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第三章 函 数
新课导入 学习目标
许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化．早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间悄悄的改变；小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化．这两个变量之间存在着函数关系． 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素．
2．会求一些简单函数的定义域和值域．
3．掌握同一个函数的概念，并会判断是否为同一个函数．
一 函数关系的判断
思考1 对于坐标平面内的点(x，y)，若y＝1，x∈R，y是否是x的函数？
提示：是．
思考2 对于坐标平面内的点(x，y)，若x＝1，y∈R，y是否是x的函数？
提示：不是．
[知识梳理]
函数的概念
函数的定义 一般地，给定两个____________A与 B，以及对应关系f，如果对于集合A中的____________，在集合B中都有__________确定的实数y与x对应，则称__________为定义在集合A上的一个函数
非空实数集
每一个实数x
唯一
f
函数的记法 ________，x∈A
定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量________________(即数集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
y＝f(x)
取值的范围
提醒 (1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集；
(2)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积；
(3)函数三要素：定义域、对应关系与值域．
[例1] (1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
√
√
【解析】 对于A，可构成函数关系；对于B，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；对于C，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；对于D，可构成函数关系．
(2)设P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是( )
√
【解析】 由题图知A的定义域不是P，不符合题意；B符合函数的定义，符合题意；C中，集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义；D中，当x＝2时，有两个值与之对应，不符合函数定义．故选B.
(1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
(2)判断一个对应关系是否为函数的方法
(2)A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|x≥2}．
f是A到B上的函数吗？
(3)A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，
f是A到B上的函数吗？
【解】 要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，解得x≠2，所以该函数的定义域为{x|x≠2}．
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义．
注意 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．
√
角度2 求函数值和值域
[例3] (1)若函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数f(x)的值域是________．
【解析】 由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，
解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，
根据集合中元素的互异性，得函数f(x)的值域为{0，1}．
{0，1}
(1)求函数值的方法
①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
(2)求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
②配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法．
③图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域．
④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域．
⑤分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为反比例函数的形式，便于求值域．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝3x2－5x＋2.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)分别求f(3)，f(a)，f(x＋1).
解：f(3)＝3×32－5×3＋2＝14，
f(a)＝3a2－5a＋2，
f(x＋1)＝3(x＋1)2－5(x＋1)＋2＝3x2＋x.
三 同一个函数
[知识梳理]
一般地，如果两个函数表达式表示的函数____________相同，______________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
定义域
对应关系
√
√
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
注意 (1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．
√
√
解析：A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中两函数对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；D中两函数对应关系不同．
(2)写出一个与函数y＝|x|的定义域与值域均相同的不同函数________________________．
解析：由题意可知，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞)，
因为函数y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，
所以y＝x2与函数y＝|x|的定义域与值域均相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
y＝x2(答案不唯一)
1．抽象函数的定义
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量，t为中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数．
拓视野 抽象、复合函数的定义域
3．抽象函数或复合函数的定义域
(1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y＝f(g(x))的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．
(2)f(t)，f(x)，f(φ(x))，f(h(x))四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数f作用下，括号内整体的取值范围相同．
[典例] (1)若函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(x2－1)的定义域为( )
A．[－2，2] B．[0，8]
C．[－1，8] D．[0，2]
【解析】 因为函数f(x)的定义域为[－1，3]，
所以－1≤x2－1≤3，即0≤x2≤4，解得－2≤x≤2，
即f(x2－1)的定义域是[－2，2].
√
(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．
【解析】 由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，可得1≤x＋3＜7，则函数f(x)的定义域为[1，7).
[1，7)
抽象函数定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即为定义域．
√
[练习2] 已知函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，则函数y＝f(x2)的定义域为_______________________．
解析： 因为函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，
所以x－1∈(0，4)，
即函数y＝f(x)的定义域为(0，4)，
则0＜x2＜4，解得－2＜x＜0或0＜x＜2，
所以函数y＝f(x2)的定义域为(－2，0)∪(0，2).
(－2，0)∪(0，2)
课堂巩固自测
1．(教材P97T6改编)以下图形中，不是函数图象的是( )
√
解析：根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象．故选A.
2．(多选)(教材P97T4改编)设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
解析：若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02 B，D项不合适．故选ABC.
√
√
√
√
(2)求f(g(x)).
