21.3实际问题与一元二次方程预习作业（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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21.3实际问题与一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
2．我市兴安小区在规划设计时，准备在两幢楼房间设置一块面积为1800平方米的矩形绿地，并且长比宽长30米，设绿地的宽为x米，则x的值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
3．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
4．某小组组织送贺卡的活动，已知该小组有若干人．若每人都给小组的其他成员赠送1张贺卡，全组将送出贺卡共72张，则该小组的人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（ ）
A． B． C． D．
8．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为 ．
10．一辆汽车，2023年1月份的销售单价为20万元，由于销量不好，到2023年3月份销售单价仅为万元，若2、3月份的降价率相同，则这辆汽车的2月份、3月份的平均月降价率为 ．
11．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于的方程 ．
12．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为 ．
13．如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ．
14．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学．
三、解答题
15．某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套．
(1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率；
(2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？
16．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？
17．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
18．学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元．
(1)求第一批购入A、B两款读物的数量；
(2)今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数）
19．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
20．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动；
(1)当移动几秒时，的面积为．
(2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由．
《21.3实际问题与一元二次方程预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D C C A
1．B
【分析】本题考查单循环比赛场次的计算，根据题意建立方程求解班级数，即可解答．
【详解】解：设该校八年级共有个班级．单循环赛制下，每两个班级比赛一场，总场次为组合数．根据题意，总场次为21场，列方程：
两边同乘2，整理得：
解此二次方程，判别式，根为：
取正根得．
验证：当时，总场次为，符合条件．
因此，该校八年级共有7个班级．
故选B．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设绿地的宽为米，则长为米，根据矩形面积公式列方程，解一元二次方程并验证解的合理性，据此进行作答即可．
【详解】解：由题意，宽为米，长为米，
∵面积为1800平方米，
∴得方程：，
∴，
则，
∴，（舍去）．
故选：C
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴年平均增长率是，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设该小组的人数为人，再列式计算即可．
【详解】解：设该小组的人数为人，
由题意得方程：
展开得：，解得：（舍）或，
故选：C．
5．D
【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键．
【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可．
【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元，
根据题意，六月份投入48万元，因此方程为，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可．
【详解】解：设有支队伍参赛，
由题意得，，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解．
【详解】解：∵小道的宽为x米，
∴需要种植的矩形的长为米，宽为米，
则，
故选：A．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键．
设两周平均每周上涨的百分率为，根据两周的增长情况列出方程即可．
【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得，
，
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
首先根据1月份售价为20万元，设月平均降价率是可x，得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：设月平均降价率为x，
则 ．
解得：（不合题意，舍去）
2月份、3月份的平均月降价率为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可．
【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米，
由题意，得：；
故答案为：．
12．60
【分析】设挤奶棚边长为米，根据正方形空地边长表示出仓库边长，再依据“挤奶棚面积 + 仓库面积 + 养殖区面积 = 正方形空地面积”这一关系列出方程，求解方程后结合挤奶棚与仓库面积大小关系确定挤奶棚边长．本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握正方形面积公式以及根据面积关系列方程求解是解题的关键，涉及知识点有正方形面积计算、一元二次方程的建立与求解 ．
【详解】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为．
挤奶棚和仓库均为正方形，
∴可列方程为．
整理，得，
解得．
挤奶棚的面积大于仓库的面积，
挤奶棚的边长为．
13．15
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探究，找出图形变换规律，正确列出一元二次方程是解题的关键．
分析第1行有1个点，点数之和为1，第2行有2个点，前2行点数之和为，第3行有3个点，前3行点数之和为，……，第n行有n个点，前n行点数之和为，当时，前a行的点数之和为，再根据前a行的点数之和为120，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
故答案为：15．
14．6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
设一个人每节课手把手教会了 名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得，
解得（不合题意，舍去），
∴1人每次能手把手教会6名同学．
故答案为：6．
15．(1)
(2)1万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套A产品应降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得：
，
解得：(舍去)，，
该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ．
（2）设每套A产品应降价万元，依题意得：
，
整理得，
解得：，，
为了尽快减少库存，取，
答：每套A产品应降价万元．
16．长为，宽为，高为
【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键．
【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为，
依题意得：，
解得：，（舍去）
答：长方体纸盒高为，则长为，宽为．
17．(1)人
(2)人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
依题意得：
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人；
（2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）．
答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信．
18．(1)第一批购入A款读物1500本，B款读物300本
(2)A款读物的单价上涨了15元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键．
（1）设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，利用总价单价数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即第一批购入B款读物的数量），再将其代入中，即可求出第一批购入A款读物的数量；
（2）设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，利用总价单价数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，根据题意，得
，
解这个方程，得，
∴．
答：第一批购入A款读物1500本，B款读物300本；
（2）解：设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，根据题意，得：
，
化简，得，
解这个方程，得（不符合题意，舍去）．
答：A款读物的单价上涨了15元．
19．(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为
(2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件），
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
20．(1)当移动2秒或4秒时，的面积为；
(2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积．
（1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可；
（2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，，
∴，
解得：，．
答：当移动2秒或4秒时，的面积为；
（2）解： ，
解得：．
答：当移动3秒时，四边形的面积为．
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