(共15张PPT)
万物相生相克，取长补短.
那么一个集合有和它互补的集合吗？我们这节课就来研究这个问题.
理解全集和补集的概念.（重点）
能使用维恩图表示集合的关系和运算.
3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关系的研究．（难点）
探究点1 全集
{2,3,4,5}
是集合U的子集
思考3：这种研究问题前给定的范围、含有所研究问题的所有元素的集合叫全集，如Q，R，Z等.那么你能归纳出全集的概念吗？
如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.通常记作U.
对于所研究的任意集合A与对应全集可用维恩图表示为：
全集
U
A
探究点2 补集
可将集合S看作全集
称集合B是集合A的补集
补集
可用维恩图表示为
U
A
探究点3 补集的运算性质
U
CUA
A
U
【变式练习】
A
设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2
解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
所以 UA= {x|x≤－2或x≥1}
【变式练习】
2
注意：A中能取到端点，则补集中取不到，反之亦然.
A
B
【变式练习】
全集
和补
集的
概念
并集运算
交集运算
补集运算
补
集
补集的性质
综合应用
数轴
维恩图(共18张PPT)
圆：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
在初中数学中，我们已经接触过集合的知识，那么怎样理解数学中的“集合”？
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.
1.了解集合的含义,理解集合中元素的三个特性.（重点）
2.记住并会使用常用的数集符号.
3.会用符号表示元素与集合之间的关系.（难点）
探究点1 元素与集合的概念
看下面几个例子，概括它们有何共同特点？
（1）新华中学2023年9月入学的所有高一学生.
（2）方程x2-4=0的所有实数根.
（3）1-10之间的所有偶数.
（4）我国的四大发明.
（5）所有小于0的实数.
共同特点：都指“所有”，即研究对象的全体.
集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合.
通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.
元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示.
你能举出几个集合的例子吗？
组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？
探究点2 集合中元素的性质
1. 你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗 为什么？
不能. 其中的元素不确定
“高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“高”才算“高”？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象．因此，不能构成集合．
集合中的元素是确定的
2.由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
集合中的元素是互异的
3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合没有变化
集合中的元素是没有顺序的
3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合没有变化
集合中的元素是没有顺序的
集合中元素的三个特性
集合中元素是确定的，即对任何一个对象，
它是或不是某个集合的元素是确定的，且
二者必居其一.
确定性是判断一组对象能否构成集合的标准.
确定性
互异性
无序性
集合中的元素没有相同的，解题时这一点
易被忽视.
集合中的元素没有前后顺序.
【解析】（1）错误，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断是否属于地球的周围，因此它不满足集合元素的确定性．
（2）正确，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素.
空集：一般地，我们把不含有任何元素的集合称为空集.
集合的分类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.
(3)正确，虽然满足条件的数有无数多个，但任何一个元素都能判断出来是否属于这个集合．
（5）错误，因为集合中的元素是无序的，这两个集合是相等的．
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
探究点3 元素和集合的关系
已知下面的两个实例：
（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.
思考：那么a，b与集合A分别有什么关系
a是集合A中的元素,
b不是集合A中的元素.
判断正误：
(2)符号“∈， ”可以在集合与集合之间，表示集合与集合之间的关系. ( )
√
×
几种常见数集及符号
正整数集
自然数集
整数集
有理数集
实数集
或
跟踪训练:
跟踪训练:
0或-1
含义
元素的特性
回顾本节课的收获
集合
数集及其符号
元素与集合间的关系
确定性
无序性
互异性
属于∈
不属于 (共19张PPT)
小明同学购买文具情况
第一次购买
第二次购买
第一次与第二
次都买了哪几
种文具？
两次总共买了
哪些文具？
如果把两次购买的文具分别看成两个集合，这体现了什么？
两实数可以进行加减运算，集合可以进行类似的“加减”运算吗？
1.理解交集与交集的概念,并体会它们的区别与联系.（重点）
2.会求两个已知集合的并集和交集.（重点）
3.能正确应用交集与并集解决相关问题.（难点）
探究点1 交集
集合间元素的关系
【解答】集合C中的元素既在集合A中，又在集合B中.
思考2：你能归纳出交集的概念吗？
集合C是集合A与B的交集
交集
一般地，给定两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即 A∩B＝___________________.
用维恩图表示为：
{x|x∈A，且x∈B }
思考3：你能用维恩图表示出它们之间的关系吗？
用符号怎么表示？
【总结提升】 交集的性质
探究点2 并集
思考1：观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}
(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.