1．已学习：函数的概念；函数的定义域、值域；同一个函数的判定．
2．须贯通：求函数值域常用的方法：观察法、配方法、换元法等．
3．应注意：(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应．
(2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断．3．1 函数的概念与性质
3．1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
新课导入 学习目标
许多事物都是动态变化的，我们可以感受它们的变化．早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间悄悄的改变；小树随着时间的变化不断长高……在这些变化的现象中都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化．这两个变量之间存在着函数关系． 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．掌握同一个函数的概念，并会判断是否为同一个函数．
思考1 对于坐标平面内的点(x，y)，若y＝1，x∈R，y是否是x的函数？
提示：是．
思考2 对于坐标平面内的点(x，y)，若x＝1，y∈R，y是否是x的函数？
提示：不是．
[知识梳理]
函数的概念
函数的定义 一般地，给定两个____________A与 B，以及对应关系f，如果对于集合A中的____________，在集合B中都有__________确定的实数y与x对应，则称__________为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 ________，x∈A
定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量________________(即数集A)称为这个函数的定义域
值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
提醒 (1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集；
(2)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积；
(3)函数三要素：定义域、对应关系与值域．
[答案自填] 非空实数集 每一个实数x
唯一 f y＝f(x) 取值的范围
[例1] (1)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开平方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值
(2)设P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是( )
【解析】 (1)对于A，可构成函数关系；对于B，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；对于C，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；对于D，可构成函数关系．
(2)由题图知A的定义域不是P，不符合题意；B符合函数的定义，符合题意；C中，集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义；D中，当x＝2时，有两个值与之对应，不符合函数定义．故选B.
【答案】 (1)AD (2)B
eq \a\vs4\al()
(1)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
(2)判断一个对应关系是否为函数的方法
[跟踪训练1] 已知对应关系f：x→－.
(1)A＝{x|x≥1}，B＝{x|x≥－2}，
f是A到B上的函数吗？
(2)A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|x≥2}．
f是A到B上的函数吗？
(3)A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|－2≤x≤2}，
f是A到B上的函数吗？
解：(1)当x≥1时，－2≤－<0，
因为{x|－2≤x<0}?{x|x≥－2}，
所以f是A到B上的函数．
(2)当x＝0时，－没有意义，所以f不是A到B上的函数．
(3)当x≤－1时，0<－≤2，
当x≥1时，－2≤－<0，所以f是A到B上的函数．
角度1 函数的定义域
[例2] (对接教材例1)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
【解】 (1)要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，解得x≠2，所以该函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以该函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以该函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，则只需解得x≤1且x≠－1，所以该函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
eq \a\vs4\al()
求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义．
(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义．
注意 定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．
[跟踪训练2] 函数y＝的定义域是( )
A.{x|x≤－4或x≥1}
B.{x|－4≤x≤1}
C.{x|－4≤x≤1，且x≠－1}
D.{x|－4解析：选C.由题意得解得－4≤x≤1，且x≠－1，即函数的定义域为{x|－4≤x≤1，且x≠－1}．故选C.
角度2 求函数值和值域
[例3] (1)若函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数f(x)的值域是________．
(2)已知函数f(x)＝，g(x)＝x2＋2.则f(2)＝________，f(g(3))＝________．
【解析】 (1)由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，
解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，
根据集合中元素的互异性，得函数f(x)的值域为{0，1}．
(2)因为f(x)＝，
所以f(2)＝＝.
因为g(3)＝32＋2＝11，
所以f(g(3))＝f(11)＝＝.
【答案】 (1){0，1} (2)
eq \a\vs4\al()
(1)求函数值的方法
①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
(2)求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
②配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法．
③图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域．
④换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化为简单的函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域．
⑤分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为反比例函数的形式，便于求值域．
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝3x2－5x＋2.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)分别求f(3)，f(a)，f(x＋1).
解：(1)函数f(x)＝3x2－5x＋2的定义域为R，
因为f(x)＝3－≥－，
所以f(x)的值域为.
(2)f(3)＝3×32－5×3＋2＝14，
f(a)＝3a2－5a＋2，
f(x＋1)＝3(x＋1)2－5(x＋1)＋2＝3x2＋x.
