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第2课时 函数的表示方法
新课导入 学习目标
利用医疗仪器
可以方便地测量出
心脏在各时刻的指
标值，据此可以描绘出心电图．医生看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果．这就是本节我们学习的函数的表示方法，除了用图象法表示函数，还有哪些表示方法呢？ 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数．
2．掌握求函数解析式的常用方法．
3．会作函数的图象并从图象上获取有用信息．
一 函数的表示法
[知识梳理]
[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【解】 (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
理解函数表示法的三个要点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以同时用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[跟踪训练1] 已知函数y＝f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).
解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
二 求函数的解析式
技法1 换元法(配凑法)求函数的解析式
[例2] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
【解】 f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
所以f(x)＝2x－1.
技法2 待定系数法求解析式
[例3] (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
技法3 消元法(或解方程组法)求解析式
[例4] 已知定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式．
【解】 因为对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)，
由2f(x)－f(－x)＝x2，①
得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，②
①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2，
所以f(x)＝x2(－1求函数解析式的四种常用方法
[跟踪训练2] 求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(2)若f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
解：因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2).
三 函数图象的作法及应用
[知识梳理]
一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为________________，即F＝______________________________．
函数的图象
{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}
提醒 (1)如果F是函数y＝f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上．
(2)实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法．
[例5] (对接教材例6)作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
描点法作函数图象的三个注意点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
注意 函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟踪训练3] 作出下列函数的图象，并求出其值域．
(1)y＝x＋2，|x|≤3；
解：因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图1.观察图象可知，其值域为[－1，5].
(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.
解：因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图2.观察图象可知，其值域为{－2，－1，2}．
课堂巩固自测
1．函数y＝x－1(x≥0)的图象是( )
A．一条射线 B．一条线段
C.两条射线 D．一条直线
解析：函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线．故选A.
√
2．(多选)已知函数f(2x＋1)＝4x2，则( )
A.f(1)＝4 B．f(－1)＝4
C.f(x)＝x2 D．f(x)＝(x－1)2
√
√
3．已知函数f(x)的对应关系如下表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝( )
√
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B．2 C．1 D．0
解析：由题知g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝2.
4．(教材P96例7改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．
1．已学习：函数的三种表示法、函数解析式的求法．
2．须贯通：函数的三种表示法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系，各有优缺点，解决问题时可以选择最合适的方法，实际操作过程中多以解析法为主．
3．应注意：(1)求函数解析式时容易忽视定义域；
(2)图象法没有弄清楚函数图象是“点”还是“线”．第2课时 函数的表示方法
新课导入 学习目标
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图．医生看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果．这就是本节我们学习的函数的表示方法，除了用图象法表示函数，还有哪些表示方法呢？ 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数．2．掌握求函数解析式的常用方法．3．会作函数的图象并从图象上获取有用信息．
[知识梳理]
[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【解】 (1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
eq \a\vs4\al()
理解函数表示法的三个要点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以同时用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[跟踪训练1] 已知函数y＝f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).
解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
技法1 换元法(配凑法)求函数的解析式
[例2] 求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).
【解】 (1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
所以f(x)＝2x－1.
(2)方法一(换元法)：令t＝＋1，t≥1，
则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
技法2 待定系数法求解析式
[例3] (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
【解】 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
所以
解得或
所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
技法3 消元法(或解方程组法)求解析式
[例4] 已知定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式．
【解】 因为对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)，
由2f(x)－f(－x)＝x2，①
得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，②
①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2，
所以f(x)＝x2(－1eq \a\vs4\al()
求函数解析式的四种常用方法
[跟踪训练2] 求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(2)若f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
解：(1)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
所以解得
故f(x)的解析式为f(x)＝2x＋7.
(2)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，
所以f(x)＝x2－4(x≥2).
[知识梳理]
一般地，将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为________________，即F＝________________．
提醒 (1)如果F是函数y＝f(x)的图象，则图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；反之，满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数的图象F上．
(2)实际作图时，经常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图象，这称为描点作图法．
[答案自填] 函数的图象 {(x，y)|y＝f(x)，x∈A}
[例5] (对接教材例6)作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(0【解】 (1)用描点法可以作出函数的图象如图1所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为[－，2].
(2)用描点法可以作出函数的图象如图2所示．
由图可知y＝(0eq \a\vs4\al()
描点法作函数图象的三个注意点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
注意 函数图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
[跟踪训练3] 作出下列函数的图象，并求出其值域．
(1)y＝x＋2，|x|≤3；
(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.
解：(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图1.观察图象可知，其值域为[－1，5].
(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图2.观察图象可知，其值域为{－2，－1，2}．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．函数y＝x－1(x≥0)的图象是( )
A．一条射线 B．一条线段
C.两条射线 D．一条直线
解析：选A.函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线．故选A.
2．(多选)已知函数f(2x＋1)＝4x2，则( )
A.f(1)＝4 B．f(－1)＝4
C.f(x)＝x2 D．f(x)＝(x－1)2
解析：选BD.令t＝2x＋1，则x＝，因为f(2x＋1)＝4x2，所以f(t)＝4()2＝(t－1)2，
所以f(x)＝(x－1)2，所以f(1)＝(1－1)2＝0，f(－1)＝(－1－1)2＝4.故选BD.
3．已知函数f(x)的对应关系如下表，函数g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
eq \a\vs4\al()
A.3 B．2 C．1 D．0
解析：选B.由题知g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝2.
4．(教材P96例7改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以
解得
所以f(x)＝x2＋1.
eq \a\vs4\al()
1．已学习：函数的三种表示法、函数解析式的求法．
2．须贯通：函数的三种表示法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系，各有优缺点，解决问题时可以选择最合适的方法，实际操作过程中多以解析法为主．
3．应注意：(1)求函数解析式时容易忽视定义域；
(2)图象法没有弄清楚函数图象是“点”还是“线”．
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