4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
课时目标
进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.会解决中点弦问题.
题型(一) 弦长问题
[例1] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________.
听课记录：
[例2] 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y＝x.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l：y＝x－1与双曲线C交于A，B两点，求|AB|.
听课记录：
求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2(或(y1－y2)2)，代入两点间的距离公式求解.
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
[针对训练]
1.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|＝4.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1)，求直线l的方程及线段AB的长.
题型(二) 中点弦问题
[例3] 设A，B为双曲线－＝1上的两点，若线段AB的中点为M(1,2)，则直线AB的方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.2x＋y－3＝0
C.x－y＋1＝0 D.x－2y＋3＝0
听课记录：
[例4] 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
听课记录：
[方法技巧]
解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法
根与系数的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解
点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系
[针对训练]
2.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－4，－7)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程.
题型(三) 弦长的最值问题
[例5] 已知椭圆C：＋＝1，过椭圆右焦点的直线l与椭圆交于M，N两点，求|MN|的取值范围.
听课记录：
求圆锥曲线弦的最值范围主要利用函数和不等式解决，但需注意下列问题：
(1)椭圆、双曲线中心弦的最值(范围)利用对称性更简单.
(2)抛物线焦点弦的最值常用定义.
(3)设弦所在直线方程要讨论斜率是否存在.
(4)隐含条件Δ＞0需成立.
[针对训练]
4.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(－2，0)，点G在抛物线C上，且|AG|＋|GF|的最小值是4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，求△AMN面积的取值范围.
4.2 直线与圆锥曲线的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解析：∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，且斜率为2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法一 由方程组
解得或则交点A(0，－2)，
B.
∴|AB|＝
＝＝.
法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝.
法三 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x，得3y2＋2y－8＝0，则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴|AB|＝|y1－y2|＝×＝.
答案：
[例2] 解：(1)因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意得2c＝4，所以c＝2①，
又双曲线C的一条渐近线为y＝x，
所以＝②，
又a2＋b2＝c2③，
联立上述式子解得a＝，b＝1，
故所求方程为－y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得x2＋3x－6＝0，由Δ＝32－4××(－6)＝15>0，
所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24，
即|AB|＝·＝·＝10.
[针对训练]
1.解：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由抛物线定义得，|PF|＝2－＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.
将P(2，m)代入C的方程，得m2＝8×2，解得m＝±4，因为点P在第四象限，所以m＝－4.
(2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得y－y＝8(x1－x2)，则k＝＝，
因为线段AB中点的坐标为(1,1)，所以y1＋y2＝2，所以k＝4，所以直线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，联立得16x2－32x＋9＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝·＝×
＝.
[题型(二)]
[例3] 选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则两式相减，得
＝，
因为线段AB的中点为M(1,2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，因此由＝ ＝1，
即直线AB的斜率为1，方程为y－2＝x－1 x－y＋1＝0，代入双曲线方程中，得y2－4y－14＝0，因为(－4)2－4×1×(－14)>0，所以线段AB存在，故选C.
[例4] 解：法一：根与系数的关系、中点坐标公式法
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
联立消去y，得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
因为线段AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即y＝－x＋4.
法二：点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
因为P(4,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以kAB＝－＝－，
所以直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，即y＝－x＋4.
法三：共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4,2)为线段AB的中点，因此B(8－x,4－y).
因为A，B两点都在椭圆上，
所以
①－②，得x＋2y－8＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0.
[针对训练]
2.选C 直线l的方程为y＝·(x－3)，即y＝x－3，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，由消去y并整理得(b2－a2)x2＋6a2x－a2(9＋b2)＝0，
Δ＝36a4－4a2(a2－b2)(9＋b2)＝4a2b2(9＋b2－a2)>0，因为弦AB的中点为N(－4，－7)，
于是得－＝－4，即a2＝b2，而a2＋b2＝9，解得a2＝，b2＝，满足Δ>0，
所以双曲线E的方程为－＝1，
即－＝1.
