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3．3 函数的应用(一)
新课导入 学习目标
因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，函数的应用不仅体现在用函数解决数学问题，还体现在用函数解决实际问题，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用．本节课我们将利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．下面我们通过例子来说明． 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
一 一次函数模型的应用
[例1] (对接教材例2)某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元．
(1)求总运费y关于x的函数关系式；
【解】 y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800·[12－(10－x)]＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N).
(2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？
【解】 当y≤9 000时，200(x＋43)≤9 000，解得x≤2.
又x∈N，所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案，使总运费不超过9 000元．
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
【解】 在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调运至B地，甲地调运2台至B地，调运10台至A地，这时总运费为8 600元．
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点为其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
[跟踪训练1] 为了发展通信事业，方便用户，某通信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中使用“A卡”与“B卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
二 二次函数模型的应用
[例2] 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上
的一点，EB＝a(0
⊥BC，垂足为G，FH⊥CD，垂足为H.设FG＝x，求：
(1)矩形FGCH的面积S关于x的函数解析式及其定义域；
(2)矩形FGCH的面积S的最大值．
利用二次函数模型求最值的策略
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
注意 利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量的值与实际意义是否相符．
[跟踪训练2] 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果单价每提高1元，那么销售量Q(单位：件)会减少20，设每件商品的售价为x(单位：元)，这批商品的总利润为y(单位：元).
(1)请将销售量Q表示成关于每件商品售价x的函数；
解：当每件商品的售价为x元时，销售量Q＝400－20(x－30)＝1 000－20x，x∈[30，50).
(2)当每件商品的售价x为多少时，才能使这批商品的总利润y最大？
解：由题意得y＝(x－20)(1 000－20x)＝－20(x－35)2＋4 500，30≤x<50，当x＝35时，ymax＝4 500，故当每件商品的售价x为35元时，才能使这批商品的总利润y最大．
(1)求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
分段函数模型的求解技巧
(1)在求解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”．
(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断是否属于所在区间．
[跟踪训练3] 已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车与A地的距离y(单位：km)表示为时间t(单位：h)的函数；
(2)求汽车行驶5 h后与A地的距离．
解：当t＝5时，y＝－50×5＋325＝75，即汽车行驶5 h后与A地的距离为
75 km.
课堂巩固自测
1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A.820元 B．840元
C.860元 D．880元
√
2．生产某机器的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．
解析：设生产x台机器，获得利润f(x)万元，
则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．
50
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m．
3
4．某公司购得一台机器投入生产，根据市场分析，该机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋).
(1)这台机器运转多少年时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
解：y＝－x2＋18x－25＝－(x－9)2＋56，
当x＝9时，ymax＝56，
故这台机器运转9年时，可获得的总利润最大，最大总利润为56万元．
(2)这台机器运转多少年时，可获得的年平均利润w最大？最大年平均利润是多少？
1．已学习：一次函数、二次函数、分段函数的模型．
2．须贯通：解决函数实际应用问题时应有建模意识，要综合应用图形、图象等有关信息，常采取待定系数法求解函数的解析式．
3．应注意：函数模型的定义域易忽略自变量需满足的实际意义．3．3 函数的应用(一)
新课导入 学习目标
因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，函数的应用不仅体现在用函数解决数学问题，还体现在用函数解决实际问题，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用．本节课我们将利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．下面我们通过例子来说明． 1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
[例1] (对接教材例2)某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元．
(1)求总运费y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
【解】 (1)y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800·[12－(10－x)]＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N).
(2)当y≤9 000时，200(x＋43)≤9 000，解得x≤2.
又x∈N，所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案，使总运费不超过9 000元．
(3)在(1)中，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调运至B地，甲地调运2台至B地，调运10台至A地，这时总运费为8 600元．
eq \a\vs4\al()
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点为其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
[跟踪训练1] 为了发展通信事业，方便用户，某通信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中使用“A卡”与“B卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解：(1)由题图可设y1＝k1x＋29，
y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝，
所以y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0).
