2.1 双曲线及其标准方程
课时目标
1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法).
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题.
(一) 双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于________(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 ______________________叫作双曲线的焦点
焦距 ______________________叫作双曲线的焦距
微点助解
(1)在双曲线定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).
(2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线
2a＝|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线
2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在
2a＝0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
[基点训练]
已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
(二)双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 ______________ ______________
焦距 |F1F2|＝______
a，b，c的关系 c2＝____________
微点助解
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴.
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上.
(3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示.
[基点训练]
1.方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为( )
A.(－∞，1) B.(2，＋∞)
C.(1,2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)
2.以F1(－，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
题型(一) 双曲线的标准方程
[例1] 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.
听课记录：
[方法技巧]
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
[提醒] 求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0).
[针对训练]
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5,2)；
(2)经过A(－7，－6)，B(2，3)两点；
(3)过点P(－，2)，且与椭圆＋＝1有相同焦点.
题型(二) 与双曲线有关的轨迹问题
[例2] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )
A.y2－＝1(y≤－1)
B.y2－＝1(y≥1)
C.－x2＝1(y≤－4)
D.－x2＝1(y≥4)
听课记录：
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程.
[提醒] ①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
[针对训练]
2.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0题型(三) 双曲线的定义及应用
题点1 确定有关几何量的值
[例3] 已知M是双曲线－＝1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|MF1|＝5，则|MF2|＝( )
A.9或1 B.1
C.9 D.9或2
听课记录：
题点2 焦点三角形问题
[例4] 已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，求△F1PF2的面积.
听课记录：
[变式拓展]
1.若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离.
2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”变成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
题点3 最值问题
[例5] 已知P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________.
听课记录：
与双曲线定义有关问题的解决策略
(1)设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上.如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意动点的横坐标x的取值范围.
(2)解与焦点三角形有关的问题，常利用双曲线的定义，并注意与三角形的知识相结合，如正弦定理、余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用.
[针对训练]
3.已知双曲线－＝1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于( )
A.4 B.2
C.1 D.
4.已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1F2P＝( )
A.－ B.
C. D.
5.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为________.
2.1 双曲线及其标准方程
?课前环节
(一)常数 两个定点F1，F2 两个焦点间的距离|F1F2|
[基点训练]
选D 依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线.
(二)F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c a2＋b2
[基点训练]
1.选A 由方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A.
2.选A 由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1，故选A.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)法一 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P和Q在双曲线上，
∴解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6).
∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去).
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
[针对训练]
1.解：(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，将点A(－5,2)的坐标代入双曲线的方程得－＝1，解得b2＝16，因此，双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝－，因此双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，所以可设双曲线标准方程为－＝1，其中a2＋b2＝5，代入点P(－，2)可得－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
[题型(二)]
[例2] 选A 因为A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，
所以|AC|＝＝13，|BC|＝＝15，|AB|＝14，
因为A，B 都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又2c＝|AB|＝14,2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48，因此F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1).
[针对训练]
2.选A 如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，2a＝4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以方程为－＝1(x>2).
[题型(三)]
[例3] 选C 因为M是双曲线－＝1上一点，所以所以
由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝4，
所以|MF2|＝1或|MF2|＝9，又|MF2|≥c－a＝2，所以|MF2|＝9，故选C.
[例4] 解：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5，
所以2a＝6,2c＝10.
因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝
＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[变式拓展]
1.解：由双曲线方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义，
得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2.解：由双曲线方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
因为P是双曲线左支上的点，
所以|PF2|－|PF1|＝6.
又|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
所以|PF2|＝10，|PF1|＝4.
因为|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4，
所以S△F1PF2＝×4×4＝8.
[例5] 解析：双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
答案：5
[针对训练]
3.选A 因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4.
4.选A 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，c＝＝5，根据双曲线的几何意义可得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，又|PF1|＝2|PF2|，解得|PF1|＝16，|PF2|＝8，|F1F2|＝10，在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1F2P＝
＝＝－，故选A.
5.解析：因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝＝.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.
答案：－2(共82张PPT)
2.1
双曲线及其标准方程
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法)．
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(一) 双曲线的定义
定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于 (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线
焦点 叫作双曲线的焦点
焦距 叫作双曲线的焦距
常数
两个定点F1，F2
两个焦点间的距离|F1F2|
微点助解
(1)在双曲线定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2)．
(2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示.
条件 结论
0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线
2a＝|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线
2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在
2a＝0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线
基点训练
已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线
D．双曲线的一支和一条射线
√
解析：依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线．
(二)双曲线的标准方程
焦点坐标 __________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝___
a，b，c的关系 c2＝______
续表
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
a2＋b2
微点助解
(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)参数a，b，c的几何意义：在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．
基点训练
√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程．
题型(一) 双曲线的标准方程
法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P，Q两点在双曲线上，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
[提醒] 求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．
方法技巧
针对训练
题型(二) 与双曲线有关的轨迹问题
√
解析：因为A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，
因为A，B 都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：
(1)列出等量关系，化简得到方程；
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程．
[提醒] ①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
方法技巧
针对训练
√
题点1 确定有关几何量的值
题型(三) 双曲线的定义及应用
√
由双曲线定义可知||MF1|－|MF2||＝2a＝4，
所以|MF2|＝1或|MF2|＝9，又|MF2|≥c－a＝2，所以|MF2|＝9，故选C.
所以2a＝6,2c＝10.
