4.1 直线与圆锥曲线的交点
课时目标
会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围.
题型(一) 直线与椭圆的交点问题
一般，联立直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的方程，得消去y，得一个一元二次方程.
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 2 Δ＞0
相切 1 Δ＝0
相离 0 Δ＜0
[例1] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
听课记录：
判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
[针对训练]
1.已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，求实数m的取值范围.
题型(二) 直线与双曲线的交点问题
直线y＝kx＋m与双曲线－＝1(a>0，b>0)的位置关系：
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为Ax2＋Bx＋C＝0的形式，在A≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.
当A＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
[例2] 设k为实数，已知双曲线C的方程为－y2＝1，直线l的方程是y＝kx＋1.当k为何值时，直线l与双曲线C：
(1)有两个公共点；(2)仅有一个公共点；
(3)没有公共点.
听课记录：
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[针对训练]
2.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0)，实轴长为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围.
题型(三) 直线与抛物线的交点问题
直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系：
将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
[例3] 过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.0条
听课记录：
[例4] 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[－2,2]
C.[－1,1] D.[－4,4]
听课记录：
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
[针对训练]
3.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
4.若直线l：y＝x＋与抛物线C：y2＝2px(p>0)只有1个公共点，则抛物线C的准线方程为________.
4.1 直线与圆锥曲线的交点
[题型(一)]
[例1] 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ①.
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个公共点.
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
[针对训练]
1.解：(1)∵点M(，)在椭圆C：
＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为，
∴解得a2＝12，b2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
∴Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)>0，
即m2－16<0，∴－4
∴实数m的取值范围为(－4,4).
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由双曲线C的方程为－y2＝1，得x≥2或x≤－2，
由直线l的方程是y＝kx＋1，
得直线l过定点(0,1)，则定点在双曲线两支之间，联立
消去y整理得(1－4k2)x2－8kx－8＝0，
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以
解得－(2)因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，所以1－4k2＝0或
解得k＝±或k＝±.
(3)因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以
解得k>或k<－.
[针对训练]
2.解：(1)由题意知，a＝2，c＝4，故b2＝c2－a2＝12，又右焦点为(4,0)，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)联立直线l与双曲线C的方程有
整理得(3－k2)x2－4kx－16＝0，
又直线与双曲线在左支上有两个交点A，B，
所以xA＋xB＝<0，xAxB＝－>0，
且
解得[题型(三)]
[例3] 选C 易知过点(0,1)，且斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点.
当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1与y2＝4x联立得k2x2＋2kx＋1＝4x，
即k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，即直线与抛物线有一个公共点.
所以满足题意的直线有3条.
[例4] 选C ∵y2＝8x，∴Q(－2,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y＝k(x＋2).
当k＝0时，显然符合题意.
当k≠0时，l与抛物线有公共点，
∴方程组有解，
即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解.
∴Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，结合k≠0，解得k2≤1且k≠0.综上，－1≤k≤1，故选C.
[针对训练]
3.选C ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0).∴当k＝0时，直线y＝0与抛物线有一个公共点，即顶点；当k≠0时，点(1,0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点.
4.解析：由y＝x＋可得x＝y－，将x＝y－代入y2＝2px，消去x可得y2－2py＋3p＝0，因为直线l与抛物线C只有1个公共点，所以Δ＝(－2p)2－12p＝0，即p2－3p＝0，解得p＝0(舍去)或p＝3，所以抛物线C的准线方程为x＝－.
答案：x＝－(共63张PPT)
4.1
直线与圆锥曲线的交点
(深化课—题型研究式教学)
课时目标
会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数．会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与椭圆的交点问题
题型(二) 直线与双曲线的交点问题
题型(三) 直线与抛物线的交点问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 直线与椭圆的交点问题
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 2 Δ＞0
相切 1 Δ＝0
相离 0 Δ＜0
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，
消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ①.
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
方法技巧
判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围．
针对训练
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，求实数m的取值范围．
(2)∵直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，
∴Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)>0，
即m2－16<0，∴－4∴实数m的取值范围为(－4,4)．
题型(二) 直线与双曲线的交点问题
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为Ax2＋Bx＋C＝0的形式，在A≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当A＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(1)有两个公共点；
(2)仅有一个公共点；
(3)没有公共点．
得x≥2或x≤－2，
由直线l的方程是y＝kx＋1，得直线l过定点(0,1)，
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
方法技巧
(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
针对训练
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0)，实轴长为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
解：(1)由题意知，a＝2，c＝4，故b2＝c2－a2＝12，又右焦点为(4,0)，
又直线与双曲线在左支上有两个交点A，B，
题型(三) 直线与抛物线的交点问题
直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系：
将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
[例3] 过点(0,1)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．0条
解析：易知过点(0,1)，且斜率不存在的直线为x＝0，满足与抛物线y2＝4x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1与y2＝4x联立得k2x2＋2kx＋1＝4x，
√
即k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，方程有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，即直线与抛物线有一个公共点．
所以满足题意的直线有3条．
解析：∵y2＝8x，∴Q(－2,0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y＝k(x＋2)．
当k＝0时，显然符合题意．
√
当k≠0时，l与抛物线有公共点，
即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0有解．
∴Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0，结合k≠0，解得k2≤1且k≠0.综上，－1≤k≤1，故选C.
