3.2 抛物线的简单几何性质
课时目标
1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等).能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程.
2.拓展抛物线的几何性质，灵活应用抛物线定义解决一些简单的应用问题.
四种形式的抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 ______，y∈R x≤0，y∈R ______，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 ______ ______ ______ ______
焦点坐标 ________ ________ ________ ________
准线方程 ________ x＝ ________ y＝
顶点坐标 ________
离心率 e＝1
通径长 ______
微点助解
(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.
(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p＞0)有一条对称轴为y轴.( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
(4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同.( )
2.若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点一定在该抛物线上的是( )
A.(－m，－n) B.(m，－n)
C.(－m，n) D.(－n，－m)
3.已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( )
A.(－1,0) B.(0，－1)
C.(1,0) D.(0,1)
4.抛物线x＝8y2的通径长为( )
A.8 B.4
C. D.
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
听课记录：
[方法技巧]
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
开口 由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负
关系 顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴
定值 焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1
[针对训练]
1.(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.
题型(二) 抛物线的焦点弦问题
1.抛物线的焦点弦公式
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
2.当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径.
3.有关抛物线的焦点弦的结论
如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝＝2p(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
[例2] 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.求l的方程.
解题观摩：(1)法一：利用|AB|＝x1＋x2＋p求解
由题意，得F(1,0)，
设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直线l的方程为y＝x－1.
法二：弦长公式的应用
由题意得F(1,0)，
设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16>0.
|AB|＝·＝，
由＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此直线l的方程为y＝x－1.
法三：利用|AB|＝求角
设直线l的倾斜角为α，
则焦点弦|AB|＝＝＝8，
解得sin2α＝，即sin α＝.
因为斜率k>0，所以k＝tan α＝1.而抛物线焦点为F(1,0)，故直线l的方程为x－y－1＝0.
法四：利用|AB|＝2p求解
由焦点弦的性质得
|AB|＝2p＝4×＝8.
所以k2＝1，k＝1，故直线l的方程为x－y－1＝0.
[变式拓展]
若去掉本例条件“且斜率为k(k>0)”，如何求解？
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解.
[针对训练]
2.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
3.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于( )
A.9或6 B.6或3
C.9 D.3
4.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6
C. D.
题型(三) 抛物线几何性质的简单应用
[例3] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点.
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程；
(2)抛物线上有M，N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长.
听课记录：
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
[针对训练]
5.F为抛物线C：y2＝12x的焦点，直线x＝1与抛物线交于A，B两点，则∠AFB为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
6.焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上有一点P(2,2p)，O为坐标原点，则满足|MP|＝|MO|＝|MF|的点M的坐标为( )
A. B.
C. D.
3.2 抛物线的简单几何性质
课前环节
x≥0 y≥0 x轴 x轴 y轴 y轴 x＝－ y＝－ (0,0) 2p
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2.选B 由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上.
3.选D ∵抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，∴－＝－1，即p＝2，∴抛物线的焦点坐标为(0,1).
4.选C 抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，
∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
[针对训练]
1.解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下.
设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.
因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5，
故
解得故m＝±2，
抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
(2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，，所以|AB|＝2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，所以a＝±2.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x.
[题型(二)]
[变式拓展]
解：法一 由题意，可得F(1,0)，p＝2，当l斜率不存在时，l为x＝1，由得故|AB|＝4≠8，与题意不符.
当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，
∴ k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝8，x1＋x2＝6，则＝6，解得k＝±1.
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
法二 由题意，可得F(1,0)，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设l：x＝my＋1，则 y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴|AB|＝|y1－y2|
＝
＝＝8，
解得m＝±1.
则直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
[针对训练]
2.选C 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
3.选D 法一 设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2,0)，|AF|＝x1＋2＝6，则x1＝4，由y＝8x1，得y1＝4，所以kAB＝＝2，直线AB的方程为y＝2(x－2)，将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.
法二 由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝，所以＝－＝，可得|BF|＝3.
