间数增加1个，
故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确；
结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个．
根据题意得，
解得或．
当时，对应定价为元（超过360元上限），
∴，故②结论错误；
结论③：设利润为w，根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∵
∴
∴当，
∴最大利润为：元，故③结论错误．
综上，仅结论①正确，正确个数为1．
选B．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．
9．C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案．
【详解】解：设y与x之间的函数关系式为,
把代入到中得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为,故①正确；
当时，，则此时利润为元，故②正确；
设月销售利润为元，
∴，
∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元，
∴（千克），即月销售量不超过千克，
∴当时，即，
解得：，
∴（元），故③错误；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确．
∴正确的有3个，
故选：C。
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．根据题意首先确定该抛物线对称轴是，结合抛物线经过点，易得该函数图像的开口向下，即，可知，故①正确；点关于直线的对称点为，
即该抛物线一定经过，故②正确；分都在对称轴右侧和在对称轴两侧两种情况，易得③错误；首先判断抛物线与抛物线关于轴对称，即可确定，故④正确．
【详解】解：如图，该抛物线对称轴是，抛物线经过点，
开口向下，即，
，故①正确；
∵点关于直线的对称点为，
该抛物线一定经过，故②正确；
若都在对称轴右侧时，
，
，
若在对称轴两侧时，
，
，
综上，时，故③错误；
如图，设抛物线上任一点坐标为，把代入，则有，
点在抛物线上，
与关于轴对称，
抛物线经过点，
抛物线经过点，
，
是抛物线与直线交点的横坐标，
，④正确．
综上所述，结论①②④正确，合计3个．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴是直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的对称轴是直线，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：9．
13．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．
根据抛物线的对称性，可知的图像与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解．
【详解】解：设方程的另一根为，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，即，
解得，，
∴另一根为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得．
【详解】解：设二次函数顶点式，
顶点为，
二次函数的图像过点，
．
故答案为：．
16． 8
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的交点问题，
先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案．
【详解】解：根据题意，得；
∵抛物线与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
即，
解得．
设点，
∴．
∵抛物线与直线没有交点，且的最小值是1，
∴当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，
∴．
当时，，
解得或（舍去）．
所以．
故答案为：8；．
17．
【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案．
【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为：，
故当函数值时，自变量的取值范围是：．
故答案为：．
18．①②④
【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；根据二次函数性质计算当和时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确；
当时，；当时，，
则抛物线L必过点和点，故②正确；
抛物线L的对称轴为直线，
则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误；
当时，已知，是抛物线上的两点，
点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2，
，故④正确；
当时，；当时，，
抛物线L的对称轴为直线，，
不等式恒成立，故⑤错误；
故答案为：①②④．
19．该抛物线的表达式为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
20．(1)，；
(2)当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可；
（2）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵当时，元，
∴，
∴，
∴；
由题意得：，
由表格可得：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设每年的总利润为W元，则，
由题意：，
∴
，
∵，
∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线，
∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元，
∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元．
21．(1)，，；
(2)①3，；②．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质和动点问题．
（1）先根据点，求出对称轴，再利用对称轴公式即可求出和解析式，将代入解析式中即可求出，将解析式化成顶点式即可求出；
（2）①根据抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为即可求出结果；
②先求出抛物线的表达式，再令，代入解析式求解，再结合点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，即可求出结果．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
对称轴为直线，
，
，
的解析式为．
将代入，得，
即．
，
点的坐标为．
（2）解：①抛物线的顶点落在轴上，且点的坐标为，
∴抛物线平移的最短路程为3，此时顶点坐标为．
②由①得，抛物线的表达式为．
令，则．
点在抛物线上关于对称轴对称的点为点，且当时，点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，
．
22．(1)的值为1，的值为
(2)2025
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到轴，是方程的两根，然后得到，求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、．
∴，
解得，
∴．
故的值为1，的值为；
（2）由（1）知，
∵点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点，且，
∴轴，是方程的两根，
∴．
∵，
∴．
∴，
解得．
∴
．
23．(1)；
(2)；当时，的面积的最大值为；
(3)；．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
（）由题意可知，解得，即可求函数的解析式；
（）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，分别求出，，再求的面积即可；
过点作轴交于点，设，则，的面积 ，当时，的面积的最大值为；
（）点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，平移后的函数解析式为，可求 ，则新抛物线的解析式为；
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的函数解析式为 ，当时，，根据根与系数的关系可得，，则．
【详解】（1）解：∵函数图象经过原点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：过点作轴交于点，
∵点横坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：；
过点作轴交于点，
设，则，
∴的面积，
当时，的面积的最大值为；
（3）解：∵，
∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，将点代入，
可得，
解得（舍）或，
∴新抛物线的解析式为，
故答案为：；
设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
当时，，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，
∴．
24．(1)或者：
(2)高的航船不能安全通过该拱桥，理由见解析
(3)的值为3或4
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用；
（1）据题意，抛物线顶点坐标为．设抛物线解析式为：，再进一步求解即可；
（2）分别过点作，垂足分别为和．根据对称性可知，．可，求解，进一步可得答案；
（3）由，可得从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．①当时，可得，解方程即可，②当时，根据抛物线的对称性求解即可．
【详解】（1）解：据题意，抛物线顶点坐标为．
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，得
，
．
拱圈抛物线的函数关系式为：．或者：．
（2）解：高的航船不能安全通过该拱桥，理由如下：
分别过点作，垂足分别为和．
根据对称性可知，．
，
．
即．
这艘航船不能安全通过该拱桥．
（3）解：，
从左起第4根垂直吊杆在抛物线对称轴上．
①当时，
解得，．
即从左起第3根与第4根吊杆高度差为米．
②当时，
根据抛物线的对称性，从左起第3根与第5根吊杆的高度相等，
第4根与第5根的高度差也为米．
，
综上所述，的值为3或4．
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