集合C是集合A与B的并集
【解答】集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
思考2：你能归纳出并集的概念吗？
一般地，给定两个集合A,B,由这两个集合的所有元素组成的集合， 称为A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），
并集
即：A∪B__________________.
={x|x∈A，或x∈B}
思考3：你能用维恩图表示出它们之间的关系吗？
用维恩图表示为：
2. 设集合M={x|x2+2x=0，x∈R},N={x|x2-2x=0，x∈R}，则M∪N的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
C
【总结提升】 并集的性质
思考5：如果A中有n个元素，B中有m个元素，那么A∪B中一定有m＋n个元素吗？
若A∩B＝ ，A∪B中有m＋n个元素．否则少于m＋n个元素.符号card(A)表示A中的元素个数，则有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
A=B时不满足
不一定．
A
B
画数轴、找端点是关键
-2
-1
0
1
2
3
4
5
A
B
A∪B
-3
列方程组求交点
元素是点，要写成坐标形式
【变式练习】
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
【解析】 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，
∴B＝ 或B≠ .
-1
两种方法
几个性质
并集与交集
两个定义
数轴和维恩图.
并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
(共16张PPT)
左图中有很多可爱的小猫咪.如果橘色的猫咪组成集合A,所有的猫咪组成集合B,那么集合Ａ与集合Ｂ的关系是怎样的？怎样来表示这种关系？
1.理解子集、真子集的概念,了解集合间包含关系的意义.(重点）
2.会判断简单集合的包含关系.（难点）
3.会区分属于和包含关系.（难点）
探究点1 子集
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
①A={1,3}, B={1,3,5,6};
①，②，③中集合Ａ中的每一个元素都是集合Ｂ中的元素,即集合Ａ与集合Ｂ有包含关系.
子集
一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作
读作：“A含于B”(或“B包含A”).
符号语言：
则
如果A不是B的子集，则记作
读作：“A不含于B”(或“B不包含A”).
维恩图：在数学中，我们经常用平面上一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图.
思考1：你能用更直观的方式表示两集合的包含关系吗？
“大”
集合
“小”
集合
探究点2 真子集
A={1,2,3}, B={1,2,3}，C={1,2,3,4,5}.
思考1：集合A是B的子集吗？集合A是C的子集吗？有什么不同？
【解析】集合A中的元素和集合B中的元素相同，集合C中含有不属于集合A的元素.
真子集：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
记作
c
A是B的子集,
A是C的真子集
A
B
或（ ）
B
A
读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).
A
B
c
规定：空集是任何非空集合的真子集.
探究点3 集合的相等与子集的关系
=
如何才能一个不漏地写出所有子集呢？
【总结提升】
①写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合元素从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.
②写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数
1 , 2
2 ,,, 4
3 ,, 8
4 ,,,,,,,,,,,,,, 16
想一想
集合 元素个数 所有子集 子集个数
2
A
(共32张PPT)
人教B版 数学 必修第一册
课标定位素养阐释
1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法.
2.能够灵活选用集合的表示方法表示相应集合.
3.了解区间的概念,能使用区间表示某些集合.
4.体会数学抽象的过程,提升数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、列举法
1.下列集合中的元素有哪些 如何表示这些集合
(1)地球上的四大洋组成的集合;
(2)方程(x-3)(x-2)=0的所有实数解组成的集合;
(3)正整数集N+.
提示:(1)元素有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋,集合可表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}.
(2)元素有2,3,集合可表示为{2,3}.
(3)元素有1,2,3,…,集合可表示为{1,2,3,…}.
2.把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
3.(1)集合{3,9,8}和{9,3,8}是什么关系
(2)a与{a}相同吗
(3)用列举法只能表示有限集吗
提示:(1)相等,因为{3,9,8}={9,3,8}.
(2)不相同.a是元素,{a}是集合,a∈{a}.
(3)不是.如整数集Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
4.用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;
(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数解组成的集合为B,则B={0,1}.
(3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,则C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
二、描述法
1.(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗
(2)不等式x-7<3的所有解组成的集合用列举法表示方便吗
提示:(1)能.大于1,且小于9的偶数组成的集合.(答案不唯一)
(2)不方便.因为集合是无限集,且元素不方便一一列举.
2.一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.
3.用描述法表示不等式x+2>3的所有解组成的集合.
解:{x|x+2>3}.