方法技巧
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
针对训练
3．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
√
解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0)．
∴当k＝0时，直线y＝0与抛物线有一个公共点，即顶点；
当k≠0时，点(1,0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点．
课时跟踪检测
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解析：由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
∴直线l与椭圆相交．
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2．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
解析：∵点(0,1)在抛物线的外部，
∴过点(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线．
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5．若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(0,4) D．(0,4]
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(1,3)∪(3，＋∞)
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∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，
解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
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7．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．
解析：法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，
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(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2＝2y于A，B两点，O为坐标原点．求证：OA⊥OB.
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∴x1x2＋y1y2＝－4＋4＝0，
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得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
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又∵抛物线的焦点为F(1，0)．
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解析：设过点P且与直线2x－4y－31＝0平行的切线方程为直线2x－4y＋m＝0，
(2，－3)
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解得x＝2，则y＝－3，
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解析：设P(m，n)，当切线斜率存在时，过点P的切线为y－n＝k(x－m)．
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∵直线与椭圆相切，∴Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，
整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.
设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
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当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，
若点P(－a,4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解．课时跟踪检测(二十三) 直线与圆锥曲线的交点
A级——综合提能
1.已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，直线l与椭圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
2.过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
3.经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是( )
A.x＋2y－4＝0 B.x－2y－4＝0
C.x＋2y－2＝0 D.x－2y＋2＝0
4.若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为( )
A.(－2,2) B.(0,2)
C.(4,5) D.(6,8)
5.若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)
C.(0,4) D.(0,4]
6.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________.
7.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________.
8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是________.
9.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B.求：
(1)B点坐标；
(2)△AFB的面积.
10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2＝2y于A，B两点，O为坐标原点.求证：OA⊥OB.
B级——应用创新
11.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
12.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝__________.
13.在椭圆＋＝1上找一点P，使P点到直线2x－4y－31＝0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是________，最小值为________.
14.已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为________.
课时跟踪检测(二十三)
1．选C 由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，∵＋<1，∴点(0,1)在椭圆内部，∴直线l与椭圆相交．
2．选C ∵点(0,1)在抛物线的外部，∴过点(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线．
3．选A 显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，
联立得(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，∴切线方程为x＋2y－4＝0，故选A.
4．选A ∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，∴<1，∴－25．选C 由双曲线方程为x2－ay2＝4(a>0)，可得渐近线方程为x＝±y，由直线方程l：x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得<2，解得06．解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3.由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，
解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
7．解析：法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝.
法二 设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.
答案：
8．解析：双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>.
答案：(，＋∞)
9．解：(1)双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，
解得x＝，y＝－，∴B.
由双曲线的对称性知
B或.
(2)∵B，
∴S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝.
10．解：(1)∵e2＝＝1－＝，
∴＝.又＋＝1，∴a＝2，b＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋2，联立方程消去y可得x2－2kx－4＝0，Δ>0，
∴x1x2＝－4，∴y1y2＝·＝4，
∴x1x2＋y1y2＝－4＋4＝0，
∴·＝0，∴OA⊥OB.
11．选C 由题意设椭圆方程为＋＝1，由得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，又e＝＝，则b2＝4时，e取最大值，故选C.
12．解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设点M的坐标为(1,2)，点N的坐标为(4,4)．又∵抛物线的焦点为F(1，0)．
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
答案：8
13．解析：设过点P且与直线2x－4y－31＝0平行的切线方程为直线2x－4y＋m＝0，
联立
整理，得4x2＋mx＋m2－48＝0，
则Δ＝m2－4×4＝0，
解得m＝±16，当m＝16时，2x－4y＋16＝0，
4x2＋mx＋m2－48＝0，可整理得
x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2，则y＝3，
P(－2,3)到直线2x－4y－31＝0的距离
d＝＝，
当m＝－16时，2x－4y－16＝0,4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，则y＝－3，P(2，－3)到直线
2x－4y－31＝0的距离
d＝＝.
∴P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离最小，最小值为.
答案：(2，－3)
14．解析：设P(m，n)，当切线斜率存在时，过点P的切线为y－n＝k(x－m)．
联立 (k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0.
∵直线与椭圆相切，∴Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，
整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.
设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
∵PA⊥PB，∴k1·k2＝＝－1，
即m2＋n2＝1＋a2，∴点P在以(0,0)为圆心，为半径的圆上，即(0,0)到直线ax＋y－4＝0的距离为，由d＝＝，解得a＝(舍负)．
当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，
若点P(a,4－a2)，此时4－a2＝1，a＝(舍负)，
若点P(－a,4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解．
又∵b＝1，∴c＝＝，e＝＝.
答案：