1.1 椭圆及其标准方程
课时目标
1.理解并掌握椭圆的定义，并能利用其解决相关问题.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程，理解点与椭圆的位置关系.
(一)椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作________
焦点 两个______________叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的______________叫作椭圆的焦距
微点助解
1.对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆.
2.对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
[基点训练]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆.( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆.( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.( )
(二)椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
焦距 2c
a，b，c的关系
异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同；不同点：焦点位置不同，方程不同
微点助解
(1)a，b，c(都是正数)为三边长，恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分)，a是斜边长，所以a＞b，a＞c，且a2＝b2＋c2(如图所示).另外，a＝|OA1|＝|OA2|＝|A1A2|.(A1，A2是图中椭圆与x轴的交点).
(2)椭圆标准方程的形式：等号左边是“平方＋平方”，右边是“1”，特别注意右边不是0.
(3)标准方程中根据x2和y2对应的分母大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
[基点训练]
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4，焦距为2，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( )
A. B.
C.(－∞，－3) D.(2，＋∞)
题型(一) 椭圆定义的理解
[例1] 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
听课记录：
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义；
(2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数).
[针对训练]
1.[多选]设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是( )
A.圆 B.线段
C.椭圆 D.直线
2.已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值.
题型(二) 椭圆的标准方程
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
(2)一个焦点坐标为(0,2)，且椭圆经过点(－，).
听课记录：
定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
方法2 待定系数法求椭圆的标准方程
[例3] (1)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程；
(2)求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程.
听课记录：
待定系数法求椭圆的标准方程
(1)定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上.
(2)设方程：设椭圆方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0).无法确定焦点位置时，可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B).
(3)寻关系：根据条件列出关于a，b，c(或A，B)的方程组.
(4)得方程：解方程组，将所求得的相应值代入所设方程即可.
[针对训练]
3.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，经过点(0,4)；
(2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8，c＝；
(3)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，并且经过点；
(4)椭圆中c＝b，且a＋b＝6；
(5)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，).
题型(三) 椭圆定义的应用
题点1 焦点三角形问题
[例4] 已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积.
听课记录：
[变式拓展]
1.若本例增加条件“点B为短轴的一个端点”，求△BF1F2的周长.
2.若本例条件去掉“cos∠F1PF2＝”，求△PF1F2面积的最大值.
3.本例增加条件“B(2,2)”，求|PF1|＋|PB|的最大值与最小值.
设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示.它们具有以下性质：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.
(2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2.
(3)当|PF1|＝|PF2|时，∠F1PF2最大.
(4)焦点三角形的周长为2a＋2c.
(5)S＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝b2tan.
题点2 求轨迹方程
[例5] 已知平面内B，C是两个定点，|BC|＝8，△ABC的周长为18，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程.
听课记录：
[变式拓展]
本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝－”.其他条件不变，△ABC顶点A的轨迹方程如何求解.
(1)求轨迹方程的常用方法.①已知曲线类型用待定系数法；②所求轨迹的点与已知轨迹的点有固定关系，用代入法；③不能判定出曲线类型且不属于②的情况下，常用直接法.
(2)变式拓展中这种情形也叫椭圆的第三定义.常用结论：在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，A，B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A，B两点的任意一点，若kPA，kPB存在，则kPA·kPB＝－.反之亦成立.
[针对训练]
4.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交该椭圆于P，Q两点，若|PF2|＋|QF2|＝9，则|PQ|＝( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________.
6.一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
1.1 椭圆及其标准方程
?课前环节
(一)椭圆 定点F1，F2 距离|F1F2|
[基点训练]
(1)√ (2)× (3)× (4)√
(二)＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2
[基点训练]
1.选D 由题设，知可得则b2＝a2－c2＝3，∴C的方程为＋＝1.
2.选A 由题意可得0<3＋m<2－m，
解得－3所以m的取值范围为.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：如图，连接QA.
由已知，得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
[针对训练]
1.选BC 易知a＋≥6，故选BC.
2.解：由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，由基本不等式|QF1|·|QF2|≤2＝2＝36，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝6时，等号成立，
故|QF1|·|QF2|的最大值为36.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意2a＝26，a＝13，
又c＝5，所以b＝ ＝＝12，
椭圆标准方程为＋＝1.
(2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2).
2a＝＋
＝＋
＝－＋＋＝4，
a＝2，c＝2，所以b＝＝2，
焦点在y轴上，椭圆标准方程为＋＝1.
[例3] 解：(1)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可设所求椭圆的标准方程为
＋＝1(λ＞－9).
又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去).故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[针对训练]
3.解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得c＝3，
将(0,4)代入到方程＋＝1中得b＝4，
故a＝＝＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题可得2a＝8，即a＝4，
所以b＝＝＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)易知c＝2，焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1，将代入标准方程解得b2＝6，则椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)因为c＝b，a2－b2＝c2，解得a＝2b，
又因为a＋b＝6，所以b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(5)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去).