4.选C 如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，则∠ACD＝30°，∠AFx＝60°，则p＋2＝4，所以p＝2，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由抛物线方程知F，AB为抛物线的通径，则|AB|＝2p，∴S△AOB＝|OF|·|AB|＝××2p＝p2＝2，解得p＝2(舍负)，
∴抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)∵△MON为正三角形，∴|OM|＝|ON|＝|MN|，由抛物线对称性可知MN⊥x轴，
设MN：x＝t，则y2＝2pt，解得y1＝，y2＝－，∴|MN|＝2，∴tan 30°＝＝＝，解得t＝6p，
∴|MN|＝4p，即△MON的边长为4p.
[针对训练]
5.选C 抛物线C：y2＝12x中x＝1时可得y＝±2，且F(3，0)，则A(1,2)，B(1，－2)，取H(1,0)(如图)，∴tan∠AFH＝＝＝，∴∠AFH＝60°，由对称性可知∠AFB＝120°.
6.选B 将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，则P(2,2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1,1)，则OP的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，又OF的垂直平分线方程为x＝，又|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，所以点M的坐标为.(共74张PPT)
3.2
抛物线的简单几何性质
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等)．能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程．
2．拓展抛物线的几何性质，灵活应用抛物线定义解决一些简单的应用问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
四种形式的抛物线的几何性质
x≥0
y≥0
x轴
x轴
y轴
y轴
续表
(0,0)
2p
微点助解
(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平．
(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直．
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p＞0)有一条对称轴为y轴．( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )
(4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点一定在该抛物线上的是( )
A．(－m，－n) B．(m，－n)
C．(－m，n) D．(－n，－m)
解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．
√
3．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1)
解析：∵抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，
√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
题型(一) 由抛物线的性质求其标准方程
∴p＝6，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
方法技巧
开口 由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负
关系 顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴
定值 焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1
1．(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下．
针对训练
因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5，
1．抛物线的焦点弦公式
题型(二) 抛物线的焦点弦问题
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
2．当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径．
3．有关抛物线的焦点弦的结论
如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；
[例2] 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.求l的方程．
解题观摩：(1)法一：利用|AB|＝x1＋x2＋p求解
由题意，得F(1,0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
因此直线l的方程为y＝x－1.
法二：弦长公式的应用 由题意得F(1,0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
解得k＝－1(舍去)或k＝1.因此直线l的方程为y＝x－1.
因为斜率k>0，所以k＝tan α＝1.
而抛物线焦点为F(1,0)，故直线l的方程为x－y－1＝0.
所以k2＝1，k＝1，故直线l的方程为x－y－1＝0.
变式拓展
若去掉本例条件“且斜率为k(k>0)”，如何求解？
解：法一 由题意，可得F(1,0)，p＝2，当l斜率不存在时，l为x＝1，
故|AB|＝4≠8，与题意不符．
当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，
根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝8，x1＋x2＝6，
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
法二 由题意，可得F(1,0)，∵直线l与抛物线相交于A，B，
∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设l：x＝my＋1，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
方法技巧
(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解．
针对训练
√
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
√
3．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于( )
A．9或6 B．6或3
C．9 D．3
4.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
√
[例3] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点．
(1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程；
(2)抛物线上有M，N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长.
题型(三) 抛物线几何性质的简单应用
∴抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)∵△MON为正三角形，∴|OM|＝|ON|＝|MN|，由抛物线对称性可知MN⊥x轴，
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点：解决焦点弦问题．
方法技巧
5．F为抛物线C：y2＝12x的焦点，直线x＝1与抛物线交于A，B两点，则∠AFB为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
针对训练
√
∴∠AFH＝60°，由对称性可知∠AFB＝120°.
√
课时跟踪检测
1
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2．[多选]以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
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4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )
A．2 B．3 C．5 D．7
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.故选D.
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6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
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于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝6，故所求弦长为|MN|＝|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2＝8.