三、区间及其表示
1.大于3,且不大于5的所有实数组成的集合如何表示 你还有其他的表示方法吗
提示:{x|3定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.(1)区间概念(a,b为实数,且a(2)其他区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
3.(1)只含有一个元素的集合,如{1},能用区间表示吗
(2)在区间(m,n]中,实数m,n的大小关系如何
提示:(1)不能.(2)m4.用区间表示下列集合
(1){x|x<0}用区间表示为 ;
(2){x|2≤x<5}用区间表示为 .
答案:(1)(-∞,0) (2)[2,5)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}相等.( )
(4)有限集可以用列举法表示.( )
(5)集合{1,2,3,4,5}用描述法表示为{x∈N+|x<6}.( )
×
×
√
√
√
合作探究 释疑解惑
探究一
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)36与60的公因数组成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的所有解组成的集合;
(3)一次函数y=x-1与 的图象的交点组成的集合.
解:(1)36与60的公因数有1,2,3,4,6,12,所求集合为{1,2,3,4,6,12}.
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的解是x1=x2=4,x3=2,所求集合为{4,2}.
(1)例1(3)中的集合可以表示为 吗
(2)写出表示函数y=x-1与y=x+3的图象的交点组成的集合.
(2) .
用列举法表示集合应注意以下三点
(1)弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素.
(2)对于有限集中的元素一般要写全,但不能重复.
(3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
【变式训练1】 用列举法表示下列集合:
(1)单词look中的字母组成的集合;
(2)不等式组 的所有整数解组成的集合.
解:(1)因为集合中的元素具有互异性,所以look中的字母组成的集合为{l,o,k}.
因为x为整数,所以x的取值为4,5,6,组成的集合为{4,5,6}.
探究二
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合;
(3)抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合.
解:(1){x|x=5n+1,n∈N}.
(2){(x,y)|x<0,且y<0}.
(3){(x,y)|y=x2+1}.
用描述法表示集合应注意以下三点
(1)写清集合代表元素的符号.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.
(3)不能出现未被说明的字母.
【变式训练2】 用描述法表示下列集合:
(1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合;
(2)平面直角坐标系中第二、第四象限内的点组成的集合.
解:(1)数轴上与原点的距离大于3的点组成的集合,用描述法可表示为{x||x|>3}.
(2)平面直角坐标系中第二、四象限内的点组成的集合,用描述法可表示为{(x,y)|xy<0}.
探究三
用区间表示集合
【例3】 用区间表示下列集合:
(1){x|2(2){y|y>5}.
解:(1)(2,8].(2)(5,+∞).
在区间(m,n)内,一定有m【变式训练3】 用区间表示下列集合:
(1){x|-2≤x<1};(2){x|x≤-3}.
解:(1)[-2,1).(2)(-∞,-3].
易错辨析
认为集合中的字母具有一致性致错
【典例】 已知集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},C={x|x=4a+1,a∈Z}.若m∈A,n∈B,则( )
A.m+n∈A
B.m+n∈B
C.m+n∈C
D.m+n不属于A,B,C中的任意一个
错解:C
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:不能正确利用集合中元素的特性,认为三个集合中的a是一致的,从而由m∈A,得m=2a,a∈Z.由n∈B,得n=2a+1,a∈Z.所以得到m+n=4a+1,a∈Z.进而错误判断m+n∈C.而实际上,三个集合中的a是不一致的.应由m∈A,设m=2a1,a1∈Z.由n∈B,设n=2a2+1,a2∈Z.所以m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2∈Z,所以m+n∈B,故选B.
正解:B
在分析集合中元素的关系时,一定要注意字母各自取值的独立性,并要注意用不同的字母来区分,否则易引起错误.
随堂练习
1.用列举法表示大于2,且小于5的自然数组成的集合为( )
A.{3,4}
B.A={2,3,4,5}
C.{2D.{x|2答案:A
2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
解析:由题意,得x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.
故B中有10个元素.
答案:D
3.(多选题)下列命题为假命题的是( )
A.0与{0}表示同一个集合
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}
D.集合{x|4解析:A中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合;根据集合中元素的无序性可知B正确;根据集合元素的互异性可知C错误;D不能用列举法表示,原因是该集合有无数个元素,不能一一列举.
答案:ACD
4.若集合A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合B= .
答案:{4,9,16}
5.在区间[-a,3a]上,实数a满足的条件是 .
解析:由3a>-a,得a>0.
答案:a>0
6.用适当的方法表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合.
解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个,用描述法表示为
{y|y=-3x2+2x+4}.