第3课时 分段函数
新课导入 学习目标
某市公共汽车的票价按下列规则实施：(1)5 千米以内(包含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)，已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)共有11个汽车站．从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)是函数关系吗？ 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．2．能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题．
[知识梳理]
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
提醒 (1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．
(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
[例1] (1)已知函数f(x)＝，则其定义域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)函数f(x)＝的定义域为____________，值域为______________．
【解析】 (1)要使f(x)有意义，只需x≠0，
故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0
又当0当－1【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
eq \a\vs4\al()
(1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
②分段函数的值域是各段函数值域的并集．
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
[跟踪训练1] (1)已知函数f(x)＝
则函数的定义域为______________，值域为________．
解析：由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1].
答案：R [0，1]
(2)若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是____________．
解析：由题意得f(x)＝
画函数f(x)的图象如图所示，
得值域是(－∞，1].
答案：(－∞，1]
[例2] 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f())的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
【解】 (1)由题可得f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2，
因为f()＝2×－4＝1，
所以f(f())＝f(1)＝1＋2＝3.
(2)当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
解得a＝2，不符合题意，舍去；
当－2解得a＝1或a＝－3，因为1∈(－2，2)，－3 (－2，2)，
所以a＝1符合题意；
当a≥2时，f(a)＝2a－4＝3，解得a＝，符合题意．
综上，当f(a)＝3时，a＝1或a＝.
eq \a\vs4\al()
(1)分段函数求函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一区间段．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知函数值求字母取值的步骤
①先对字母的取值范围分类讨论；
②然后代入不同的解析式中；
③通过解方程求出字母的值；
④检验所求的值是否在所讨论的区间内．
[跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝
则f(2)＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
(2)已知函数f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范围．
解：当x≥－2时，由f(x)>2，得x＋2>2，
解得x>0，故x>0；
当x<－2时，由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).
角度1 分段函数图象的识别与作法
[例3] (1)函数y＝＋x的大致图象是( )
(2)分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
①y＝②y＝
【解】 (1)选C.方法一：易得函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，排除A，B；当x＝－1时，y＝－2，选项D中的图象不符合，排除D.故选C.
方法二：函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，依据绝对值的概念可得y＝易知选项C的图象正确．
(2)函数①，②对应的图象分别为图1，图2，
由图知，①函数的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞).
②函数的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].
eq \a\vs4\al()
(1)解决图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围；根据特殊点确定图象的位置，一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高(低)点．
(2)分段函数图象的画法
①对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
②作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
角度2 分段函数的实际应用
[例4] 某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满199元的不予优惠；一次购物总额满199元，但不满299元的，减28元；一次购物总额满299元，不满499元的，减48元；一次购物总额满499元的，按购物总额给予九折优惠．设某位顾客一次购物总额为x元(假设x可取(0，＋∞)上的一切实数)，所享受到的优惠率(即原价与折扣价之差占原价的百分比)记为y.
(1)试写出y关于x的函数关系，并求该函数的最大值；
(2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求x的取值范围．
【解】 (1)由题知，
y＝
即y＝
所以在(0，199)上y＝0，
在[199，299)上y随x的增大而减小，此时ymax＝≈0.14，
在[299，499)上y随x的增大而减小，此时ymax＝≈0.16，
在[499，＋∞)上y＝0.1，而0.16＞0.14＞0.1＞0，
综上，该函数的最大值为.
(2)由(1)知，y＝
则令0.1＜≤0.15，解得≤x＜280，
所以此时199≤x＜280；
令0.1＜≤0.15，解得320≤x＜480，
综上，x的取值范围为[199，280)∪[320，480).
eq \a\vs4\al()
分段函数实际应用的两个关注点
(1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．
(2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．
[跟踪训练3] (1)下表为某市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).
阶梯 每户年用水量(立方米) 水价 包含费用
自来水费 水资源费 污水处理费
第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为________元；污水处理费为________元．
解析：设年用水量为x立方米，对应水费为y元．依题意得，y＝
即y＝
依题意得y＝1 040，若x∈[0，180]，则5x＝1 040，解得x＝208，不合题意，舍去；若x∈(180，260]，则7x－360＝1 040，解得x＝200，符合题意；若x＞260，则9x－880＝1 040，解得x＝213，不合题意，舍去．故该用户当年用水量为200立方米．因此，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元).
答案：314 272
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令 φ(x)＝min{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的较小者．
①分别用图象法和解析法表示φ(x)；
②求函数φ(x)的定义域，值域．
解：①在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图1.
由图1中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数 φ(x) 的图象如图2.