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9．已知点P(2,0)，点Q在曲线C：y2＝2x上．
(1)若点Q在第一象限内，且|PQ|＝2，求点Q的坐标；
(2)求|PQ|的最小值．
解：(1)设Q(x，y)(x>0，y>0)，则y2＝2x，
将y2＝2x代入上式，并变形得x2－2x＝0，
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解得x＝0(舍去)或x＝2.
当x＝2时，y＝±2，只有x＝2，y＝2满足条件，
所以Q(2,2)．
其中y2＝2x，所以|PQ|2＝(x－2)2＋2x＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3(x≥0)．
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10．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2＝12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C.
(1)若|AB|＝15，求直线l的方程；
(2)证明：直线AC平行于x轴．
解：(1)抛物线E：y2＝12x的焦点为F(3,0)，准线方程为x＝－3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，
得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋3＋x2＋3＝x1＋x2＋6＝15，所以x1＋x2＝9.
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当直线l的斜率不存在时，x1＋x2＝6，不符合要求，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k(x－3)，联立方程y2＝12x，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，
所以直线l的方程为2x－y－6＝0或2x＋y－6＝0.
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设直线l的方程为x＝my＋3，
代入方程y2＝12x，得y2－12my－36＝0，
所以直线AC平行于x轴．
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4p，
故选D.
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12．[多选]设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，下列结论正确的为( )
A．y1y2为定值
B．直线AB过抛物线y2＝4x的焦点
C．S△AOB的最小值为16
D．O到直线AB距离的最大值为4
√
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∴y1y2＝－16，故A正确；设直线AB：x＝my＋b，代入y2＝4x，得y2－4my－4b＝0，
∴y1y2＝－4b＝－16，即b＝4，
∴直线AB过点(4,0)，而抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，故B错误；
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当m＝0时，等号成立，又直线AB过点(4,0)，
∵直线AB过点(4,0)，
∴O到直线AB距离的最大值为4，故D正确．故选ACD.
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13．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧．若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，
设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，
过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，
如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，
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15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|＝2.
(2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C′的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．
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故抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为(1,0)．
所以椭圆C′的一个焦点为(1,0)，
所以4－n＝1，所以n＝3，
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不妨设A在第一象限内，
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因此可设双曲线方程为6x2－y2＝λ(λ≠0)．
由点P(1，m)在抛物线C：y2＝4x上，
解得m2＝4，所以P(1，±2)．
因为点P在双曲线上，所以6－4＝λ＝2，课时跟踪检测(二十二) 抛物线的简单几何性质
A级——综合提能
1.对于抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0,1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1,0)
D.开口向右，焦点为
2.[多选]以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
3.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )
A.2 B.3
C.5 D.7
5.设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方.若＝2，则cos α的值为( )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________.
7.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，则抛物线的方程为________________.
8.过抛物线x2＝4y的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为________.
9.已知点P(2,0)，点Q在曲线C：y2＝2x上.
(1)若点Q在第一象限内，且|PQ|＝2，求点Q的坐标；
(2)求|PQ|的最小值.
10.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2＝12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C.
(1)若|AB|＝15，求直线l的方程；
(2)证明：直线AC平行于x轴.
B级——应用创新
11.已知直线l：y＝x－与拋物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为，则p＝( )
A. B.1
C.2 D.
12.[多选]设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，下列结论正确的为( )
A.y1y2为定值
B.直线AB过抛物线y2＝4x的焦点
C.S△AOB的最小值为16
D.O到直线AB距离的最大值为4
13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
14.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________.
15.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|＝2.
(1)若抛物线C的焦点也是椭圆C′：＋＝1的一个焦点，求椭圆C′的方程；
(2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C′的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程.
课时跟踪检测(二十二)
1．选B 由抛物线y＝4x2，得抛物线标准方程为x2＝y,2p＝，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.
2．选CD 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
3．选D 由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
4．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
由得x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.故选D.
5.选A 过A，B分别作准线的垂线交准线于M，N，过B作BD⊥AM于D，则|AD|＝|AM|－|BN|，由抛物线的性质可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，因为＝2，所以|AB|＝3|BF|，所以＝＝＝＝＝cos∠DAB，即cos α＝.
