3．2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
新课导入 学习目标
如何认识函数零点？二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么？ 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．2．通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式．3．了解高次不等式的解法．
[知识梳理]
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于______，即f(α)＝________，则称α为函数y＝f(x)的零点．
点拨 (1)函数的零点是一个实数，而不是一个点．例如，函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
(2)并不是所有的函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
[答案自填] 零 0
[例1] (1)函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点；若不存在，请说明理由．
①f(x)＝ax＋1(a∈R)；
②f(x)＝x2－x－6；
③f(x)＝
【解】 (1)选C.方法一：因为方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点，分别为－2与1.
方法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
(2)①令f(x)＝0，即ax＋1＝0.
当a＝0时，1＝0不成立，故函数无零点；
当a≠0时，方程有唯一实根x＝－，故函数f(x)有唯一零点－.
②由x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，
得x1＝－2，x2＝3，所以函数f(x)的零点是－2，3.
③方法一(代数法)：由x＋1＝0，解得x＝－1，但－1 [0，＋∞)，故当x≥0时，函数f(x)无零点；
由x－1＝0，解得x＝1，但1 (－∞，0)，
故当x<0时，函数f(x)无零点．综上，函数f(x)没有零点．
方法二(几何法)：画出函数
f(x)＝的图象，如图所示．因为函数图象与x轴没有交点，
所以函数f(x)没有零点．
eq \a\vs4\al()
(1)判断函数零点个数的方法
①直接求出函数的零点进行判断；
②结合函数图象进行判断．
(2)求函数y＝f(x)的零点的方法
①求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域．
②已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.
[跟踪训练1] (1)下列图象对应的函数中没有零点的是( )
解析：选A.函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察题中四个图象，可知选项A中的图象对应的函数没有零点．
(2)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
解：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，解得a＝6，所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[知识梳理]
设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程f(x)＝0的根 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1，x2 没有实数解
函数y＝f(x)的图象
不等式f(x)＞0的解集 ______________________ __________ ______
不等式f(x)＜0的解集 __________ __________ ______
点拨 上表中的x1，x2具有三重身份：对应一元二次方程的实根；对应二次函数的零点；对应一元二次不等式解集区间的端点．
[答案自填] (－∞，x1)∪(x2，＋∞) {x|x≠x1} R (x1，x2)
[例2] 利用函数解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1＞0.
【解】 (1)设函数 f(x)＝2x2＋5x－3，令 f(x)＝0，
得2x2＋5x－3＝0，
即(2x－1)(x＋3)＝0，
解得x1＝－3，x2＝，
所以－3，是函数的零点，所以函数f(x)的图象如图1所示，与x轴相交于点(－3，0)，.又因为函数f(x)的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.解方程3x2－6x＋2＝0，Δ＝12＞0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图2所示，由图可得原不等式的解集为
.
(3)解方程4x2＋4x＋1＝0，因为Δ＝0，得x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图3所示．
由图可得原不等式的解集为
.
eq \a\vs4\al()
由一元二次不等式与对应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下．
[跟踪训练2] 求下列不等式的解集：
(1)2x2－x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0；
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解：(1)因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．所以原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
因为方程x2－6x＋10＝0的判别式Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以原不等式的解集为 .
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
[例3] (对接教材例5)求函数f(x)＝(2x＋1)·(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
【解】 由题意得函数f(x)的零点依次为－，1，3.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示．
x (－∞，－) (1，3) (3，＋∞)
f(x) － ＋ － ＋
由此可以画出函数图象的示意图如图所示．
由图可知f(x)>0的解集为
∪(3，＋∞)，f(x)≤0的解集为∪[1，3].
eq \a\vs4\al()
利用数轴穿根法解题的步骤
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数)；
(2)将不等号换成等号解出所有根；
(3)在数轴上从左到右依次标出各根；
(4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透)；
(5)观察不等号，如果不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围．
[跟踪训练3] 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)3·(x－1)的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
解：令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1.
由此可画出f(x)图象的示意图，
所以f(x)>0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)，f(x)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，1].
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1．函数f(x)＝的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x≤0时，令f(x)＝x2－2＝0，解得x＝－；当x>0时，令f(x)＝2x－6＝0，解得x＝3.所以函数f(x)有2个零点．故选C.
