(共26张PPT)
第2课时 零点的存在性
及其近似值的求法
新课导入 学习目标
如图，已知A，
B是函数y＝f(x)图
象上的两点，且函
数图象是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y＝f(x)的可能的图象．你能判断函数f(x)是否一定存在零点，总结出一般规律吗？这就是本节课我们要学习的内容． 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤．
3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．
一 函数零点存在定理
思考 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有定义，且 f(a)f(b) <0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点吗？
提示：不一定，只有函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的才有零点．
[知识梳理]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是____________的，并且____________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中________________零点，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
连续不断
f(a)f(b)＜0
至少有一个
[例1] (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
√
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2，4)
B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
【解析】 易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)×f(－1)＝6×(－4)＝－24＜0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根．故选A.
(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】由题意知f(x)为增函数且f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，故有f(1)f(2)＜0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.
√
判断函数零点所在区间的方法
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
注意 对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不一定成立．
[跟踪训练1] (多选)若aA.(－∞，a) B．(a，b)
C．(b，c) D．(c，＋∞)
解析：因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，
f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
因为a0，f(b)<0，f(c)>0，
所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
√
√
二 二分法
[知识梳理]
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
[例2] (1)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝4x
D．f(x)＝ex－2
【解析】 对于B，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，故不能用二分法求零点．其余选项中，函数的零点两侧的函数值异号，故能用二分法求零点．故选ACD.
√
√
√
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为 ( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
【解析】 函数f(x)的图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.
√
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断；
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点．
[跟踪训练2] 用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，已知f(2)f(4)<0，若给定精确度为0.1，则需将区间等分__________次．
4
[例3] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)
【解】 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在区间(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
母题探究 若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
[跟踪训练3] 若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
f(1)<0 f(1.5)>0
f(1.25)<0 f(1.375)>0
f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0
那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝________．(精确度为0.02)
1.328 125
解析：由题中表格的数据，可得|1.343 75－1.312 5|＝0.031 25<0.02×2，所以函数f(x)＝x3－x－1的零点在区间(1.312 5，1.343 75)内，结合题设要求，可得方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝1.328 125.
√
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.(0，0.5)，f(0.125) B．(0.5，1)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)
解析：令f(x)＝x5＋8x3－1，则f(0)＜0，f(0.5)＞0，所以f(0)·f(0.5)＜0，所以其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
√
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__________，函数的零点是______________．(用a表示)
a2＝4b
1．已学习：(1)函数零点存在定理．(2)二分法的概念．(3)用二分法求函数零点的近似值．
2．须贯通：求解函数的零点．
3．应注意：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确．第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
新课导入 学习目标
如图，已知A，B是函数y＝f(x)图象上的两点，且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y＝f(x)的可能的图象．你能判断函数f(x)是否一定存在零点，总结出一般规律吗？这就是本节课我们要学习的内容． 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数．2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤．3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．
思考 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上有定义，且 f(a)f(b) <0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点吗？
提示：不一定，只有函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的才有零点．
[知识梳理]
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是____________的，并且____________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中________________零点，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
[答案自填] 连续不断 f(a)f(b)＜0 至少有一个
[例1] (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )
A．(－3，－1)和(2，4)
B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
(2)函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】 (1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)×f(－1)＝6×(－4)＝－24＜0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根．故选A.
(2)由题意知f(x)为增函数且f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8＋2－5＝5＞0，故有f(1)f(2)＜0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.
【答案】 (1)A (2)B
eq \a\vs4\al()
判断函数零点所在区间的方法
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
注意 对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不一定成立．
[跟踪训练1] (多选)若aA.(－∞，a) B．(a，b)
C．(b，c) D．(c，＋∞)
解析：选BC.因为f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)，
所以f(a)＝(a－b)(a－c)，
f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，
因为a0，f(b)<0，f(c)>0，
所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
[知识梳理]
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法．
[例2] (1)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝4x
D．f(x)＝ex－2
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为 ( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
【解析】 (1)对于B，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，故不能用二分法求零点．其余选项中，函数的零点两侧的函数值异号，故能用二分法求零点．故选ACD.
(2)函数f(x)的图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.
【答案】 (1)ACD (2)D
eq \a\vs4\al()
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断；
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可以用二分法求函数零点．
[跟踪训练2] 用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，已知f(2)f(4)<0，若给定精确度为0.1，则需将区间等分__________次．
解析：开区间(2，4)的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似解，要求精确度为0.1，所以≤0.2，解得n≥4.
答案：4
[知识梳理]
在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且 f(a)f(b)＜0)，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|＜ε的一般步骤如下：
第一步：检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步：若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．
[例3] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)
【解】 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在区间(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625，0.75) |0.75－0.625|＝0.125<0.1×2
由于|0.75－0.625|＝0.125<0.1×2，所以＝0.687 5 可作为方程的一个正实数近似解．
母题探究 若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”，结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.625，0.75)的中点x＝0.687 5，因为f(0.687 5)<0，f(0.75)>0，且|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.05×2，所以x＝＝0.718 75可作为方程的一个近似解．
eq \a\vs4\al()
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
[跟踪训练3] 若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
f(1)<0 f(1.5)>0
f(1.25)<0 f(1.375)>0
f(1.312 5)<0 f(1.343 75)>0
那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝________．(精确度为0.02)
解析：由题中表格的数据，可得|1.343 75－1.312 5|＝0.031 25<0.02×2，所以函数f(x)＝x3－x－1的零点在区间(1.312 5，1.343 75)内，结合题设要求，可得方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝1.328 125.
答案：1.328 125
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1．已知函数f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上存在零点，则( )
A.＜a＜1 B．a＞
C.a＜－或a＞1 D．a＜－
解析：选C.因为f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上单调且存在零点，所以f(－1)·f(1)＝(－3a－1－2a)·(3a－1－2a)＝(－5a－1)·(a－1)＜0，解得a＞1或a＜－.
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.(0，0.5)，f(0.125) B．(0.5，1)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)
解析：选D.令f(x)＝x5＋8x3－1，则f(0)＜0，f(0.5)＞0，所以f(0)·f(0.5)＜0，所以其中一个零点所在的区间为(0，0.5)，第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__________，函数的零点是______________．(用a表示)
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.此时由x2＋ax＋＝0，得x＝－.
答案：a2＝4b －
eq \a\vs4\al()
1．已学习：(1)函数零点存在定理．(2)二分法的概念．(3)用二分法求函数零点的近似值．
2．须贯通：求解函数的零点．
3．应注意：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时精确度理解不准确．
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