6．解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
答案：0
7．解析：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由对称性，知x1＝x2，y2＝－y1，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2y1＝2，所以y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
答案：y2＝3x或y2＝－3x
8．解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，直线l的倾斜角为，设直线l与抛物线交于M，N两点，则直线l的方程为y＝－x＋1，代入x2＝4y得y2－6y＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝6，故所求弦长为|MN|＝|MF|＋|NF|＝y1＋y2＋2＝8.
答案：8
9．解：(1)设Q(x，y)(x>0，y>0)，则y2＝2x，
由已知条件得|PQ|＝＝2.
将y2＝2x代入上式，并变形得x2－2x＝0，
解得x＝0(舍去)或x＝2.
当x＝2时，y＝±2，只有x＝2，y＝2满足条件，所以Q(2,2)．
(2)设Q(x，y)，则|PQ|＝，
其中y2＝2x，所以|PQ|2＝(x－2)2＋2x＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3(x≥0)．
所以当x＝1时，|PQ|min＝.
10．解：(1)抛物线E：y2＝12x的焦点为
F(3,0)，准线方程为x＝－3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，
得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋3＋x2＋3＝x1＋x2＋6＝15，所以x1＋x2＝9.
当直线l的斜率不存在时，x1＋x2＝6，不符合要求，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝k(x－3)，联立方程y2＝12x，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，
则x1＋x2＝＝9，解得k＝±2，
所以直线l的方程为2x－y－6＝0或
2x＋y－6＝0.
(2)证明：由(1)得直线OB的方程为
y＝x＝x，令x＝－3，可得yC＝－.
设直线l的方程为x＝my＋3，
代入方程y2＝12x，得y2－12my－36＝0，
所以y1y2＝－36，所以yC＝－＝y1.
所以直线AC平行于x轴．
11．选D 由题知直线l：y＝x－过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以联立方程得x2－3px＋＝0，显然Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4p，
因为原点O到直线l的距离为d＝＝p，
所以S△AOB＝×4p×p＝，解得p＝(舍负)．故选D.
12．选ACD ∵OA⊥OB，∴kOAkOB＝·＝·＝＝－1，∴y1y2＝－16，故A正确；设直线AB：x＝my＋b，代入y2＝4x，得y2－4my－4b＝0，∴y1y2＝－4b＝－16，即b＝4，∴直线AB过点(4,0)，而抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，故B错误；∵|y1－y2|＝＝≥8，当m＝0时，等号成立，又直线AB过点(4,0)，∴(S△AOB)min＝×4×8＝16，故C正确；∵直线AB过点(4,0)，∴O到直线AB距离的最大值为4，故D正确．故选ACD.
13.选C 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，则∠ACD＝.所以直线AB的倾斜角为，因为|HF|＝p＝2，＝＝，所以|AF|＝|AD|＝.在Rt△CEB中，∠ECB＝，设|BE|＝|BF|＝x，则2|BE|＝|BC|，即2x＝＋＋x，解得x＝4，所以|BF|＝4.
14．解析：由y2＝4x知焦点F(，0)，准线x＝－.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋＝4，∴x0＝3，∴y＝4 ×3 ＝24，∴|y0|＝2，∴S△POF＝××2＝2.
答案：2
15．解：(1)由题意知|PF|＝1＋＝2，解得p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为(1,0)．所以椭圆C′的一个焦点为(1,0)，
所以4－n＝1，所以n＝3，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由消去y得到3x2＋16x－12＝0，解得x1＝，x2＝－6(舍去)．
不妨设A在第一象限内，
所以A，B，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x.
因此可设双曲线方程为6x2－y2＝λ(λ≠0)．
由点P(1，m)在抛物线C：y2＝4x上，
解得m2＝4，所以P(1，±2)．
因为点P在双曲线上，所以6－4＝λ＝2，
故所求双曲线方程为3x2－＝1.