因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
所以∠F1PF2＝90°，
1．若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
变式拓展
2．若本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”变成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
题点3 最值问题
解析：双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
5
方法技巧
与双曲线定义有关问题的解决策略
(1)设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在双曲线的右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在双曲线的左支上．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意动点的横坐标x的取值范围．
(2)解与焦点三角形有关的问题，常利用双曲线的定义，并注意与三角形的知识相结合，如正弦定理、余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用．
针对训练
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课时跟踪检测
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∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
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所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．
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9．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8.
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5,6)．
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解：(1)由已知得c＝5,2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)．
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因此a＝4，从而b2＝62－42＝20.
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(1)求双曲线C2的方程；
(2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
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∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2，
(2)设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
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解析：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，A错误；
若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，B正确；
若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，C正确；
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√
12．在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5,0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为( )
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解析：设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，所以|PM|－|PN|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，且8<|MN|＝10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)，
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解析：若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则|PF|－|PF′|＝2a＝4，|AF′|＝5，而|PA|≥|PF′|－|AF′|，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以|PF|－|PA|≤|PF|－|PF′|＋|AF′|＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立．
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15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
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解得a2＝3，b2＝2，
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因此在△MF1F2中，MF1边最长，
故△MF1F2为钝角三角形．
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(1)求动点P对应曲线C的轨迹方程；
(2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程．
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即x－2y＋1＝0.课时跟踪检测(十九) 双曲线及其标准方程
A级——综合提能
1.若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A.(－2,2) B.(0，＋∞)
C.[0，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2.若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.1或－2
C.1或 D.
3.过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是( )
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
4.已知点M(2,0)，N(－2,0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹方程为( )
A.－y2＝1(x≥) B.－y2＝1(x≤－)
C.x2－＝1(x≥1) D.x2－＝1(x≤－1)
5.设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PF1|＝6时，△PF1F2的面积为( )
A.4 B.3
C. D.6
6.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于________.
7.双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
8.若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________.
9.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8.
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5,6).
(3)a＝4，经过点A.
(4)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).
10.已知椭圆C1：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，)在双曲线C2上.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
B级——应用创新
11.[多选]关于x，y的方程＋＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.长轴长为2的椭圆
12.在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4,0)，分别过点M(－5,0)，N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1(x>4)
B.－＝1(x<－4)
C.－＝1(x>4或x<－4)
D.－＝1
13.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
A. B.
C. D.
14.已知A(7,3)，双曲线C：－＝1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PF|－|PA|的最大值是( )
A.－1 B.2
C. D.9
15.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.
16.已知定点A(－，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2.
(1)求动点P对应曲线C的轨迹方程；
(2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程.
课时跟踪检测(十九)
1．选A ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)·(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
2．选A 由题意知解得a＝1.
3．选D 由＝，知b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，将点(1,1)代入可得a2＝，则双曲线方程为－y2＝1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．选D 因为M(2,0)，N(－2,0)，所以|MN|＝4，动点P满足|PM|－|PN|＝2<|MN|，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有c＝2，a＝1，b＝＝，所以动点P的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
5．选B ∵双曲线C：x2－＝1，∴a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，|PF1|＝6，∴|PF1|－|PF2|＝2a,6－|PF2|＝2，即|PF2|＝4，又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2的面积为×6× ＝3.
6．解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
答案：
7．解析：由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0)，则右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝＝.
答案：
8．解析：依题意有或
解得－33.所以实数m的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,2)∪(3，＋∞)
9．解：(1)由已知得c＝5,2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9.
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，
且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0,6)．
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a＝|－|＝|13－5|＝8，
因此a＝4，从而b2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(3)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为
－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，可得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，可得b2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(4)设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14 (舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．解：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，
∴F1(－2,0)，F2(2,0)，∵A(3, )，
∴2a＝||AF1|－|AF2||
＝|－|
＝2，
∴a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2，
∴双曲线C2的方程为－＝1.
(2)设点P在双曲线的右支上，并且设
|PF1|＝x，|PF2|＝y，
∴变形为(x－y)2＋xy＝16 8＋xy＝16 xy＝8，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝2.
11．选BC 若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，A错误；若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，B正确；若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，C正确；若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a＝2，a＝，则或无解，D错误．故选BC.
12．选A 设PM，PN分别与圆C相切于点S，T，则|PS|＝|PT|，|MS|＝|MA|，|NA|＝|NT|，所以|PM|－|PN|＝|MA|－|NA|＝9－1＝8，且8<|MN|＝10，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)，
这里2a＝8，a＝4，c＝5，则b＝＝＝3，故点P的轨迹方程为－＝1(x>4)．
13．选B 设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2①，|d1－d2|＝2②，
①2＋②2，得d＋d＝18.①2－②2，
得2d1d2＝6.而c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝＝.
14.选D 若F′为双曲线右焦点F′(3,0)，则|PF|－|PF′|＝2a＝4，|AF′|＝5，而|PA|≥|PF′|－|AF′|，当且仅当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立，所以|PF|－|PA|≤|PF|－|PF′|＋|AF′|＝4＋5＝9，当P，F′，A共线且A在P，F′之间时等号成立．
15．解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，MF1边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角．
故△MF1F2为钝角三角形．
16．解：(1)由题意知，||PA|－|PB||＝2<|AB|＝2，故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，c＝，
∴b＝＝1，
故曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
满足
两式相减得＝y－y，
即＝(y1－y2)(y1＋y2)，
∵点Q为MN的中点，故
∴＝，即直线MN的斜率为，
又过点Q，故直线MN的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
