3．1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与最值
新课导入 学习目标
德国著名的心理学家艾宾浩斯对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．此曲线从左至右是逐渐下降的，我们如何用数学观点进行解释？这就是本节所讲的内容． 1.理解并会判断函数的单调性．2．会利用函数的单调性比较大小、解不等式．3．会利用函数的单调性求函数的最值．
下图为某地区24小时内的气温变化图．
思考1 从左向右看，图象是如何变化的？
提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降．
思考2 气温在哪些区间上升？哪些区间下降？
提示：气温在区间[4，14]内上升，在区间[0，4)和(14，24]内下降．
思考3 该地区24小时内，最高气温是多少？最低气温是多少？
提示：最高气温是9 ℃，最低气温是－2 ℃.
[知识梳理]
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上______________)，如图1所示；
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上______________)，如图2所示．
两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性．
[答案自填] f(x1)＜f(x2) 单调递增
f(x1)＞f(x2) 单调递减
[例1] (对接教材例1)求证：函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增．
【证明】 x1，x2∈(1，＋∞)，且x1
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
因为11，x1x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增．
母题探究 若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性．
解：函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
理由如下：任取x1，x2∈(0，1)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
因为0x1x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减．
eq \a\vs4\al()
利用定义证明函数单调性的步骤
注意 判断(证明)函数的单调性的关键是判断差式的正负．
[跟踪训练1] (2025·东营期末)讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．
解：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1f(x)＝＝a(1＋)，
则f(x1)－f(x2)＝a(1＋)－a(1＋)＝，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增．
[知识梳理]
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有________________(区间I称为函数的__________，也可分别称为____________或________________).
[答案自填] 单调性 单调区间 单调递增区间 单调递减区间
[例2] 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)画出f(x)的图象；
(2)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明)
【解】 (1)因为f(x)＝x2－4|x|＋3＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间是[－2，0]，[2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2].
eq \a\vs4\al()
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解．
(2)图象法：先画出图象，再根据图象求单调区间．
注意 单调区间必须是函数定义域的子集，当函数在多个单调递增(或递减)区间端点处不满足单调递增(或递减)时，单调区间之间不能用“∪”连接，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
[跟踪训练2] (1)如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数的单调递减区间为______________．
解析：由题图可得，此函数的单调递减区间为[－3，－1]，[1，3].
答案：[－3，－1]，[1，3]
(2)求函数f(x)＝的单调递减区间．
解：由题意得x－1≠0，得x≠1，所以函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
x1，x2∈(－∞，1)，且x1因为x10，x1－1<0，x2－1<0，所以 f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
同理，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
[知识梳理]
函数的最值
类别 最大值 最小值
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D
都有f(x)____f(x0) 都有f(x)____f(x0)
结论 f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点 f(x)的最小值为 f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为________
最大值点和最小值点统称为____________
[答案自填] ≤ ≥ 最值 最值点
角度1 利用单调性比较大小
[例3] 已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
【解析】 由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对任意x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋c，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)＜f(1)＜f(2)
B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(－1)＜f(2)＜f(1)
D．f(2)＜f(－1)＜f(1)
解析：选C.由题意知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(2)＝f(0)，因为函数f(x)在上单调递增，且－1＜0＜1，所以f(－1)＜f(0)＝f(2)＜f(1).故选C.
角度2 利用单调性解不等式
[例4] 已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)【解】 由题意知
解得0即所求实数a的取值范围是(0，).
eq \a\vs4\al()
利用单调性解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
[跟踪训练4] 已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
解析：因为函数y＝f(x)在R上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，
解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1).
答案：(－∞，1)
角度3 利用单调性求最值
[例5] (对接教材例2)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在(，＋∞)上的单调性，并证明；
(2)求该函数在区间[1，5]上的最大值和最小值．
【解】 (1)函数f(x)在(，＋∞)上单调递减．
证明如下：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1因为x1，x2∈(，＋∞)，x1所以3x1－1>0，3x2－1>0，x2－x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)在(，＋∞)上单调递减，所以函数 f(x)在[1，5]上单调递减，
所以f(x)min＝f(5)＝＝，
f(x)max＝f(1)＝＝1.
eq \a\vs4\al()
(1)利用函数的单调性求最值
首先判断函数的单调性，然后利用单调性写出最值．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
[跟踪训练5] 已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在区间[1，3]上的最值．
解：(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．证明如下：设 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x2>x1>0，
所以x1＋x2>0，x2－x1>0，(x1x2)2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以在区间[1，3]上，当x＝1时，f(x)取最大值，最大值为f(1)＝2；当x＝3时，f(x)取最小值，最小值为f(3)＝.