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[题型(三)]
[例4] 解：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.|PF1|＋|PF2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|·，可得64＝100－|PF1||PF2|，得|PF1||PF2|＝，故S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×× ＝.
[变式拓展]
1.解：由例4得|BF1|＋|BF2|＝10，|F1F2|＝8，故△BF1F2的周长为10＋8＝18.
2.解：当|PF1|＝|PF2|时，S最大，此时S＝×2c×b＝12.故△PF1F2面积的最大值为12.
3.解：由题易知B在椭圆内，则由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，当直线BF2与椭圆交点在x轴的上方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最小值，最小值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|－|BF2|＝10－|BF2|＝10－＝10－2；当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|＋|PB|取得最大值，其最大值为|PF1|＋|PB|＝|PF1|＋|PF2|＋|BF2|＝10＋|BF2|＝10＋2.
[例5] 解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则有a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
[变式拓展]
解：设点A(x，y)，B坐标为(－4,0) ，C坐标为(4,0)，则有kAB＝，kAC＝，且kAB·kAC＝－，那么·＝－ ，化简可得＝－ ，－16y2＝9x2－9×16，9x2＋16y2＝9×16，且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
[针对训练]
4.选C ∵椭圆＋＝1，∴a2＝16，a＝4，∵P，Q在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|QF1|＋|QF2|＝2a＝8，∴△PQF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝16，∵|PF2|＋|QF2|＝9，∴|PQ|＝7.
5.解析：根据题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
可得|PF2|＝2a－4，又c2＝a2－2，
利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝
＝－，
即＝－，
整理可得＝－，解得a＝3.
答案：3
6.解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，且2a＝6的椭圆.
∴a＝3，c＝2，b＝ ＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.(共86张PPT)
第二章
圆锥曲线
1．1
椭圆及其标准方程
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解并掌握椭圆的定义，并能利用其解决相关问题．
2.掌握椭圆的标准方程的推导．
3．会求简单的椭圆的标准方程，理解点与椭圆的位置关系．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(一)椭圆的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作_____
焦点 两个 叫作椭圆的焦点
焦距 两个焦点间的 叫作椭圆的焦距
椭圆
定点F1，F2
距离|F1F2|
微点助解
1．对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆．
2．对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．( )
(2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．( )
基点训练
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
(二)椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 _________________ ____________________
焦距 2c
a，b，c的关系 ___________
异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同； 不同点：焦点位置不同，方程不同
续表
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
b2＝a2－c2
(2)椭圆标准方程的形式：等号左边是“平方＋平方”，右边是“1”，特别注意右边不是0.
(3)标准方程中根据x2和y2对应的分母大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上．若含x2项的分母大于含y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上．
基点训练
√
则b2＝a2－c2＝3，
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
题型(一) 椭圆定义的理解
解：如图，连接QA.
由已知，得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|.根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆．
椭圆定义的应用类型
(1)判定点的轨迹是否为椭圆，关键看是否符合椭圆的定义；
(2)作为性质运用．椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．
方法技巧
1．[多选]设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是( )
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．直线
针对训练
√
√
2．已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值．
方法1 定义法求椭圆的标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)一个焦点坐标为(－5,0)，且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26；
题型(二) 椭圆的标准方程
解：(1)由题意2a＝26，a＝13，
(2)由题意椭圆另一焦点为(0，－2)．
定义法就是根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
方法技巧
方法技巧
3．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，经过点(0,4)；
针对训练
题点1 焦点三角形问题
题型(三) 椭圆定义的应用
1．若本例增加条件“点B为短轴的一个端点”，求△BF1F2的周长．
解：由例4得|BF1|＋|BF2|＝10，|F1F2|＝8，故△BF1F2的周长为10＋8＝18.
变式拓展
3．本例增加条件“B(2,2)”，求|PF1|＋|PB|的最大值与最小值．
设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示．它们具有以下性质：
常用结论
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.
(2)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2.
(3)当|PF1|＝|PF2|时，∠F1PF2最大．
(4)焦点三角形的周长为2a＋2c.
题点2 求轨迹方程
[例5] 已知平面内B，C是两个定点，|BC|＝8，△ABC的周长为18，以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程．
变式拓展
(1)求轨迹方程的常用方法．①已知曲线类型用待定系数法；②所求轨迹的点与已知轨迹的点有固定关系，用代入法；③不能判定出曲线类型且不属于②的情况下，常用直接法．
方法技巧
针对训练
√
∵P，Q在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|QF1|＋|QF2|＝2a＝8，
∴△PQF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝16，
∵|PF2|＋|QF2|＝9，∴|PQ|＝7.