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，则在一个月内两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，则在一个月内使用B卡便宜；
当x>96时，y1[例2] 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AB上的一点，EB＝a(0(1)矩形FGCH的面积S关于x的函数解析式及其定义域；
(2)矩形FGCH的面积S的最大值．
【解】 (1)如图，作EM⊥CD，交CD于点M，交FG于点N，
因为EB＝a，FG＝x，所以DM＝2－a，DH＝2－x，由EM⊥CD得到EM∥FH，所以△EMD∽△FHD，所以＝，故＝，解得FH＝，所以S＝x·＝－(x－1)2＋，a≤x<2.
(2)设S＝f(x)，由二次函数性质得当0eq \a\vs4\al()
利用二次函数模型求最值的策略
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
注意 利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量的值与实际意义是否相符．
[跟踪训练2] 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果单价每提高1元，那么销售量Q(单位：件)会减少20，设每件商品的售价为x(单位：元)，这批商品的总利润为y(单位：元).
(1)请将销售量Q表示成关于每件商品售价x的函数；
(2)当每件商品的售价x为多少时，才能使这批商品的总利润y最大？
解：(1)当每件商品的售价为x元时，销售量Q＝400－20(x－30)＝1 000－20x，x∈[30，50).
(2)由题意得y＝(x－20)(1 000－20x)＝－20(x－35)2＋4 500，30≤x<50，当x＝35时，ymax＝4 500，故当每件商品的售价x为35元时，才能使这批商品的总利润y最大．
[例3] (对接教材例1)某科技企业决定生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本 C(x)(单位：万元).当年产量不足80台时，C(x)＝x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋－2 180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
(1)求年利润y(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数关系式；
(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．
【解】 (1)当0y＝100x－－500＝－x2＋60x－500；
当x≥80时，y＝100x－－500＝1 680－，
综上，y＝
1 680－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8 100,x)))，x≥80.))
(2)由(1)可知，当0当x＝60时，y取得最大值，最大值为1 300；
当x≥80时，y＝1 680－≤1 680－2＝1 500，
当且仅当x＝，即x＝90时，
y取最大值，最大值为1 500，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元．
eq \a\vs4\al()
分段函数模型的求解技巧
(1)在求解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”．
(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断是否属于所在区间．
[跟踪训练3] 已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车与A地的距离y(单位：km)表示为时间t(单位：h)的函数；
(2)求汽车行驶5 h后与A地的距离．
解：(1)汽车以60 km/h的速度从A地到B地需2.5 h，这时y＝60t；当2.5(2)当t＝5时，y＝－50×5＋325＝75，即汽车行驶5 h后与A地的距离为75 km.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固LLL.TIF"
1．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元；如果购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A.820元 B．840元
C.860元 D．880元
解析：选C.设该产品满足函数关系y＝kx＋b，则解得则y＝－10x＋9 000.当y＝400时，即400＝－10x＋9 000，得x＝860.故选C.
2．生产某机器的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台．
解析：设生产x台机器，获得利润f(x)万元，
则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．
答案：50
3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m．
解析：设隔墙的长度为x m，矩形面积为S m2，
则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，0所以当x＝3时，S有最大值．
答案：3
4．某公司购得一台机器投入生产，根据市场分析，该机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋).
(1)这台机器运转多少年时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
(2)这台机器运转多少年时，可获得的年平均利润w最大？最大年平均利润是多少？
解：(1)y＝－x2＋18x－25＝－(x－9)2＋56，
当x＝9时，ymax＝56，
故这台机器运转9年时，可获得的总利润最大，最大总利润为56万元．
(2)w＝＝18－(x＋)≤18－2＝8，当且仅当x＝5时，等号成立，故这台机器运转5年时，可获得的年平均利润最大，最大年平均利润为8万元．
eq \a\vs4\al()
1．已学习：一次函数、二次函数、分段函数的模型．
2．须贯通：解决函数实际应用问题时应有建模意识，要综合应用图形、图象等有关信息，常采取待定系数法求解函数的解析式．
3．应注意：函数模型的定义域易忽略自变量需满足的实际意义．
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