令－x2＋2＝x，解得x＝－2或x＝1.
结合图2，得出φ(x)的解析式为
φ(x)＝
②由图2知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1].
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1．(多选)下列给出的函数是分段函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选AD.B中的函数f(x)＝当x＝4时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；C中的函数f(x)＝当x＝1时，有两个函数值与之对应，不满足函数的概念，不是分段函数；只有A，D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD.
2.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A.f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－|x|＋1
D．f(x)＝|x＋1|
解析：选AC.由题图可知，当x≤0时，可设f(x)＝kx＋b，
将(0，1)，(－1，0)代入函数f(x)，得
解得k＝b＝1，所以f(x)＝x＋1，
同理，当x>0时，f(x)＝－x＋1，
所以f(x)＝
即f(x)＝－|x|＋1.故选AC.
3．(2025·营口月考)设函数f(x)＝则f(－2)＝____________，f＝__________；若f(x)＝3，则x＝__________．
解析：f(－2)＝－2＋2＝0；
f＝f＝2×＝.
由(舍去)或(舍去)
或解得x＝.
答案：0
4.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，则函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝____________．
解析：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8综上可知，y＝f(x)＝
答案：
eq \a\vs4\al()
1．已学习：分段函数的概念、图象及应用．
2．须贯通：(1)分段函数求值(范围)应先确定求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．常用到分类讨论思想．
(2)明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解．
3．应注意：作分段函数的图象时要注意衔接点的虚实．
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第3课时 分段函数
新课导入 学习目标
某市公共汽车的票价按下列规则实施：(1)5 千米以内(包含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)，已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途
(包括起点站和终点站)共有11个汽车站．从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)是函数关系吗？ 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．能在实际问题中列出分段函数的表达式，并能解决有关问题．
一 分段函数的定义域、值域
[知识梳理]
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
提醒 (1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．
(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
√
【解析】 要使f(x)有意义，只需x≠0，
故f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
(－1，1)
(－1，1)
【解析】 由已知得，f(x)的定义域为{x|0又当0当－1(1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
②分段函数的值域是各段函数值域的并集．
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
解析：由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1].
R
[0，1]
(－∞，1]
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
(1)分段函数求函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一区间段．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知函数值求字母取值的步骤
①先对字母的取值范围分类讨论；
②然后代入不同的解析式中；
③通过解方程求出字母的值；
④检验所求的值是否在所讨论的区间内．
解析：f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
√
解：当x≥－2时，由f(x)>2，得x＋2>2，
解得x>0，故x>0；
当x<－2时，由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上所述，x的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞).
√
【解】 函数①，②对应的图象分别为图1，图2，
由图知，①函数的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞).
②函数的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].
(1)解决图象识别问题的基本方法是排除法，即根据函数的定义域确定图象所在的范围；根据特殊点确定图象的位置，一般为图象与坐标轴的交点、图象的最高(低)点．
(2)分段函数图象的画法
①对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
②作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏．
角度2 分段函数的实际应用
[例4] 某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满199元的不予优惠；一次购物总额满199元，但不满299元的，减28元；一次购物总额满299元，不满499元的，减48元；一次购物总额满499元的，按购物总额给予九折优惠．设某位顾客一次购物总额为x元(假设x可取(0，＋∞)上的一切实数)，所享受到的优惠率(即原价与折扣价之差占原价的百分比)记为y.
(1)试写出y关于x的函数关系，并求该函数的最大值；
(2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求x的取值范围．
分段函数实际应用的两个关注点
(1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．
(2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．
[跟踪训练3] (1)下表为某市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).
阶梯 每户年用水量
(立方米) 水价 包含费用
自来
水费 水资
源费 污水处
理费
第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.07 1.57 1.36
第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.07
第三阶梯 260以上 9.00 6.07
若某户居民一年交水费1 040元，则其中水资源费为________元；污水处理费为________元．
314
272
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令 φ(x)＝min{f(x)，g(x)}，即f(x)和g(x)中的较小者．
①分别用图象法和解析法表示φ(x)；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图1.
②求函数φ(x)的定义域，值域．
解：由图2知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1].
课堂巩固自测
√
√
√
√
0
4.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，则函数y＝f(x)的解析
式为f(x)＝__________________．
1．已学习：分段函数的概念、图象及应用．
2．须贯通：(1)分段函数求值(范围)应先确定求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．常用到分类讨论思想．
(2)明确研究分段函数的值域并利用分段函数的图象求解．
3．应注意：作分段函数的图象时要注意衔接点的虚实．