拓视野 复合函数的单调性
若函数y＝f(t)在A内单调，t＝g(x)在B内单调，且集合{t|t＝g(x)，x∈B} A.
(1)若y＝f(t)是增函数，t＝g(x)是增(减)函数，则y＝f(g(x))是增(减)函数，
(2)若y＝f(t)是减函数，t＝g(x)是增(减)函数，则y＝f(g(x))是减(增)函数．
习惯上，我们称y＝f(t)为外层函数，t＝g(x)为内层函数．
[典例] 已知函数y＝f(t)＝，t＝g(x)＝x2－4x－5.
(1)判断f(t)的单调性；
(2)求f(g(x))的单调区间．
【解】 (1)y＝f(t)＝的定义域为[0，＋∞)，
设t1，t2∈[0，＋∞)，且t1f(t1)－f(t2)＝－＝<0，
所以f(t1)(2)由题意，f(g(x))＝，令x2－4x－5≥0，解得x≤－1或x≥5，
而函数t＝x2－4x－5在(－∞，－1]上单调递减，在[5，＋∞)上单调递增，又函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，因此函数f(g(x))的单调递增区间是[5，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1].
eq \a\vs4\al()
解决此类问题遵循以下步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：令内层函数为t＝g(x)，借助函数单调性定义或其图象，确定其函数的单调性；
第三步：借助函数单调性定义或其图象，判断外层函数y＝f(t)的单调性；
第四步：利用结论同增异减判断．
[练习1] (多选)关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为( )
A．单调递减区间为(－∞，－3]
B．单调递减区间为(－∞，－1]
C．单调递增区间为[1，＋∞)
D．单调递增区间为(－3，－1]
解析：选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
[练习2] 函数f(x)＝的单调增区间为____________．
解析：由－x2＋4x－3＝－(x2－4x＋3)＝－(x－1)(x－3)≥0，
解得1≤x≤3，二次函数y＝－x2＋4x－3的图象开口向下，
对称轴为直线x＝2，
函数y＝在[0，＋∞)上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，f(x)的单调递增区间是[1，2].
答案：[1，2]
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－2x
C．y＝1－x D．y＝|x|－1
解析：选D.对于A，y＝－x2＋1，图象开口向下，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
对于B，y＝x2－2x，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，其在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于C，y＝1－x，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝|x|－1，当x＞0时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递增．故选D.
2．设a＞0，若函数y＝，当x∈[a，2a]时，y的取值范围为，则a的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选B.因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以解得a＝4.故选B.
3．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2，4])的单调递增区间为________．
解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，
又x∈[－2，4]，故f(x)的单调递增区间为[1，4].
答案：[1，4]
4．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)解析：依题意，得不等式组解得答案：
5．(教材P107T6改编)已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(2)求f(x)在区间[3，6]上的最值．
解：(1)证明：任取2≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋8＝，
因为2≤x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1x2＞8，x1x2－8>0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x)在[3，6]上单调递增，
所以在区间[3，6]上，f(x)min＝f(3)＝3＋＝，
f(x)max＝f(6)＝6＋＝.
eq \a\vs4\al()
1．已学习：函数单调性的判断及应用、单调区间的求解、函数最值的求解．
2．须贯通：明确函数的单调性定义中x1，x2的三个特征以及函数的单调区间为定义域子集的性质，利用函数图象求单调区间体现了数形结合思想．
3．应注意：利用函数的单调性解不等式时不能忽略函数的定义域．
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3．1.2 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与最值
新课导入 学习目标
德国著名的
心理学家艾宾浩
斯对记忆保持量
进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．此曲线从左至右是逐渐下降的，我们如何用数学观点进行解释？这就是本节所讲的内容． 1.理解并会判断函数的单调性．
2．会利用函数的单调性比较大小、解不等式．
3．会利用函数的单调性求函数的最值．
一 函数单调性的判断与证明
下图为某地区24小时内的气温变化图．
思考1 从左向右看，图象是如何变化的？
提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降．
思考2 气温在哪些区间上升？哪些区间下降？
提示：气温在区间[4，14]内上升，在区间[0，4)和(14，24]内下降．
思考3 该地区24小时内，最高气温是多少？最低气温是多少？
提示：最高气温是9 ℃，最低气温是－2 ℃.