3
6．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.
∴|BM|＋|CM|＝6，
又|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，且2a＝6的椭圆．
课时跟踪检测
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解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．
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∴m<5，故m的取值范围是(1,5)．
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解析：因为a＝6，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝24.又|AF2|＋|BF2|＝14，所以|AB|＝10.
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由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝400－256＝144，
即100－b2＝36，所以b2＝64，即b＝8.
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当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为100.
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解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，
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解析：设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝6，为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，
|AB|的范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；
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令y＝1，可得A，B两点坐标，
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解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
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∵△PF1F2存在，
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∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，
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(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
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解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
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16课时跟踪检测(十七) 椭圆及其标准方程
A级——综合提能
1.已知椭圆＋＝1上一点P(x，y)到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( )
A.2 B.3
C.1 D.
2.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠±2)
C.＋＝1(x≠±3) D.＋＝1(x≠±2)
4.关于椭圆C：＋＝1，有下列四个命题：甲：m＝4；乙：n＝9；丙：C的焦距为6；丁：C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题，则该命题是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
5.设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.0 B.1
C.2 D.4
6.椭圆＋＝1的焦距是________，焦点坐标是________.
7.若点P(0,1)位于焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则m的取值范围是________.
8.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|＝14，则|AB|＝________.
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)b＝1，c＝，焦点在y轴上；
(2)a＝10，c＝6；
(3)经过点P(－2，0)，Q(0,2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－).
10.已知F1，F2分别为椭圆＋＝1 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点.
(1)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值；
(2)求|PF1|·|PF2|的最大值.
B级——应用创新
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A.± B.±
C.± D.±
12.[多选]设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
13.已知点F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A. B.
C.4 D.
14.已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为(2,0)，则|PA|的最小值为________.
15.椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程.
16.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
课时跟踪检测(十七)
1．C
2．选B 若方程表示椭圆，则有因此13．选A 在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6>|BC|＝4，则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a＝3，c＝2，b＝，所以顶点A的轨迹方程是＋＝1(x≠±3)．
4．选A 当甲、乙为真命题时，椭圆方程为＋＝1，椭圆的焦距为2c＝2＝2，且焦点在y轴上，此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．当乙、丙和丁是真命题时，b＝＝3,2c＝6，∴a2＝b2＋c2＝9＋9＝18，此时椭圆方程为＋＝1，符合题意，故甲是假命题．
5．选C 由椭圆C：＋y2＝1，
可得a＝，b＝1，c＝2，因为·＝0，
所以PF1⊥PF2，由题意可得
即|PF1|·|PF2|
＝
＝＝2.
6．解析：由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8，所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．
答案：16 (－8,0)，(8,0)
7．解析：由题意知＋<1，又m>0，∴m>1，又椭圆的焦点在x轴上，∴m<5，故m的取值范围是(1,5)．
答案：(1,5)
8．解析：因为a＝6，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，两式相加得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝24.又|AF2|＋|BF2|＝14，所以|AB|＝10.
答案：10
9．解：(1)因为b＝1，c＝，
所以a2＝b2＋c2＝16，
因为椭圆焦点在y轴上，
所以其标准方程为＋x2＝1.
(2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)由题意得P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以a＝2，b＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上，因为c＝＝1，
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，
故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得
解得或 (舍去)．
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解：(1)由椭圆方程知＋＝1，a＝10，c2＝100－b2，则|PF1|＋|PF2|＝20,
由△F1PF2的面积为
S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝，
解得|PF1|·|PF2|＝，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝400－256＝144，
即100－b2＝36，所以b2＝64，即b＝8.
(2)由基本不等式得
|PF1|·|PF2|≤＝100，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为100.
11．选D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±.
12．选AD 设椭圆的左焦点为F′，
则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝6，为定值，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的范围是(0,6)，
∴△ABF的周长的范围是(6,12)，B错误；
令y＝，可得A，B两点坐标，
不妨设A(－，)，B(，)，
又∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·
(－，－)＝6－6<0，
∴△ABF不是直角三角形，C错误；
令y＝1，可得A，B两点坐标，
不妨设A(－，1)，B(，1)，则BF⊥x轴，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．
故选AD.
13．选D 设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′(2,0)．由A，得|AF′|＝.根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝.
14．解析：令P(x，y)且－3≤x≤3，则|PA|＝，而y2＝1－，故|PA|＝＝，所以当x＝时，|PA|min＝.
答案：
15．解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，∴c＝＝2，则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有即
∵y1≠0，∴y≠0.
∵点P在椭圆上，∴＋y＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋＝1(y≠0)．
16．解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为
×4×|y0|＝1，解得y0＝±.
又＋y＝1，所以x＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，.