2．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1解析：因为ax2－6x＋a2<0的解集为{x|1＜x＜m}，
所以a>0且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个实数根，则即1＋m＝.所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
答案：2
3．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为____________．
解析：函数f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)的零点为－1，2，3.
利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略)，
由图可知不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(2，3).
答案：(－∞，－1)∪(2，3)
eq \a\vs4\al()
1．已学习：(1)函数的零点及求法．(2)二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系．(3)简单高次不等式的解法．
2．须贯通：在解一元二次不等式、高次不等式时应用了数形结合法、数轴穿根法．
3．应注意：一元二次不等式含字母时需要分类讨论．
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3．2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
新课导入 学习目标
如何认识函数零点？二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么？ 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．
2．通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式．
3．了解高次不等式的解法．
一 函数的零点
[知识梳理]
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于______，即f(α)＝________，则称α为函数y＝f(x)的零点．
点拨 (1)函数的零点是一个实数，而不是一个点．例如，函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0).
(2)并不是所有的函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
(3)若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
零
0
√
【解】 方法一：因为方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点，分别为－2与1.
(2)判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点；若不存在，请说明理由．
①f(x)＝ax＋1(a∈R)；
②f(x)＝x2－x－6；
【解】 由x2－x－6＝(x－3)(x＋2)＝0，
得x1＝－2，x2＝3，所以函数f(x)的零点是－2，3.
【解】 方法一(代数法) ：由x＋1＝0，解得x＝－1，但－1 [0，＋∞)，故当x≥0时，函数f(x)无零点；
由x－1＝0，解得x＝1，但1 (－∞，0)，
故当x<0时，函数f(x)无零点．综上，函数f(x)没有零点．
(1)判断函数零点个数的方法
①直接求出函数的零点进行判断；
②结合函数图象进行判断．
(2)求函数y＝f(x)的零点的方法
①求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域．
②已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.
[跟踪训练1] (1)下列图象对应的函数中没有零点的是( )
√
解析：函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察题中四个图象，可知选项A中的图象对应的函数没有零点．
(2)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
解：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，解得a＝6，所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或x＝2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
二 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
[知识梳理]
设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程
f(x)＝0
的根 有两个不等的
实数解x1，x2 有两个相等的
实数解x1，x2 没有
实数解
函数y＝
f(x)的
图象
不等式
f(x)＞0
的解集 __________
____________ __________ ______
不等式
f(x)＜0
的解集 __________ __________ ______
(－∞，x1)
∪(x2，＋∞)
{x|x≠x1}
R
(x1，x2)
点拨 上表中的x1，x2具有三重身份：对应一元二次方程的实根；对应二次函数的零点；对应一元二次不等式解集区间的端点．
[例2] 利用函数解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1＞0.
由一元二次不等式与对应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下．
[跟踪训练2] 求下列不等式的解集：
(1)2x2－x＋6>0；
解：因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．所以原不等式的解集为R.
解：原不等式可化为x2－6x＋10<0，
因为方程x2－6x＋10＝0的判别式Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以原不等式的解集为 .
(3)(5－x)(x＋1)≥0.
解：原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
三 解简单的高次不等式
[例3] (对接教材例5)求函数f(x)＝(2x＋1)·(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
利用数轴穿根法解题的步骤
(1)通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数)；
(2)将不等号换成等号解出所有根；
(3)在数轴上从左到右依次标出各根；
(4)画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透)；
(5)观察不等号，如果不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围．
由此可画出f(x)图象的示意图，
所以f(x)>0的解集为(－2，－1)∪(1，＋∞)，
f(x)≤0的解集为
(－∞，－2]∪[－1，1].
[跟踪训练3] 求函数f(x)＝(x＋2)(x＋1)3·(x－1)的零点，并写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
解：令f(x)＝0，得f(x)的零点为－2，－1，1.
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√
2．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|12
3．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________________________．
解析：函数f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)的零点为－1，2，3.
利用数轴穿根法作出函数f(x)图象的示意图(图略)，
由图可知不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(2，3).
(－∞，－1)∪(2，3)
1．已学习：(1)函数的零点及求法．(2)二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系．(3)简单高次不等式的解法．
2．须贯通：在解一元二次不等式、高次不等式时应用了数形结合法、数轴穿根法．
3．应注意：一元二次不等式含字母时需要分类讨论．