[知识梳理]
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且区间I D：
(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上______________)，如图1所示；
(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有____________，则称y＝f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上______________)，如图2所示．
两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性．
f(x1)＜f(x2)
单调递增
f(x1)＞f(x2)
单调递减
母题探究 若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性．
利用定义证明函数单调性的步骤
注意 判断(证明)函数的单调性的关键是判断差式的正负．
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增．
二 求函数的单调区间
[知识梳理]
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有________________(区间I称为函数的__________，也可分别称为____________或________________).
单调性
单调区间
单调递增区间
单调递减区间
[例2] 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)画出f(x)的图象；
(2)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明)
【解】 由图象可知，函数f(x)的单调递增区间是[－2，0]，[2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]，[0，2].
求函数单调区间的2种方法
(1)定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解．
(2)图象法：先画出图象，再根据图象求单调区间．
注意 单调区间必须是函数定义域的子集，当函数在多个单调递增(或递减)区间端点处不满足单调递增(或递减)时，单调区间之间不能用“∪”连接，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．
[跟踪训练2] (1)如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么此函数的单调递减区间为_____________________．
[－3，－1]，[1，3]
解析：由题图可得，此函数的单调递减区间为[－3，－1]，[1，3].
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，所以 f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减．
同理，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
三 函数单调性的应用
[知识梳理]
函数的最值
类别 最大值 最小值
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D
都有f(x)____f(x0) 都有f(x)____f(x0)
结论 f(x)的最大值为 f(x0)，而x0称为 f(x)的最大值点 f(x)的最小值为 f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称 最大值和最小值统称为________
最大值点和最小值点统称为____________
≤
≥
最值
最值点
角度1 利用单调性比较大小
[例3] 已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
√
【解析】 由题意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.
因为f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.
利用单调性比较大小的方法
(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对任意x1，x2∈D，x1(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋c，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)＜f(1)＜f(2)
B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(－1)＜f(2)＜f(1)
D．f(2)＜f(－1)＜f(1)
√
角度2 利用单调性解不等式
[例4] 已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)利用单调性解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
[跟踪训练4] 已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为____________．
解析：因为函数y＝f(x)在R上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，
解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1).
(－∞，1)
(2)求该函数在区间[1，5]上的最大值和最小值．
(1)利用函数的单调性求最值
首先判断函数的单调性，然后利用单调性写出最值．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
(2)求f(x)在区间[1，3]上的最值．
若函数y＝f(t)在A内单调，t＝g(x)在B内单调，且集合{t|t＝g(x)，x∈B} A.
(1)若y＝f(t)是增函数，t＝g(x)是增(减)函数，则y＝f(g(x))是增(减)函数，
(2)若y＝f(t)是减函数，t＝g(x)是增(减)函数，则y＝f(g(x))是减(增)函数．
习惯上，我们称y＝f(t)为外层函数，t＝g(x)为内层函数．
拓视野 复合函数的单调性
(2)求f(g(x))的单调区间．
解决此类问题遵循以下步骤：
第一步：求函数的定义域；
第二步：令内层函数为t＝g(x)，借助函数单调性定义或其图象，确定其函数的单调性；
第三步：借助函数单调性定义或其图象，判断外层函数y＝f(t)的单调性；
第四步：利用结论同增异减判断．
√
√
解析：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
[1，2]
课堂巩固自测
1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－2x
C．y＝1－x D．y＝|x|－1
√
解析：对于A，y＝－x2＋1，图象开口向下，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
对于B，y＝x2－2x，图象开口向上，对称轴为直线x＝1，其在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于C，y＝1－x，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；
对于D，y＝|x|－1，当x＞0时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递增．故选D.
√
3．函数f(x)＝x2－2x(x∈[－2，4])的单调递增区间为________．
解析：f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，
又x∈[－2，4]，故f(x)的单调递增区间为[1，4].
[1，4]
4．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)(2)求f(x)在区间[3，6]上的最值．
1．已学习：函数单调性的判断及应用、单调区间的求解、函数最值的求解．
2．须贯通：明确函数的单调性定义中x1，x2的三个特征以及函数的单调区间为定义域子集的性质，利用函数图象求单调区间体现了数形结合思想．
3．应注意：利用函数的单调性解不等式时不能忽略函数的定义域．