22.1二次函数的图象和性质预习作业（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册人教版

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22.1二次函数的图象和性质预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．函数的二次项系数是（　）
A．4 B． C．3 D．1
2．已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点的坐标为
C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小
4．如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
5．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　）
A． B．
C． D．
7．已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
8．在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是（　　）
①若，则m的值为6；
②若从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则；
③若从这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种；
如果从中任取两数之和大于的取法恰好有B种，则的最大值为12．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．抛物线的顶点坐标为 ．
10．若是关于的二次函数，则的值为 ．
11．请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ．
12．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为 ．
13．将化成的形式为 ．
14．如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是 ．
三、解答题
15．若抛物线的顶点在轴上，求的值．
16．已知二次函数的图象经过两点．
(1)求b和c的值．
(2)当时，求y的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）．
(1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点，求证：．
(3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围．
18．已知：二次函数中的和满足如表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 3 0 0 8 …
(1)可求得的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当时的取值范围．
19．如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点．
(1)求与的值．
(2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标．
20．如下图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和1．过点A作轴，与抛物线相交于点C，分别以AC，的长为边长向上方作矩形．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将矩形先向左平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上．求n关于m的函数表达式，并直接写出自变量m的取值范围．
《22.1二次函数的图象和性质预习作业-2024-2025学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A C D B D
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案．
【详解】解：函数的二次项系数是4，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最小为；
当时，函数值最大为；
∴；
故选C．
3．B
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意；
B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意；
C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意；
D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，则，所以②正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①正确；
时，，
，
③错误；
点与点关于对称轴对称，
，所以④错误．
故选：A．
5．C
【分析】根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可
本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为，
故离对称轴越远处的点的函数值越小，
又，，，
距离由近到远依次为、、，
故，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为：；
故选D．
7．B
【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度，
在新坐标系中抛物线的顶点坐标为，
在新坐标系下抛物线的解析式为，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应m值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，；
当为奇数时，；
①当，则m的值为6；正确．
②当时，若为偶数，则，解得；若为奇数，，此时非整数．故，故②正确；
③当为偶数时，；为奇数，，
∴，
∵为偶数，
∴当或时，最大为12，故③正确；
故选D．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键．
根据二次函数的性质求顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（ 其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查过定点，且开口方向确定的二次函数的表达式的确定的知识，理解二次函数图像性质是本题解题关键．
根据二次函数的性质，进行作答，即可求解；
【详解】解：设，
将代入，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．
根据左加右减，上加下减求解作答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线为，
即，
故答案为：．
13．
【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键．
首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．①③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解．
【详解】解：①点在二次函数图象上，
∴，结论①正确；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，
，
，
∴，结论②错误；
③
∴，
∴，结论③正确；
④二次函数的图象经过点和，
∴，
∴，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
15．4或
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答根据抛物线的顶点在x轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，或，
故答案为：或．
16．(1)；2
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质．
（1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解；
（2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点，
∴，
解得，
即b的值为，c的值为2；
（2）解：由（1）得：二次函数的解析式为
，
∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，且，
∴当时，该函数取得最大值9；
当时，该函数取得最小值，
∴当时，y的取值范围是．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）可求出，，则；
（3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵函数图象经过点，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
设函数图象经过点，．
∴点在对称轴左侧，
∵对于任意的，都有成立，
∴存在如下情况：
如图1，当时，
则关于对称轴的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
如图2，当时，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为或．
18．(1)3
(2)
(3)图见解析，
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象性质．
（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到当和所对应的函数值相等，从而得到的值；
（2）设交点式，然后把把代入得求出的值即可；
（3）描点作图，由函数图象可直接得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）解：如图：
由图象可得，当时，．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解；
（2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标．
【详解】（1）解：将代入正比例函数，解得：，
点的坐标为，
将代入，得：，解得：．
（2）解：由（1）得：抛物线，
抛物线的对称轴是，顶点是，
点C关于x轴的对称点的坐标为．
如图，连接交轴于点，此时最小．
设直线的表达式是，
把，代入，
得：，解得：，
直线的表达式是．
令，则，解得：，
点的坐标是．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数表达式、图形平移及函数关系，解题的关键是利用交点坐标求函数表达式，结合平移规律和抛物线性质建立函数关系．
（1）先根据抛物线求出、两点坐标，再将其代入抛物线的表达式，解方程组得到、的值，确定的表达式．
（2）先求出的长度，再根据平移规律得到的坐标为，结合在上，建立与的函数关系，根据平移实际情况确定的取值范围．
【详解】（1）解：∵当时，，当时，，
∴点的坐标分别为，
将点的坐标代入抛物线的表达式，
得，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知，点的坐标为，
，
平移后点的坐标为，
将点的坐标代入抛物线的表达式，
得，即，
∵，
当时，点不在抛物线上，
∴，
．
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