3.解：(1)由E的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，
∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.
由A，B为抛物线上不同两点得
①－②得k＝＝2，
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
[题型(三)]
[例5] 解：由椭圆C：＋＝1知，
a＝2，b＝，则c＝＝1，
所以椭圆C的右焦点为F(1,0).
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝＝3.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)，将其代入椭圆C的方程得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝＝3＋.
因为k2≥0，所以|MN|∈(3,4].
综上，|MN|的取值范围是[3,4].
[针对训练]
4.解：(1)由题意可得
|GA|＋|GF|≥|AF|＝2＋，
则2＋＝4，解得p＝4.
故抛物线C的标准方程为y2＝8x.
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，
则可设直线l的方程为
x＝my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得y2－8my－16＝0，Δ＝64m2＋64>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
所以|y1－y2|＝
＝＝8.
故△AMN的面积为|AF||y1－y2|＝×4×8＝16.
因为m2≥0，所以16≥16，
即△AMN面积的取值范围为[16，＋∞).(共82张PPT)
4.2
直线与圆锥曲线的综合问题
(深化课—题型研究式教学)
课时目标
进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系．掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题．会解决中点弦问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 弦长问题
题型(二) 中点弦问题
题型(三) 弦长的最值问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 弦长问题
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得2c＝4，所以c＝2①，
所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24，
方法技巧
求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2(或(y1－y2)2)，代入两点间的距离公式求解．
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
针对训练
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|＝4.
(1)求C的方程和m的值；
(2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1)，求直线l的方程及线段AB的长．
将P(2，m)代入C的方程，得m2＝8×2，解得m＝±4，因为点P在第四象限，所以m＝－4.
题型(二) 中点弦问题
√
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即直线AB的斜率为1，方程为y－2＝x－1 x－y＋1＝0，代入双曲线方程中，得y2－4y－14＝0，
因为(－4)2－4×1×(－14)>0，所以线段AB存在，故选C.
解：法一：根与系数的关系、中点坐标公式法
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
法二：点差法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为P(4,2)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
法三：共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B，由于点P(4,2)为线段AB的中点，因此B(8－x,4－y)．
因为A，B两点都在椭圆上，
①－②，得x＋2y－8＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0.
解决圆锥曲线中与弦的中点有关问题的方法
方法技巧
根与系数的关系法 将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解
点差法 设出直线l与圆锥曲线C的交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入圆锥曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立弦的中点和直线的斜率的关系
针对训练
√
Δ＝36a4－4a2(a2－b2)(9＋b2)＝4a2b2(9＋b2－a2)>0，因为弦AB的中点为N(－4，－7)，
3．已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)由E的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k.
由A，B为抛物线上不同两点得
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
题型(三) 弦长的最值问题
所以椭圆C的右焦点为F(1,0)．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
将其代入椭圆C的方程得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为k2≥0，所以|MN|∈(3,4]．
综上，|MN|的取值范围是[3,4]．
求圆锥曲线弦的最值范围主要利用函数和不等式解决，但需注意下列问题：
(1)椭圆、双曲线中心弦的最值(范围)利用对称性更简单．
(2)抛物线焦点弦的最值常用定义．
(3)设弦所在直线方程要讨论斜率是否存在．
(4)隐含条件Δ＞0需成立．
方法技巧
4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(－2，0)，点G在抛物线C上，且|AG|＋|GF|的最小值是4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于M，N两点，求△AMN面积的取值范围．
针对训练
故抛物线C的标准方程为y2＝8x.
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，
即△AMN面积的取值范围为[16，＋∞)．
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
所以直线AB的方程为y＝x－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则|AB|等于( )
A．36 B．24 C．12 D．6
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，因为直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以|AB|＝2p，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
所以|AB|＝2p＝12，故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
解析：设抛物线的方程为x2＝2ay，联立抛物线与直线x－2y＝1，消去y得x2－ax＋a＝0，
∴x1x2＝a，x1＋x2＝a，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
∴x2＝－4y或x2＝12y.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
2x＋4y－3＝0
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7．直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点，则弦长|AB|＝__________.