[知识梳理]
一般地，如果两个函数表达式表示的函数____________相同，______________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
[答案自填] 定义域 对应关系
[例4] (多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)＝与g(x)＝
B.f(x)＝－1与g(x)＝|x|－1
C.f(x)＝与g(x)＝x－2
D.f(x)＝与g(x)＝·
【解析】 对于A，f(x)＝＝1与g(x)＝＝1的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于B，f(x)＝－1＝|x|－1，定义域为R，与g(x)＝|x|－1的定义域及对应关系均相同，是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，而g(x)＝x－2的定义域为R，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝的定义域为{x|x≥2，或x≤1}，而g(x)＝·的定义域为{x|x≥2}，所以不是同一个函数．故选AB.
【答案】 AB
eq \a\vs4\al()
判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤
注意 (1)在化简解析式时，必须是等价变形；
(2)与用哪个字母表示无关．
[跟踪训练4] (1)(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝与g(x)＝x
C.f(x)＝与g(x)＝
D.f(x)＝x与g(x)＝
解析：选AC.A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B中两函数对应关系不同；C中两函数的定义域、对应关系相同，所以是同一个函数；D中两函数对应关系不同．
(2)写出一个与函数y＝|x|的定义域与值域均相同的不同函数________．
解析：由题意可知，函数y＝|x|的定义域为R，值域为[0，＋∞)，
因为函数y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，
所以y＝x2与函数y＝|x|的定义域与值域均相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
答案：y＝x2(答案不唯一)
拓视野 抽象、复合函数的定义域
1．抽象函数的定义
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数．
2．复合函数的概念
若函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量，t为中间变量，t＝g(x)叫作内层函数，y＝f(t)叫作外层函数．
3．抽象函数或复合函数的定义域
(1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y＝f(g(x))的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．
(2)f(t)，f(x)，f(φ(x))，f(h(x))四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数f作用下，括号内整体的取值范围相同．
[典例] (1)若函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(x2－1)的定义域为( )
A．[－2，2] B．[0，8]
C．[－1，8] D．[0，2]
(2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________．
【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为[－1，3]，
所以－1≤x2－1≤3，即0≤x2≤4，解得－2≤x≤2，
即f(x2－1)的定义域是[－2，2].
(2)由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，可得1≤x＋3＜7，则函数f(x)的定义域为[1，7).
【答案】 (1)A (2)[1，7)
eq \a\vs4\al()
抽象函数定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即为定义域．
[练习1] 已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域为( )
A． B．∪(－1，1]
C.[－3，7] D．[ －3，－1)∪(－1，7]
解析：选B.由题意得－2≤2x＋1≤3，解得－≤x≤1，由x＋1≠0，解得x≠－1，故函数y＝的定义域是∪(－1，1].
[练习2] 已知函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，则函数y＝f(x2)的定义域为________________________________________________________________________．
解析： 因为函数y＝f(x－1)的定义域为(1，5)，
所以x－1∈(0，4)，
即函数y＝f(x)的定义域为(0，4)，
则0＜x2＜4，解得－2＜x＜0或0＜x＜2，
所以函数y＝f(x2)的定义域为(－2，0)∪(0，2).
答案：(－2，0)∪(0，2)
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．(教材P97T6改编)以下图形中，不是函数图象的是( )
解析：选A.根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象．故选A.
2．(多选)(教材P97T4改编)设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
解析：选ABC.若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02 B，D项不合适．故选ABC.
3．下列函数中与函数y＝x－1是同一个函数的是( )
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝－1
解析：选B.y＝x－1的定义域为R，而y＝()2的定义域为[1，＋∞)，故A错误；m＝－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D错误；y＝＝|x－1|，与y＝x－1对应关系不一致，故C错误；u＝＝v－1，故定义域为R，且与y＝x－1对应关系相同，故B正确．故选B.
4．若函数f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________．
解析：f(a)＝＝2，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2.
答案：2或
5．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)求f(3)，g(f(4))；
(2)求f(g(x)).
解：(1)f(3)＝＝－，
f(4)＝＝－，g(f(4))＝g(－)＝－.
(2)因为g(x)＝，
所以f(g(x))＝f()＝＝.
eq \a\vs4\al()
1．已学习：函数的概念；函数的定义域、值域；同一个函数的判定．
2．须贯通：求函数值域常用的方法：观察法、配方法、换元法等．
3．应注意：(1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应．
(2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断．
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