21.2解一元二次方程预习作业（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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21.2解一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．一元二次方程的根是（　　）
A． B．
C． D．
2．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定根的情况
5．把化成（其中是常数）形式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
6．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
7．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　）
A． B． C． D．
8．已知是的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．5
二、填空题
9．方程的解为 ．
10．已知是一元二次方程的两根，且 ．
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
13．若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ．
14．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ．
15．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ；
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
(1)若是等边三角形，求方程的根；
(2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况．
19．已知关于的一元二次方程
(1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值；
(2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值；
(3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
20．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由．
(2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
21．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
《21.2解一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B B B C C
1．C
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．
用因式分解解一元一次方程即可．
【详解】解：，
因式分解，得，
于是得，，或，
解得，，，
故选：．
2．A
【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，，
∴，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键．
【详解】解：设另一个根为，
∵方程有两个实数根，其中一个根是（），
∴，
∴，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：对于方程，其中，，，
则，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可．
【详解】解：
，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解．
【详解】解：∵，
两边同时除以2，：，
∴直接开方得：，
解得：，，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是关键；利用因式分解法即可求解．
【详解】解：原方程可化为，
分解因式得，
即，
∴．
10．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：
11．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．
先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵是一元二次方程，
∴，
即，
故答案为：且．
12．9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：9．
13．1或2
【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵直线不经过第二象限，
∴，
当时，方程化为，解得，有1个实数根；
当时，方程为一元二次方程，，
∴方程有2个不相等的实数根；
故答案为：1或2
14．8
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：，是关于x的方程的两根，
，
，
，
将代入，得：，
解得，
故答案为：8．
15．11
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解．
【详解】解；∵
∴，
∴
故答案为：11
16．(1)
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的求解，可根据方程特点分别用配方法和因式分解法来解．
（1）利用配方法求解，即可解题；
（2）利用公式法求解，即可解题．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：∵，， ，
∴ ，
∴ ，
∴，．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
18．(1)，
(2)有两个相等的实数根
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理：
（1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解；
（2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∴方程变为，即：，
解得：，；
（2）解：∵是直角三角形，为斜边，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
19．(1)
(2)，，
(3)当时，
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键．
（1）根据题意列式得到，代入求值即可；
（2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案；
（3）利用因式分解法解得到的方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：
整理得：
∴
∴
（2）∵方程有实数根
∴
整理得：
解得：
∵取正整数值
∴，，，
又∵
∴
∴满足条件的的正整数值为：，，
（3）当时，
原方程可化为：
∴，即
解得：
20．(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析
(2)a的值为3
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解；
（2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下：
解：因为，
则当时，，
所以该方程有两个不相等的实数根．
当时，，
所以该方程有两个相等的实数根．
（2）由方程得，
，
解得，．
因为该方程是“倍根方程”，
①当时，
解得，
则因为方程的根为整数，故舍去．
②当时，
解得．
则为整数，符合题意．
所以的值为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵，
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2，
∴，
解得：，
即，
∴、的和，
∵平行四边形，
∴，，
∴平行四边形的周长．
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