解析：由直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点
得x2－4x＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝0，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8．已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________．
解析：由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)若直线l：x－y－1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)求△ABF1的面积的最大值．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析：椭圆关于原点和坐标轴对称，直线y＝3x＋2被椭圆截得的弦长为8，所以与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，直线y＝3x＋2关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，直线y＝3x＋2关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故A、C、D满足条件，故选ACD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
∵M(1,2)为线段AB的中点，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(1)求双曲线C的方程；
(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可能为P(1,2)，故此时不满足题意；
当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，
则Δ＝4k2m2－4(1－k2)(－m2－2)＝－8k2＋4m2＋8＞0，即2k2－m2－2＜0 ①，
点P(1,2)在AB所在直线y＝kx＋m上，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
即2＝k＋m ③.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1,0)．
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
化简得m2＋k2＋6km＝4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
因为m2＋k2＋6km＝4，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
即t2＋6t＋1>0，课时跟踪检测(二十四) 直线与圆锥曲线的综合问题
A级——综合提能
1.椭圆＋＝1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为( )
A.－ B.－4
C.－ D.－2
2.倾斜角为的直线经过椭圆＋y2＝1的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，则弦长|AB|＝( )
A. B.
C.2 D.4
3.已知直线l：y＝x＋1，椭圆C：＋y2＝1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为( )
A. B.
C. D.
4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若△ABP的面积为36，则|AB|等于( )
A.36 B.24
C.12 D.6
5.已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为( )
A.x2＝－4y B.x2＝12y
C.x2＝－4y或x2＝12y D.以上都不是
6.已知直线l交椭圆C：＋y2＝1于A，B两点，且AB的中点坐标为，则直线l的方程为________.
7.直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点，则弦长|AB|＝__________.
8.已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过拋物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________.
9.已知动点M到定点F1(－，0)和F2(，0)的距离之和为4.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)若直线l：x－y－1＝0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB的面积.
10.已知椭圆S：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，点P(，－)在椭圆S上，过F2的直线l交椭圆S于A，B两点.
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)求△ABF1的面积的最大值.
B级——应用创新
11.[多选]已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有( )
A.y＝3x－2 B.y＝3x＋1
C.y＝－3x－2 D.y＝－3x＋2
12.[多选]已知椭圆C：＋＝1内一点M(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆的焦点坐标为(2,0)，(－2,0)
B.椭圆C的长轴长为4
C.椭圆的离心率e＝
D.直线l的方程为x＋y－3＝0
13.已知双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)与椭圆＋＝1有相同的焦点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.
14.(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值.
课时跟踪检测(二十四)
1．选C 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆得
两式相减得＋＝0，即＝－，即＝－，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
即＝－，即＝－，
所以弦所在的直线的斜率为－，故选C.
2．选B 因为椭圆＋y2＝1的右焦点为F(1,0)，又倾斜角为的直线经过椭圆＋y2＝1的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，
所以直线AB的方程为y＝x－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2＋2(x－1)2＝2，
即3x2－4x＝0，所以所以弦长|AB|＝·＝·＝.
3．选B 由题意知，消去y，得2x2＋3x＝0，则Δ>0，xA＋xB＝－，所以AB中点的横坐标为(xA＋xB)＝－，所以中点的纵坐标为1－＝，即线段AB的中点的坐标为.
4．选C 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，因为直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以|AB|＝2p，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p，
所以S△ABP＝×2p×p＝36，解得p＝6(舍负)，所以|AB|＝2p＝12，故选C.
5．选C 设抛物线的方程为x2＝2ay，联立抛物线与直线x－2y＝1，消去y得x2－ax＋a＝0，∴x1x2＝a，x1＋x2＝a，
则|x1－x2|＝＝，
∴|PQ|＝|x1－x2|＝·＝，即a2－4a－12＝0，
解得a＝－2或a＝6，∴x2＝－4y或x2＝12y.
6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋y＝1，＋y＝1，两式相减并化简得
－＝·，
－＝·，＝－，
所以直线l的方程为y－＝－，2x＋4y－3＝0.
答案：2x＋4y－3＝0
7．解析：由直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C：x2＋4y2＝16交于A，B两点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得x2－4x＝0，x1＋x2＝4，x1x2＝0，
弦长|AB|＝＝ ＝2.
答案：2
8．解析：由题意，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，
设A，根据抛物线的定义，可得|AM|＝t2＋＝t2＋1，
因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
所以|AM|∶|OF|＝t2＋1＝3，可得t2＝8，解得t＝±2，所以点A的坐标为(2，±2)．
答案：(2，±2)
9．解：(1)∵动点M到定点F1(－，0)和F2(，0)的距离之和为4，
∴动点M的轨迹是以F1(－，0)和F2(，0)为焦点的椭圆，可设方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2，c＝，b＝＝1，故动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由可得5x2－8x＝0，
∴或
∴设A(0，－1)，B，又O是坐标原点，
∴△AOB的面积为|OA||xB|＝×1×＝.
10．解：(1)由题意得＝，且a2＝b2＋c2，将点P代入椭圆方程，得＋＝1，
解得a＝4，b＝c＝2，即椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)可得F1(－2，0)，F2(2，0)，设l：x＝my＋2，联立
消去x，得(m2＋2)y2＋4my－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
则|y1－y2|＝
＝
＝，
所以S△ABF1＝|F1F2||y1－y2|＝×4×＝≤＝8，当且仅当＝，即m＝0时取等号，
故△ABF1的面积的最大值为8.
11．选ACD 椭圆关于原点和坐标轴对称，直线y＝3x＋2被椭圆截得的弦长为8，所以与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，直线y＝3x＋2关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，直线y＝3x＋2关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故A、C、D满足条件，故选ACD.
12．选BCD 由＋＝1，得椭圆焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4，则a＝2，b＝2，c＝＝2.∴椭圆的焦点坐标为(0,2)，(0，－2)，长轴长为2a＝4，离心率e＝＝＝，故A错误，B、C正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，
两式作差可得
＝－，∵M(1,2)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，则＝－＝－＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BCD.
13．解：(1)设双曲线C的两个焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)，由题意，得c＝2，∴a2＋b2＝c2＝4，则a＝，即所求双曲线C的方程为x2－y2＝2.
(2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可能为P(1,2)，故此时不满足题意；
当AB所在直线斜率存在时，设AB所在直线的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1－k2)x2－2kmx－(m2＋2)＝0，
则Δ＝4k2m2－4(1－k2)(－m2－2)
＝－8k2＋4m2＋8＞0，即2k2－m2－2＜0 ①，
x1＋x2＝＝2 ②，
点P(1,2)在AB所在直线y＝kx＋m上，
即2＝k＋m ③.
联立②③两式，解得k＝，m＝，经检验，符合题意，因此直线方程为x－2y＋3＝0.
14．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
由Δ1＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得
y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，
所以|AB|＝·
＝·＝4，
解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2.
(2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1,0)．
因为·＝0，所以∠MFN＝90°，
则S△MFN＝|MF||NF|
＝(x3＋1)(x4＋1)
＝(x3x4＋x3＋x4＋1) (*)．
当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°，
所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1.
不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1，
由得x2－6x＋1＝0，
得或
代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m.由
得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0，
Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，
则
y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)
＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝.
又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0，
所以－＋1＋＝0，
化简得m2＋k2＋6km＝4.
所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1)
＝＝
＝2＋2＋1.
令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1，
因为m2＋k2＋6km＝4，
所以2＋6＋1＝>0，
即t2＋6t＋1>0，
得t>－3＋2或t<－3－2，从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)．
故△MFN面积的最小值为4(3－2)．
